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Orientación Universidad
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La historia de la matemática como recurso didáctico, Apuntes de Matemáticas

Tipo: Apuntes

2018/2019

Subido el 09/07/2019

alejandra_camacho
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LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA COMO RECURSO DIDÁCTICO Y
ALTERNATIVA DE APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
EDILBERTO EFRAÍN CAICEDO VALLEJOS
GUSTAVO ADOLFO MADRIGAL ARBOLEDA
UNIVERSIDAD DE MEDELLÍN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
MEDELLÍN
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LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA COMO RECURSO DIDÁCTICO Y

ALTERNATIVA DE APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

EDILBERTO EFRAÍN CAICEDO VALLEJOS

GUSTAVO ADOLFO MADRIGAL ARBOLEDA

UNIVERSIDAD DE MEDELLÍN

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

MEDELLÍN

LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA COMO RECURSO DIDÁCTICO Y

ALTERNATIVA DE APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

EDILBERTO EFRAÍN CAICEDO VALLEJOS

GUSTAVO ADOLFO MADRIGAL ARBOLEDA

INVESTIGACIÓN PARA OPTAR AL TÍTULO DE MAGISTER EN

EDUCACIÓN MATEMÁTICA

ASESOR

JOSÉ ALBERTO RÚA VÁSQUEZ

UNIVERSIDAD DE MEDELLÍN

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

MEDELLÍN

  • INTRODUCCIÓN
    • 1 JUSTIFICACIÓN - 1.1 Apatía de los estudiantes en clase de matemática
      • 1.2 La clase de Matemática sustituida por las nuevas tecnologías.................................
      • 1.3 Construcción del concepto matemático
      • 1.4 El desapego y el poco sentido del estudio de las matemáticas.................................
      • 1.5 La Historia de la Matemática como un factor cultural y antropológico...................
      • de las Matemáticas 1.6 Escasa formación e interés de los profesores respecto a la Epistemología e Historia
      • 1.7 La Historia y su presencia en el “aula” de clase
      • 1.8 Número Irracional (concepto y aprendizaje)............................................................
    • 2 PROBLEMATIZACIÓN
      • 2.1 Pregunta problematizadora
      • 2.2 Objetivo general
      • 2.3 Objetivos específicos
    • 3 METODOLOGÍA
    • 4 LEGADOS TEÓRICOS
      • 4.1 Arte de la problematización
      • 4.1.1 La Historia de la Matemática como recurso didáctico.
        • 4.1.2 Epistemología
        • 4.1.3 Obstáculos Epistemológicos
        • 4.1.4 El Recurso Pedagógico: Explorando el aprendizaje
        • 4.1.4.1 La construcción del número en el niño:
      • 4.2 Los Números Irracionales
        • 4.2.1 Visión Histórica
      • 4.3 Aritmética Pitagórica
      • 4.4 Método Exhaustivo. - 4. 5 ....Nociones Generales Sobre Los Números Irracionales
    • 4.5.1 Por qué son importantes los números irracionales? ¡ ……………………………. - 4. 5 .2 Construcción de los números naturales - 4. 5 .3 Números Relativos
  • 5 CONTRIBUCIONES.......................................................................................................
  • 6 UNIDAD DIDACTICA
  • 7 CONCLUSIONES
  • 8 Referencias.....................................................................................................................
  • Ilustración 1. Mapa conceptual Números Reales INDICE DE FIGURAS
  • Ilustración 2. Análisis de textos
  • Ilustración 3. Representación de números cuadrados
  • Ilustración 4. Diagonal del cuadrado de lado
  • Ilustración 5. Áreas de cuadrados I
  • Ilustración 6. Áreas de cuadrados II.............................................................................................
  • Ilustración 7. Aproximación de π desde los egipcios...................................................................
  • Ilustración 8. Aproximación de π desde los babilonios
  • Ilustración 9. Polígonos inscritos y circunscritos en la circunferencia
  • Ilustración 10. Método de la aguja para obtener una aproximación de π...................................
  • Ilustración 11. El Partenón.........................................................................................................
  • Ilustración 12. Aproximación del número de oro desde el Partenón
  • Ilustración 13. El hombre Vitrubio
  • Ilustración 14. Comparación con el número de oro desde las medidas del cuerpo humano
  • Ilustración 15. Semostración de raíz cuadrada de
  • Ilustración 16. Inconmesurabilidad de raíz cuadrada de
  • Ilustración 17. Inconmensurabilidad de otras raices cuadradas no exactas

