Instituto Tecnológico de Apizaco
Materia: Probabilidad y Estadística
Elaborado por: Uriel Torres Nestor
Presentado a: Prof. Vicente Castillo Benítez
Tema: Investigación
Apizaco, Tlaxcala a 10 de febrero 2024
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Probabilidad de Eventos Aleatorios: Conceptos Básicos y Cálculo, Monografías, Ensayos de Probabilidad
Una introducción a la probabilidad de eventos aleatorios, una rama fundamental de la teoría de la probabilidad. Se explica la definición de un conjunto, las operaciones y leyes de conjuntos, la representación de conjuntos y el diagrama de venn. Se detalla la fórmula básica para calcular la probabilidad de un evento aleatorio y se muestra un ejemplo práctico. Además, se introduce el diagrama de árbol como una herramienta útil para representar y calcular la probabilidad de múltiples eventos que ocurren en secuencia. Se explica la fórmula general para calcular la probabilidad de un resultado en un diagrama de árbol y se complementa con la fórmula para el cálculo de permutaciones y combinaciones. Finalmente, se presentan las definiciones de probabilidad, evento, probabilidad subjetiva, probabilidad basada en la frecuencia relativa y los axiomas proporcionados por el enfoque axiomático de la probabilidad.
Tipo: Monografías, Ensayos
2023/2024
1 / 15
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Instituto Tecnológico de Apizaco
Materia: Probabilidad y Estadística
Elaborado por: Uriel Torres Nestor
Presentado a: Prof. Vicente Castillo Benítez
Tema: Investigación
Apizaco, Tlaxcala a 10 de febrero 2024
Índice:
- Introducción: Investigación:
- 1.1 Conjuntos: Operaciones, Leyes y Representación
- 1.2 Introducción a la probabilidad.
- 1.2.1 Probabilidad de eventos aleatorios.
- 1.2.2 Diagramas de árbol
- 1.2.3 Permutaciones y combinaciones.
- 1.2.4 Espacio muestral y eventos
- 1.3 Definiciones de probabilidad.
- 1.3.1 Definición clásica.
- 1.3.2 Con base en la frecuencia relativa.
- 1.3.3 Axiomática.
- 1.4 Probabilidad condicional e independencia
- 1.5 Teorema de Bayes
- Conclusión
- Bibliografía:
1.1 Conjuntos: Operaciones, Leyes y Representación
Dentro de la rama de la probabilidad, podemos decir que un conjunto es una
colección de objetos distintos, los cuales llamaremos elementos, que comparten
características comunes. Las operaciones básicas en conjuntos incluyen la unión,
la intersección y la diferencia. La unión de dos conjuntos A y B incluye todos los
elementos que pertenecen a A, a B o a ambos. La intersección de A y B contiene
solo los elementos que están en ambos conjuntos. La diferencia de A y B incluye
todos los elementos de A que no están en B. Estas operaciones están regidas por
leyes como la ley conmutativa, asociativa y distributiva.
Ejemplo: Consideremos dos conjuntos A= 1, 2, 3 y B= 3, 4, 5. La unión de A y B es
(1, 2, 3, 4, 5), la intersección es 3 en este casi, y la diferencia de A y B es (1, 2).
La representación de conjuntos puede realizarse mediante diagramas de Venn,
listas de elementos o mediante notación de conjuntos.
Para profundizar aún más el diagrama de Venn, lo podemos representar
visualmente en la relación entre diferentes conjuntos y eventos. Consiste en círculos
(o elipses) que se superponen parcialmente o están contenidos dentro de otros
círculos, cada uno representando un conjunto o grupo de elementos. Estos círculos
se superponen en áreas comunes para mostrar la intersección entre los conjuntos
y se mantienen separados en áreas no superpuestas para mostrar la diferencia
entre ellos: Estructura
Leyes de los conjuntos: ley conmutativa, asociativa y distributiva.
- Ley conmutativa: Esta ley establece que el orden en el que se realizan las
operaciones no afecta el resultado. Por ejemplo, en la suma, a + b = b + a, y en la
multiplicación, a x b = b x a.
