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1.- A qué se llama DUALIDAD y cuál es su importancia. La dualidad. Puede definirse con el siguiente enunciado: Para todo problema de maximización de programación lineal, habrá otro problema asociado de minimización y, por otra parte, para todo problema de minimización, habrá otro problema asociado de maximización. Al primer problema se le llama primario y al problema asociado correspondiente se le conoce como dual. Importancia. La dualidad es importante por las siguientes razones: 1.- El problema dual puede ahorrar un número considerable de cálculos, en particular cuando el problema primario tiene muchas restricciones y pocas variables lo cual implicará un número elevado de cálculos para su resolución por el método Simplex. 2.- La dualidad tiene una relación importante con el análisis de sensibilidad que se verá en el siguiente capítulo. Esto es muy útil para analizar cómo puede cambiar la función objetivo ante variaciones en las diferentes condiciones del problema de programación lineal. 3.- El problema dual proporciona información importante sobre la manera óptima de aplicar recursos que son escasos a fin de obtener beneficios económicos. 2.- Exponga la Esencia de la Teoría de la Dualidad. El dualismo es una teoría que surge como consecuencia de una profundización en el estudio de la Programación lineal. Cada problema de programación lineal (Primal) está estrechamente relacionado con otro problema simétrico a él, denominado problema dual.
El dualismo es una teoría que surge como consecuencia de una profundización en el estudio de la programación lineal porque la distribución de los recursos y la formación de los precios son dos aspectos del mismo problema. Entonces la doble formulación de la programación lineal no se debe considerar como un simple ejercicio matemático, sino que una y otra versión del problema vienen a explicar dos aspectos económicos distintos para una misma situación problémica. Una propiedad fundamental de la relación entre el primal y el dual es que la solución óptima de cualquiera de estos problemas proporciona la solución óptima para el otro. 3.- Explique el uso de la tabla o programa primal-dual. Los problemas duales simétricos son los que se obtienen de un problema primal en forma canónica y ‘normalizada’, es decir, cuando llevan asociadas desigualdades de la forma mayor o igual en los problemas de minimización, y desigualdades menores o igual para los problemas de maximización. Es decir, si el problema original es de la siguiente forma: El problema dual (dual simétrico) es: Los restantes tipos de combinaciones de problemas, se conocen con el nombre de duales asimétricos. Como, por ejemplo: El problema dual (dual asimétrico) es:
5.- Exponga el Teorema de Dualidad. La condición necesaria y suficiente para que exista solución óptima del primal (x), es que exista una solución óptima para el dual (λ) y que valor de la función objetivo de ambos programas sea igual, es decir Z (x) = G (λ). ∃ x* ←→ ∃ λ* / Z (x) = G (λ) 6.- Como afecta en el planteamiento del Dual cuando las restricciones del primal son todas desigualdades de “menor o igual” y las variables son todas positivas. El modelo dual de un problema de Programación Lineal consiste en una instancia alternativa de modelamiento matemático que nos permite rescatar la información del problema original conocido comúnmente como modelo primal. En consecuencia, es suficiente con resolver uno de ellos (primal o dual) para poder obtener la solución óptima y valor óptimo del problema equivalente (primal o dual según sea el caso). Para ello se puede utilizar, por ejemplo, las condiciones establecidas en el Teorema de Holguras Complementarias. Formule el problema primal de cualquier forma, maximización o minimización, y el problema dual automáticamente quedara en forma contraria. 7.- Como afecta en el planteamiento del Dual cuando todas las restricciones del Primal son desigualdades de “mayor o igual” con todas las variables positivas. El problema dual automáticamente quedara en la forma contraria.