INTRODUCCIÓN

Este trabajo reconoce la importancia de la enseñanza de la Matemática a nivel escolar, y de algunas implicaciones que podrían enriquecer los procesos de aprendizaje de los estudiantes. Pretende una aproximación a la Historia de la Matemática en su evolución, desarrollo y maduración de conceptos en el tiempo, específicamente de los números irracionales; como recurso didáctico, para dotar de sentido la práctica del maestro (Rivera, Vélez, & Pupo, 2009). En ese sentido se propuso caracterizar los elementos básicos de una propuesta didáctica, para el reconocimiento de números irracionales, tomando la Historia de la Matemática como elemento didáctico. Esta investigación está enmarcada dentro del campo de la Educación Matemática, tiene carácter interdisciplinario, esto es, el problema de investigación se abordó de una manera integrada con aportes de disciplinas como: la Historia de las Matemáticas, en cuanto a un estudio de los aportes de investigaciones que se han realizado en el campo de la evolución histórica del concepto de número irracional; la Psicología, en cuanto a la psicología cognitiva; las Matemáticas, como eje orientador del trabajo; y la Didáctica de las Matemáticas, como campo de investigación integrador de las diversas disciplinas. Para alcanzar los objetivos propuestos se estableció la siguiente ruta: indagación en trabajos realizados sobre la Historia y la Epistemología y los numeros irracionales, Estructuración de conceptos previos para el acercamiento a los números irracionales , y documentación de un compendio de dificultades epistémicas, didácticas e histórica. Finalmente se hizo una propuesta didáctica que permite la aproximación del estudiante al concepto de continuidad en los irracionales.

1 JUSTIFICACIÓN

La visión histórica transforma meros hechos y destrezas sin alma en porciones de conocimiento (…. ) La perspectiva histórica nos acerca a la Matemática como ciencia humana, no endiosada, a veces penosamente reptante y en ocasiones falible (De Guzmán, 1992, p. 15) La enseñanza y el aprendizaje de la Matemática bajo la perspectiva de su evolución conceptual e histórica, se constituye en un factor cultural y antropológico que incluye la visión del maestro en su dimensión humana, también incluye los intereses que el hombre ha tenido a través del tiempo y que ha querido conocer y desarrollar de acuerdo a lo que le interesa saber. En el presente trabajo se busca exponer la importancia fundamental de la enseñanza de la Matemática a nivel escolar, y de algunas implicaciones que podrían consolidar mejores factores de aprendizaje, implementando la Historia de la Matemática como evolución, desarrollo y maduración de conceptos en el tiempo de la clase de matematicas y en el desarrollo y crecimiento mental del estudiante para dotar de sentido y método la práctica del maestro y hacer más efectivo el proceso de aprendizaje de los estudiantes. De igual manera se estudiarán algunas dificultades visualizadas en determinados contextos de la enseñanza de la Matemática por parte del professor a nivel escolar, específicamente en el grado octavo que se presentan en el manejo del componente didáctico, en la utilización de los textos