- Ley asociativa: Esta ley indica que el agrupamiento de los elementos en una
operación no afecta el resultado. Por ejemplo, en la suma, (a +b) + c= a + ( b +c ),
y en la multiplicación, (a x b) x c= a x (b x c).
- Ley distributiva: Esta ley establece la relación entre dos operaciones, usualmente
la multiplicación y la suma. Afirma que la multiplicación distribuye sobre la suma, es
decir, a x (b + c) = (a x b) + (a x c).
1.2 Introducción a la probabilidad.
La probabilidad es como todo un mundo dentro de las matemáticas para lidiar con
lo incierto. Nos ayuda a predecir y entender eventos que ocurren al azar en un
montón de áreas como lo es en nuestro caso la ingeniería civil.
Básicamente, se trata de medir cuanta posibilidad existe de que algo suceda. Se
representa como un número entre 0 y 1: 0 significa que es imposible y 1 que es
seguro. Si la probabilidad está más cerca de 1, es muy probable que ocurra,
mientras que, si está más cerca de 0, no es muy probable, o casi imposible de que
sucede, la definición de la probabilidad es algo muy breve que dentro del desarrollo
de los siguientes temas vamos a complementar.
Para entender este tema, necesitamos saber y tener en cuenta cosas como el
espacio de todas las posibles situaciones, los eventos que quieres estudiar y cómo
se relacionan entre sí. Hay diferentes maneras de calcular probabilidades,
dependiendo de qué tan exacta quieres que sea tu respuesta.
Y lo interesante aquí es que la probabilidad la usamos en un montón de cosas
prácticas: desde los juegos de azar hasta la predicción del tiempo, pasando por el
análisis de riesgos económicos como es en la ingeniería civil para calcular costos,
tener un menor desperdicio posible y hasta para decidir cosas en la vida diaria.
En pocas palabras, la probabilidad es como un azar, algo incierto que nos ayuda a
entender y medir lo incierto, siendo súper importante en un montón de áreas.
1.2.1 Probabilidad de eventos aleatorios.
La probabilidad de eventos aleatorios es un concepto fundamental en la teoría de la
probabilidad que se utiliza para cuantificar la posibilidad de que ocurra un evento
específico dentro de un conjunto de posibles resultados. Este tipo de eventos son
aquellos cuyo resultado no puede predecirse con certeza, ya que dependen de
factores aleatorios o no deterministas.
La fórmula básica para calcular la probabilidad de un evento aleatorio se basa en la
proporción entre el número de resultados favorables para ese evento y el número
total de resultados posibles en el espacio muestral. Esta fórmula se expresa como:
secuencia. Si tenemos un evento compuesto por varias etapas o niveles la cual
llamaremos n, la fórmula sería:
Estructura visual:
Esta fórmula como se observa es básica y se puede aplicar a cualquier diagrama
de árbol, claramente obteniendo los datos con anticipación y sabiéndola aplicar, solo
se sustituyen los datos y listo. Esto ayuda a calcular la probabilidad total de un
resultado final teniendo en cuenta todas las secuencias posibles de eventos
intermedios. Los diagramas de árbol y esta fórmula son herramientas
fundamentales en la teoría de la probabilidad que como mencionamos
anteriormente se van complementando unas con otras, especialmente cuando se
trata de eventos secuenciales o condicionales.
1.2.3 Permutaciones y combinaciones.
Una permutación es un arreglo ordenado de objetos. En otras palabras, es el
número de formas posible en que se pueden organizar los elementos de un
conjunto. Por ejemplo, si tenemos un conjunto de n elementos (varios elementos) y
queremos organizar r de ellos en orden, el número de permutaciones se denota
como P (n, r).
Por consiguiente, su fórmula para el cálculo de permutaciones es la siguiente:
La cual para que sea más entendible significa que:
- n! (factorial de n) representa el producto de todos los enteros positivos desde 1
hasta n.
- (n – r)! es el factorial del número de elementos restantes después de elegir r
elementos del conjunto de tamaño n.
Por otro lado, y complementando, las combinaciones es una selección no ordenada
de objetos. En otras palabras, es el número de formas en que se pueden seleccionar
r elementos de un conjunto de n elementos, sin tener en cuenta el orden en que las
podemos seleccionar. La notación para el número de combinaciones es C(n, r).
