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Trabajo especial de grado, sobre los el área de límites
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Guía de estudio
Análisis Matemático I Facultad Regional General Pacheco Universidad Tecnológica Nacional
edUTecNe - Editorial de la U. T. N. http://www.edutecne.utn.edu.ar edutecne@utn.edu.ar
Editorial de la Universidad Tecnológica Nacional
Ing. Jorge J. L. Ferrante
PROLOGO
Año 2009. Al frente de la cátedra de Análisis Matemático I, me encontré frente a un grupo poco homogéneo de docentes, de esos que, con tiza y pizarrón conforman día a día con sus alumnos una sociedad para el aprendizaje. Algunos experimentados y de años de trayectoria en la materia y otros, para decir lo mínimo indispensable, no tanto como los primeros. El discurso, necesariamente debía ser único porque única es la cátedra y sus procesos de ejercitación y evaluación. Rápidamente comprendí que una Guía de Trabajos Prácticos no bastaba para los fines buscados por la sencilla razón que faltaba el elemento por el cual quedase en claro, para todo el mundo, cual era la profundidad con que pretendía tratar cada tema y cual o cuales no había que tratar. Es bastante obvio que esto no se logra con enunciados de carácter general en algún cronograma o con algunas ausencias en el mismo. Además, había que hacerlo rápido porque las clases empezaban ya. Así nacieron las Guías de Estudio y Práctica donde, además de los ejercicios propuestos para cada tema se incluyen aspectos teóricos, muchas veces incompletos, para que sea el profesor quien los trate en forma definitiva con sus alumnos, quienes tienen en sus manos las llamadas GEP. Además, como nunca se aprecia cómo ha evolucionado el pensamiento matemático a través del tiempo y los nombres aparecen y desaparecen sin que el alumno tome conciencia del tiempo en que actuaron y aportaron a la matemática, me pareció adecuado incluir en las GEP, aspectos que hacen al desarrollo histórico del pensamiento matemático. Esto implica consultar textos de historia de la matemática. Entre ellos, los clásicos, de C. Boyer, revisado por Merzbachd, editorial Wiley "A History of Mathematics" y los de E. T. Bell "Les Grands Matematiciens" e "Historia de las Matemáticas" y además pasar horas y horas navegando (o resbalando) entre la multitud de trabajos y referencias que arroja como resultado cualquier incursión en el espacio virtual con claves a veces mal puestas. De todo eso, fue tomando forma, por descarte y selección, un collage para cada GEP en donde junto a los "cortar pegar" ya clásicos puse mis opiniones o criterios.
De Eudoxo de Cnido a la primera mitad del siglo XVIII.
Aparece en esta etapa una idea muy intuitiva del proceso del paso al límite. No existe el concepto como tal, ya que ni siquiera se ha explicitado el concepto de función, pero sí aparece como proceso implícito en algunos métodos utilizados, básicamente, para resolver cuatro tipos de problemas:
A continuación se presenta un brevísimo resumen de algunos de estos métodos infinitesimales.
Método de exhaución. Se atribuye a Eudoxo, aunque su utilización
figuras, volúmenes de cuerpos, longitudes de curvas, tangentes a las curvas, etc. Consiste en aproximar la figura por otras en las que se pueda medir la correspondiente magnitud, de manera que ésta vaya aproximándose a la magnitud buscada. Por ejemplo para estimar la superficie del círculo se inscriben y circunscriben polígonos regulares de n lados cuya superficie se conoce (en definitiva es la de n triángulos isósceles) luego se duplica el número de lados de los polígonos inscriptos y circunscriptos hasta que la
diferencia queda exhausta. Arquímedes halló la superficie del círculo con este método llegando a polígonos de noventa y seis lados.
Método de los infinitésimos de Kepler (1571-1630). Era utilizado para resolver problemas de medidas de volúmenes o áreas como los que
escrito para la evaluación de la capacidad de toneles de vino.) La base del método consiste en pensar que todos los cuerpos se descomponen en infinitas partes, infinitamente pequeñas, de áreas o volúmenes conocidos. Galileo utilizará un método semejante para mostrar que el área encerrada bajo la curva tiempo-velocidad es el espacio
Método de los indivisibles de Cavalieri (1598-1647). Fue utilizado para determinar áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos. Cavalieri representaba estos objetos mediante una superposición de elementos cuya dimensión era una unidad menor que aquella a evaluar. Lo hace en su libro
Este caballero merece algo más que una mención por el daño que hizo en la conceptualización del análisis. No fue un antecesor del cálculo, fue el que impregnó a muchos bien pensantes hombres que un infinitésimo es un “cero pequeño”. Es el mismo que logró que se dijese que la tangente a una curva estaba definida por dos puntos sucesivos sobre la misma, dado que es como un collar de cuentas muy pequeñas, una al lado de otra; es el que dijo que una superficie estaba conformada por líneas sin ancho y que un volumen, un montón de superficies sin espesor. Quien tenga dudas sobre esta nota del autor, diríjase a Historia de las Matemáticas, de E. T. Bell, Fondo de Cultura Económica, México, 1995, Pág. 146 y 147.
Método de Fermat para buscar extremos de curvas. Lo aplicó a las “parábolas e hipérbolas de Fermat” y consiste en considerar que en una “cumbre” o en un “valle” de la curva, cuando E es pequeño, los valores de la
no habla de límite, está bastante cerca.