como mediador didáctico, también para superar otra tensión y reto; específicamente, en la negación al análisis de la sucesión de dificultades y de problemas, y a la comprensión de la evolución o maduración de los conceptos en la Historia. Que ha llevado fundamentalmente a fórmulas y resultados que surgen desprovistos de aprendizajes significativos y de sentido cultural y social, y fundamentalmente, descontextualizados, no permitiendo la incorporación de la problematización al aula de clase enfrentada con la formación de estudiantes críticos que han desarrollado procesos lógicos de pensamiento. Una de las razones que generan este desgano podemos atribuirla principalmente a los métodos tradicionales de enseñanza, a la manera como se presentan los conceptos matemáticos en el salón de clase. Se puede aseverar que esta forma de presentar la Matemática, crea incertidumbre y confusiones en los estudiantes, y es por ello que la consideran una ciencia “fría”, y solamente la ven útil para la calificación, porque no ha despertado en ellos motivación y sentido, por ser una asignatura más en el currículo.

1.2 La clase de Matemática sustituida por las nuevas tecnologías

Una segunda problemática que presentamos es la instrumentalización que en muchos casos se le ha dado a las nuevas tecnologías. Ellas se presentan como sustitutas del pensamiento matemático, debido a que la Matemática se enseña en la aplicación y no desde la creatividad y de la crítica, de alguna manera se podría decir que en lo referente a la metodología de apropiación de las nuevas tecnologías se requiere crear alternativas de relaciones y mediaciones didácticas

para movilizar las estructuras cognitivas, y particularmente para desarrollar pensamiento; más específicamente, el pensamiento numérico. La implementación de nuevas tecnologías en la clase de Matemática es una herramienta importante para su aprendizaje, aunque en general debemos ser conscientes, que un instrumento puede ser utilizado de forma inapropiada, dependiendo de la funcionalidad que se le otorgue y al sentido de su mediación. La utilización de instrumentos didácticos e innovaciones tecnológicas no deben tener la intención de remplazar al maestro de Matemática ni sustituir al estudiante, y es aquí donde se puntualiza la manera como la sociedad local considera el conocimiento, al que solamente evalúa como instrumento de trabajo y de manejo, y olvidando el papel de los niveles de abstracción en el desarrollo del pensamiento del estudiante y que hace que la Matemática sea sustituida y confundida por las nuevas tecnologías, resaltando solo el lado pragmático e instrumental en el desarrollo de esta ciencia. En general, se puede considerar que uno de los retos fundamentales en pedagogía es el desarrollo de nuevos métodos que le den funcionalidad a las tecnologías para que desde ellas se logre desarrollar mejor el pensamiento del estudiante, sin quitarle su papel creador, crítico y propositivo que ha de tener quien se está educando en el mundo contemporáneo. Es un error creer que con el uso a la ligera de las nuevas tecnologías se tiene con ello una nueva enseñanza de la Matemática. Debe anteceder al uso del computador en el aula, un método conveniente que lo haga eficaz en dicho papel.

que aprenden, y cuando reconocen algo, lo es debido al impacto en la vida práctica o en el uso profesional. Entre las causas más reconocidas de este desapego, tenemos las condiciones sociales y culturales, el tipo de interacciones, la influencia a sus intereses; los mismos que no son los más adecuados, así como tampoco lo son las condiciones económicas del grupo social donde se concreta el acto educativo. Allí no se distinguen intereses ni necesidades. La Matemática no tiene ninguna incidencia en su transformación, personal e intelectual, ya que los impactos de ella se dan es durante el desarrollo del conocimiento. En síntesis, en la manera tradicional, la Enseñanza de las Matemáticas no consulta el contexto del sujeto de aprendizaje.

1.5 La Historia de la Matemática como un factor cultural y antropológico

La Historia de la Matemática como recurso pedagógico no ha recogido todo su potencial, y se ha perdido su fuerza de incorporación como mediadora e instrumento de enseñanza y aprendizaje; su perspectiva, dimensión y visión humana permanecen ignoradas en el proceso educativo. Generalmente se presenta un matiz de la Matemática con verdades infalibles, como una ciencia limitada y agotada. No se interpreta ni se admite una Matemática capaz de corregir sus propios errores, provista de procesos constructivos y de interacción social en su enseñanza y mediadora de aprendizajes. El conocimiento matemático en la escuela no se concibe como una actividad social, los conocimientos se dan como conceptos acabados y se aprenden a través de la instrumentalización de la memoria; los mismos se dan por sentados y definitivos, y no consultan las necesidades, la motivación y el interés del estudiante.