De igual manera, por consiguiente, su fórmula es la siguiente:
Y se entiende de la siguiente manera:
- n! sabemos que es la factorial de n.
- r! es el factorial de r, que representa el número de formas de organizar r elementos.
- (n – r)! es el factorial del número de elementos restantes después de elegir r
elementos del conjunto de tamaño n.
Sabiendo esta información de forma general, en conclusión, las permutaciones se
utilizan cuando el orden importa y así tener datos más precisos, mientras que las
combinaciones se utilizan cuando el orden no importa. Este tipo de temas son
fundamentales en la probabilidad ya que van de la mano y se aplican en una
variedad de problemas relacionados con la selección y organización de elementos
en conjuntos, en los cuales requerimos precisión.
1.2.4 Espacio muestral y eventos
Espacio Muestral :
El espacio muestral, denotado comúnmente como S, es el conjunto de todos los
posibles resultados de un experimento aleatorio. Por ejemplo, si lanzas un dado, el
espacio muestral sería el conjunto de números del 1 al 6, ya que esos son todos los
resultados posibles, para esto como es meramente teórico no existe una formula.
Ahora hablemos de los eventos.
Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral. Representa un conjunto
de resultados posibles que pueden ocurrir durante un experimento. Por ejemplo, si
lanzas un dado, el evento "sacar un número par" incluiría los resultados 2, 4 y 6.
A continuación, presentamos la fórmula básica para calcular la probabilidad de un
evento simple:
P(A): representa la probabilidad del evento A.
resultados favorables por el número total de resultados posibles en el espacio
muestral.
1.3.2 Con base en la frecuencia relativa.
La probabilidad basada en la frecuencia relativa es una forma práctica y realista de
calcular probabilidades usando datos que vemos. En lugar de depender de teorías
o ideas imaginadas, este método se basa en mirar con qué frecuencia pasa algo en
un grupo de datos.
La fórmula para calcular la probabilidad basada en la frecuencia relativa es muy
simple. Se define como la proporción de veces que ocurre un evento específico
respecto al número total de observaciones o ensayos realizados.
Su fórmula se expresa de la siguiente manera:
Explicándola más a detalle:
- P(A) es la probabilidad del evento A
- n(A) s el número de veces que ocurre el evento A dentro de un conjunto de datos
o ensayos.
- n es el número total de observaciones o ensayos realizados.
Como observamos la probabilidad basada en la frecuencia relativa es intuitiva y fácil
de entender, ya que se basa en datos reales y observables. Sin embargo, es
importante tener en cuenta que esta probabilidad puede variar dependiendo del
conjunto de datos utilizados y no necesariamente refleja la verdadera probabilidad
en un contexto teórico. Además, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la
probabilidad basada en la frecuencia relativa tiende a converger hacia la
probabilidad teórica.
1.3.3 Axiomática.
El enfoque axiomático de la probabilidad es una forma rigurosa de definir y
desarrollar la teoría de la probabilidad utilizando axiomas o postulados
fundamentales. En este enfoque, la probabilidad se define como una función que
asigna números reales a eventos dentro de un espacio muestral, cumpliendo con
ciertos principios básicos. Los axiomas proporcionan o son las reglas
fundamentales que deben cumplir estas funciones de probabilidad.
Tenemos tres axiomas principales en el enfoque axiomático de la probabilidad los
cuales son:
- Axioma de no negatividad: La probabilidad de cualquier evento siempre es un
número no negativo.
Para todo evento A.
- Axioma de normalización : La probabilidad del espacio muestral completo es igual
a 1.
Donde S es el espacio muestral.
- Axioma de aditividad: La probabilidad de la unión de dos eventos disjuntos es
igual a la suma de las probabilidades de esos eventos individuales.
sí A y B son eventos disjuntos, es decir, no pueden ocurrir simultáneamente. Dentro
de este axioma es importante saber que esta fórmula solo se aplica cuando los
eventos son mutuamente excluyentes.
1.4 Probabilidad condicional e independencia
La probabilidad condicional se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento
dado que otro evento ya ha ocurrido. En otras palabras, nos dice cómo cambia la
probabilidad de un evento cuando tenemos información adicional sobre otro evento.