8.- Cómo afecta cuando todas las restricciones son “igualdades” con todas las variables positivas. 9.- Cómo afecta cuando unas restricciones son “mayor que” y otras “menor que” con todas las variables positivas. Debido a que las restricciones funcionales tienen la forma mayor o igual, la forma aumentada se obtiene al restar el superávit (en lugar de agregar la holgura) del lado izquierdo de cada restricción j (j 5 1, 2,.. ., n). En consecuencia, zj 2 cj asume el papel de variable de superávit de la restricción j (o su variable de holgura si la restricción se multiplica por 21). Por tanto, cuando aumenta cada solución en un vértice (y1, y2,.. ., ym) se obtiene una solución básica (y1, y2,.. ., ym, z1 2 c1, z 2 c2,.. ., zn 2 cn) al usar esta expresión para zj 2 cj. Como la forma aumentada del problema dual tiene n restricciones funcionales y n m variables, cada solución básica tiene n variables básicas y m variables no básicas. 10.- Cómo afecta cuando una o varias restricciones son “igualdades” y las otras son desigualdades “mayores” y “menores que”, con variables positivas. Afecta ya que se tiene que cambiar la restricción de igual a dos restricciones una de mayor e igual que una de menor e igual que. Y por consiguiente el mayor que, multiplicarlo por -1 para poder cambiar la restricción mayor que, y dejar todas las restricciones con el mismo sentido de menor que o ya sea mayor que. 11.- Qué pasa con los casos de las preguntas 6, 7, 8, cuando las variables son irrestrictas en signo. No se puede hacer el cambio dual. 12.- A qué se les denomina precios sombra. Definición 1. de una restricción representa la tasa de cambio del valor óptimo ante una modificación marginal del lado derecho de una restricción. Se entiende por “marginal” aquella modificación que no cambia la geometría del problema, es decir, que la nueva solución óptima se puede encontrar a través de la resolución del sistema de ecuaciones al que da origen las restricciones activas originales (previa actualización del parámetro que estamos modificando). En este contexto el precio sombra puede ser un valor positivo, negativo o cero.
14.- Explique la Propiedad de las soluciones básicas complementarias. Cada solución básica en el problema primal tiene una solución básica complementaria en el problema dual, en donde los valores respectivos de la función objetivo (Z y yo) son iguales. Dado el reglón 0 de la tabla simplex para la solución básica primal, la solución básica dual complementaria (y, z- c) 15.- Explique la Propiedad de holgura complementaria. El Teorema de Holguras Complementarias nos permite encontrar la solución óptima del Problema Dual cuando conocemos la solución óptima del Problema Primal (y viceversa) a través de la resolución de un sistema de ecuaciones conformado por las variables de decisión (primales y duales) y las restricciones (del modelo primal y dual). Importancia. La importancia de este teorema radica en que facilita la resolución de los modelos de optimización lineal, permitiendo a quién los resuelve buscar el modelo más sencillo para abordar (desde el punto de vista algorítmico) dado que de cualquier forma podrá obtener los resultados del modelo equivalente asociado (sea éste el modelo primal o dual). 16.- Cual es la relación entre la solución óptima primaria y la solución óptima dual. Dado un problema de programación lineal, denominado problema primal, existe otro problema de programación lineal, denominado problema dual, íntimamente relacionado con él. Se dice que ambos problemas son mutuamente duales. Bajo ciertas hipótesis, los problemas primal y dual dan lugar al mismo valor óptimo de la función objetivo, y por tanto se puede resolver indirectamente el problema primal resolviendo el problema dual. Además, nos permite utilizando el algoritmo dual del simplex el resolver problemas que por la forma estándar nos serían irresolubles. Además, permite facilitar otros cálculos como los de las variables artificiales A. RESUELVA Y EXPLIQUE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. ENCUENTRE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA SI LA TIENE. PROBLEMA 1.- A. DETERMINE EL DUAL DEL SIGUIENTE PROGRAMA PRIMAL:
B. RESUELVA EL PRIMAL C. INTERPRETE EL ÚLTIMO TABLEADO DEL SIMPLEX PARA LOS RESULTADOS DE PRIMAL Y DUAL EN Z Y EN LAS DEMÁS VARIABLES (PRIMAL Y DUAL)
1. MAXIMICE: Z = 120 X1 + 80 X RESTRICCIONES: 2 X1 + X2 menor o igual a 6 7 x1 + 8x2 menor o igual a 28 **CON: Todas las variables no negativas o positivas. PROBLEMA 2.- A. DETERMINE EL DUAL DEL SIGUIENTE PROGRAMA PRIMAL: B. RESUELVA EL PRIMAL C. INTERPRETE EL ÚLTIMO TABLEADO DEL SIMPLEX PARA LOS RESULTADOS DE PRIMAL Y DUAL EN Z Y EN LAS DEMÁS VARIABLES (PRIMAL Y DUAL)
- MAXIMICE: Z más = 2 X1 + X RESTRICCIONES: X1 + 5 X2 menor o igual a 10 X1 + 3 X2 menor o igual a 6 2 X1 + 2 X2 menor o igual a 8 CON: Todas las variables no negativas o positivas. PROBLEMA 3 A. DETERMINE EL DUAL DEL SIGUIENTE PROGRAMA PRIMAL:
ZmÍn = 3 X1 + X2 + 0 X3 + 0 X4 + M X5 + M X RESTRICCIONES:**