1.6 Escasa formación e interés de los profesores respecto a la Epistemología e

Historia de las Matemáticas

Los grandes inconvenientes que se presentan en la pedagogía y didáctica de las Matemáticas tienen, entre otras causalidades, la escasa formación en la epistemología e histórica de las matemáticas de parte del profesorado. Son pocas las experiencias en donde los procesos de construcción y de maduración de los conceptos de la Matemática, sean fundamentales y necesarias para su desarrollo y aprendizaje, se enseña como una ciencia plenamente construida, no criticable y llena de dogmatismos, que en diversas ocasiones los mismos profesores no logran entender. Esto se sustenta en que generalmente el nivel de formación del profesorado, tanto de primaria como de secundaria, es del grado de licenciatura, nivel éste en el cual no se desarrollan plenamente, desde los currículos, las estructuras lógicas de la Matemática ni su evolución histórica y mucho menos su filosofía. Solo se exhibe una demostración formal y mecánica; pero sin desarrollar su génesis y su sentido, esto queda más claro si estudiamos la obra “La Matemática o pérdida de la incertidumbre” de M. Klein. Ello le resta dinamismo y actividad al proceso pedagógico. Los estudiantes asumen el modelo del conocimiento conveniente para su aprendizaje, la Matemática, como se asume una creencia religiosa: sin crítica y sin comprensión. Es decir, no se construye un conocimiento, sino una serie ordenada de creencias. Se genera así una disciplina que difícilmente podría calificarse de racional. El uso inadecuado de las nuevas tecnologías no podría solucionar este impase, pues ellas no pueden sustituir el proceso de argumentación.

1.7 La Historia y su presencia en el “aula” de clase

A través del análisis de algunos textos escolares, referentes al concepto de número irracional, se ha encontrado, poca presencia de su perspectiva histórica- matemática, para su abordaje y el desarrollo del pensamiento numérico. Dependiendo de los autores, existen textos que trabajan la historia de los números irracionales, pero sin ofrecer la posibilidad de conjeturar acerca de desarrollos futuros dentro del tema en estudio, sin hacer reflexión sobre limitaciones y alcances en el pasado, no posibilitando cuestionamientos para la construcción de un nuevo conocimiento que genere en el estudiante desarrollos del pensamiento numérico. Al abordar el contenido histórico, que presentan los autores de dichos textos, se nota que son una recopilación de fechas, temas y datos sin darles un enfoque didáctico apropiado. La perspectiva de la Historia de las Matemáticas debe generar situaciones significativas que enriquezcan las situaciones problema, particularmente al encuentro con los números irracionales, y en su conjunto numérico El estudio de los números irracionales se aborda a la par con el pensamiento numérico por dos razones fundamentales, se busca que el estudiantado tenga a la aritmética como unidad de pensamiento, y que, además, permite diferenciarlo del algebra.