Se denota como P (A | B), que se lee como "la probabilidad de A dado B".
La fórmula de probabilidad condicional es:
P(A│B): Probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ha ocurrido el evento
B.
P(A∩B): Probabilidad de que ocurran ambos eventos A y B simultáneamente.
P(B): Probabilidad de que ocurra el evento B.
Independencia:
El Teorema de Bayes nos permite renovar lo que pensamos acerca de un evento
sobre la probabilidad de una hipótesis después de observar nueva evidencia. Esto
es especialmente útil en situaciones donde la evidencia es incompleta o ambigua.
Un ejemplo del teorema de bayes puede ser el siguiente:
Supongamos que estamos revisando a un paciente para determinar si tiene una
enfermedad. P(A) sería la probabilidad inicial de que el paciente tenga la
enfermedad antes de realizar la prueba. P(B∣A) sería la probabilidad de que el
paciente tenga un resultado positivo en la prueba si realmente tiene la enfermedad.
P(B) sería la probabilidad de obtener un resultado positivo en la prueba,
independientemente de si el paciente tiene o no la enfermedad. Entonces, el
Teorema de Bayes nos permitiría calcular la probabilidad de que el paciente
realmente tenga la enfermedad dado un resultado positivo en la prueba.
En pocas palabras con información menos técnica, este se encarga de corroborar
lo que creemos, si no es así, ahora tendremos nueva información para poder
trabajar a partir de ese mismo evento.
Conclusión
En conclusión, podemos decir que cada uno de los temas de los cuales hablamos
en este documento, son importante ya que nos dan un visión diferente de lo que es
la probabilidad, al igual que dentro de nuestra carrera podemos aplicarla de muchas
manera, por así decirlo para el tema de costos y presupuestos, podemos tomar una
muestra de lo que tenemos, podemos de igual manera utilizar una serie de eventos
frecuentes para saber si algo dentro de la obra esta funcionando o no en fin entre
otras muchas otras cosas.
Además, es importante saber que el tema de la probabilidad es esencial para
entender y predecir eventos que no sabemos realmente que es lo que puede pasar.
Por ejemplo, donde aplican más las operaciones es dentro de las leyes conmutativa,
asociativa y distributiva ya que a mi punto de vista si se entiendes pueden ser pilares
básicos en el manejo de las operaciones probabilísticas. El Teorema de Bayes
igualmente se me hace importante destacar ya que nos permite actualizar lo que
creemos en función de nueva evidencia o nuevos resultados obtenidos, pero ahora
si ya comprobados.
Bibliografía:
- De Hierro AF, R. L. (2018, Enero 1). El diagrama de árbol: un recurso intuitivo en
Probabilidad y Combinatoria. Pablo Beltrán-Pellicer.
https://tierradenumeros.com/publication/201812-epsilon-diagrama-arbol/
- Leyes de conjuntos | Sistemas numéricos. (n.d.).
https://roa.cedia.edu.ec/webappscode/21/leyes_de_conjuntos.html
- Diagramas de Venn | Sistemas numéricos. (n.d.).
https://roa.cedia.edu.ec/webappscode/21/diagramas_de_venn.html
- Benites, L. (2022, Mayo 7). Evento aleatorio: definición, cómo encontrar la probabilidad.
Statologos. https://statologos.com/evento-al-azar/
- Introducción a la probabilidad. (n.d.).
https://bookdown.org/j_morales/weblinmod/02.1Probabilidad.html
- Permutaciones y Combinaciones. (n.d.).
https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T3/TopicText/es/textbook.html
- Equipo editorial, Etecé. (2022, Julio 14). Probabilidad - Concepto, tipos, fórmula,
aplicación y ejemplos. Concepto. https://concepto.de/probabilidad/
- Estadística, P. Y. (2022, Mayo 24). Probabilidad clásica. Probabilidad Y Estadística.
https://www.probabilidadyestadistica.net/probabilidad-clasica/
- Estadística, P. Y. (2022, Junio 13). Frecuencia relativa. Probabilidad Y Estadística.
https://www.probabilidadyestadistica.net/frecuencia-relativa/
- Definición, Axiomas y Teoremas. (n.d.).
http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro19/21definicin_axiomas_y
_teoremas.html