Método de las tangentes. Fermat envía a Mersenne en 1637 una
plantear un método para calcular tangentes en un punto de cualquier curva, si bien sólo lo utiliza con la parábola. En un intento de clarificar dicho método, Descartes crea el suyo propio según reza en la carta que envía a Mersenne en Mayo de 1638 y, así, considera que la curva y su tangente en un punto coinciden en un entorno pequeño de dicho punto. Lo que pretende es
método de las "razones primeras y últimas", en la que el incremento de la variable se "desvanece", lo que supone la explicitación de una idea de límite un tanto metafísica. Allí resuelve el siguiente problema
Obsérvese la terminología y se comprenderá de inmediato la enorme fortuna de enseñar y aprender en este siglo.
Por si fuese necesario en su obra Principia Mathematica “aclara” el concepto de límite:
Leibnitz (1646-1716), por su parte preocupado por la claridad de los conceptos y el aspecto formal de la matemática, contribuye al nacimiento del análisis infinitesimal con su teoría sobre las diferenciales. Se dio cuenta de que la pendiente de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias. Usa una notación que perdura actualmente, pero no aclara lo que, para él significa “infinitamente pequeño”.Para peor, a veces habla de "infinitamente, infinitamente pequeño".
La concepción que subyace en esta etapa es una concepción geométrica de límite puesto que se trabaja en problemas de índole geométrica. La noción de límite en realidad se encuentra implícita, y se ve una evolución de su estatus, pasando de ser una noción que ni siquiera se explicita como útil al ser, con los infinitésimos y las razones primeras y últimas de Newton, una herramienta para resolver problemas.
Ahora bien, esta idea de límite como aproximación sin más no basta. Por una parte, la aproximación tiene que ser indefinida, es decir, tiene que existir la posibilidad de tomar aproximaciones cada vez mejores, cosa que se consigue en todos los métodos revisados, pero hasta Newton esta posibilidad no se plasma claramente en el hecho de que los objetos se han de aproximar “más que cualquier diferencia dada”, lo cual implica que el límite debe ser la mejor de todas las aproximaciones posibles
Segunda mitad del siglo XVIII. Transformación de los fundamentos del análisis infinitesimal.
Utilizando infinitésimos pequeños y grandes, que surgen de la teoría de las razones primeras y últimas de Newton, los matemáticos de la época obtienen solución para muchos de sus problemas. La dificultad más importante para el desarrollo del análisis infinitesimal era la necesidad de extender las operaciones del análisis a un mayor número de funciones, para lo que se requería una idea clara de dependencia funcional y, para ello, fue necesario investigar el significado del concepto de función y sus manipulaciones algebraicas. Los matemáticos del siglo XVIII, que se preocuparon de la fundamentación del análisis, buscaban eliminar lagunas y clarificar los matices místicos, no se dieron cuenta de la necesidad del concepto de límite
Euler (1707-1743) toma como punto de partida el cálculo diferencial de Leibnitz y el método de fluxiones de Newton y los integra en una rama
ocupa del estudio de los procesos infinitos. Se plantea la regularidad de las funciones, introduciendo la función continua como sumas, productos y composiciones de funciones elementales
D'Alembert (1717-1783) crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton. En el tomo IX de la
La noción de límite dada por D’alembert es más objetiva que la de Cauchy, ya que en ésta aparece el término "tanto como queramos" que la subjetiviza. Define además infinitésimos como una cantidad variable que converge a cero
Cauchy basa todo el análisis en el concepto de límite.
Bolzano (1781-1848) da una definición de continuidad basada en la de límite. De hecho la obra de Bolzano se desarrolla de forma paralela a la de Cauchy, basada en la misma idea de límite.
Weierstrass (1815-1897) contribuyó con notoriedad a la aritmetización del análisis, dando una definición satisfactoria de número real y otra del concepto de límite.
Weierstrass criticó la expresión "la variable se acerca a un límite" puesto que, según él, esto sugiere tiempo y movimiento, y dio una formulación métrica, puramente estática, definición bastante cercana a la que se utiliza hoy en día. Esta definición, que aparece en la obra de su
La noción de límite es ya, en esta etapa, una noción matemática que sirve como soporte a otras como la continuidad, la derivada y la integral, hecho que ha contribuido a un uso universalizado de la misma. Sin embargo, esta definición, que evoluciona desde la concepción dinámica de Cauchy a una concepción estática, no es el final de un largo proceso evolutivo, ya que en el siglo XX surgen concepciones de tipo topológico, ligadas a la generalización de los conceptos del cálculo a conjuntos no necesariamente numéricos, lo que constituye una cuarta etapa en el desarrollo del concepto.
Todo el esfuerzo realizado en más de dos milenios permite presentar la siguiente
x a
lim ( ) (se lee límite de
x a
f x L
f x L x a
lim ( )
Esta es la famosa definición ε,δ que desconcierta a la mayoría de los que tratan de estudiarla y sobre todo si es la primera vez que lo intentan. Varios factores son contribuyentes al desconcierto.
La humanidad empezó a lidiar con el concepto de límite, sin ser capaz de explicitarlo, desde Eudoxo hasta el siglo XX, donde llegó a lo que ahora se conoce como límite. Tratar de asimilar más de dos milenios en dos o tres clases de Análisis Matemático es directamente una proeza intelectual, que los grandes de la historia del pensamiento matemático no lograron.
cada x perteneciente al entorno reducido de a y al dominio de la función tiene una imagen f(x) en el entorno de L
Con la siguiente interpretación gráfica
¡Más de dos milenios en un renglón! Magnífica oportunidad para reflexionar lo que cuesta lograr
U*(a)
a
D(f) C(f)