Como segunda razón, y que sirve para sustentar el anterior, de acuerdo con esta tesis siempre se debe crear en el estudiante algún conflicto con el modelo matemático. Inicialmente se tiene apoyo para ello en la ley de composición interna que dice que los resultados de una operación quedan en el mismo conjunto numérico de los elementos operados: la suma de dos enteros es otro entero, el producto de naturales es otro natural, etc. Ésta regla exige trabajar con operaciones cerradas, lo que podría limitar el conjunto solución de problemas en contextos específicos que impliquen el desarrollo y entendimiento de las operaciones básica en los conjuntos numéricos. Si se toman los naturales, la única operación consistente dentro de ellos es la adición y en cierto sentido, el producto. En esta perspectiva, no se puede salir del conjunto de los naturales; pero tanto los procesos del pensamiento como los problemas de la vida cotidiana y el desarrollo de la ciencia exigen la aparición de otras operaciones como la resta, el producto y la división. Con la resta se genera una posibilidad de ampliación del conjunto de los números naturales, desde ella construimos en conjunto de los números enteros. Aun ampliando los enteros, sigue esta necesidad de extensión y ahora con mayor énfasis, ya que, con la división de enteros se generan los números racionales. Desde este punto de vista, y haciendo la conversión de fracción a decimal y viceversa llevamos a los estudiantes a la necesidad de la existencia y la forma de construir los números irracionales a partir de residuos infinitos y no periódicos, generando en ellos una “crisis” nueva, ya que, estos decimales no pueden tener interpretación racional, aproximándolos a su interpretación en su sentido inverso.

De alguna manera, la problemática frente a estas temáticas no ha sido suficientemente tratada por los textos comunes de secundaria y, además, el tratamiento mal dirigido y comprendido, aprendizaje, particularmente generan deficiencias en el proceso pedagógico de enseñanza los números que los números irracionales no se comprendan como fundamentales en la concepción del cálculo Además de las anteriores dificultades, se pueden agregar muchas otras que obstaculizan la comprensión, el aprendizaje y el desarrollo del pensamiento numérico, en especial en lo relacionado con los irracionales. Todo esto exige una alternativa de propuesta didáctica que esté fundamentada en el desarrollo histórico, y los recursos proporcionados por las nuevas tecnologías, utilizadas en forma crítica, tanto por el maestro como por los estudiantes. Ello nos permitiría construir en forma coherente la ampliación de los conjuntos numéricos que se van a conocer, en nuestro caso, los irracionales. Mediante el estudio crítico y analítico que se haga junto con los estudiantes, puede lograrse un crecimiento y madurez lógica que se pierde con el estudio meramente mecánico. Madurez ésta que permita comprender las nociones formales que identifican a los irracionales, reconociendo al mismo tiempo las dificultades y problemas que se han dado en el proceso histórico que generó a los irracionales, pero principalmente adecuando algunas ideas a una visión escolar para mejorar su enseñanza, dotarla de sentido y facilitar su reconocimiento. Las consideraciones anteriores, como contribución en el presente trabajo, toman la Historia de la Matemática como un mediador didáctico y como una alternativa de solución a la problemática allí planteada.

2 PROBLEMATIZACIÓN

En este trabajo, se toman elementos de la estructura de los numeros irracionales y de conceptos en la Historia de la Matemática para aproximar una alternativa didáctica en el proceso enseñanza aprendizaje de los números irracionales. No sobra advertir que la citación histórica de la Matemática no siempre se presenta de forma explícita sino, que en muchas ocasiones, el contexto y el problema, así como su tratamiento nos llevan a su génesis histórica. Al redactar esta situación se resalta que, en los avances de la Matemática durante su historia, sus conceptos toman fórmulas y teorías que han sido redefinidas cada vez con mayor precisión y claridad, y ello ha generado consecuentemente en el campo de la educación que en el proceso de enseñanza aprendizaje, la pedagogía y la didáctica evolucionen. Al apreciar un buen número de textos de Matemáticas, se evidencia una presentación muy formal, propia del saber, no obstante, se dejan cuantiosas entidades implícitas en su contenido. Los matemáticos posteriores y los divulgadores de las Matemáticas son los que encuentran estas condiciones implícitas y hacen con ello que el concepto matemático sea más asequible para una persona común y corriente. En forma correspondiente, la labor del maestro es la de generar una conceptualización clara en el estudiante por un proceso de pensamiento desde el lenguaje común para que cuando se formalice, o se construya la fórmula, el estudiante comprenda su significado. Es en este sentido en que la evolución histórica de la Matemática se muestra de forma implícita, pues de seguro no se estaría en condiciones de descomponer y penetrar en el teorema como originalmente se present.