Integrales Definidas: Concepto, Propiedades y Cálculo, Ejercicios de Álgebra Lineal

En general,

tir.ino z n

la suma indicada desde el t~rmino za basta el

m ~ n , se designa con

(1)

n

L xi = xm + xm+1 + ... + xn

i=m

i • S

(2) L (Sk-3)

k =-

[ 5(-2) -3)] + [ 5(-1 )·- 3] + [5(0)-3] t [5(1)-3]

(3) ¿ i F (51)2 + (52)2 + ... + (99)

j =51 :l95, 425 )

Se cumple

n

(1) ¿ e^ =^ en^ donde^ e^ es^ una^ constante.

i = 1

n n

(2) (^) ¿ ex. (^) e • l. L^ xi

i = 1 i- 1

n n n

(3)

¿ (xi±yi)^ ¿ x.^ ±^ ¿ yi 1

i = 1 i ~ 1 i- 1

LA INTEGRAL DEFINIDA

C4) Prapi.ctad t•lescáptca

n

L (xi + 1 - xi ) "' xn+l - X¡ •

i- 1

n

¿ x.^ - 1

i .. l

si m <n.

(x 2

• x 1

) +(x 3

-x 2

)+(x 4

-x 3

)+ ••. +(xn+l- xn)

= -xl + (x2-x2)+(x3-~) + ••. +(xn-~)+xn+l

1.3 Algunas Sumas

n

(1.3.1) (^) ¿ i

n ~n+1l

2

i = 1

n

(1.3.2) (^) ¿ i^

n(n+1).(2n+1)

6

i = 1

n

( 1.3.3) (^) ¿ i3^ =^

n

~n+1)

2

i .. 1

n

CAP.

( 1.3.4) (^) ¿:

ip _l_np+l^ p^ p- p+

• A¡,n + AP_ 1

n + ••. + A 1

n+ A 0

i =o

donde pes un número entero no negativo y Ac, A

, ... ,Ap'

son constantes.

n

¿ sen ix

i .. 1

--~-x-{ cos f- cos(n+ ~ )x l

2 sen 2

LA INTEGRAL DEFINmA CAP.

Por inducción sobre p probar que se cumple

n

2:

i • 1

en donde (^) Ao , •·• , AP son constantes.

SCLUCICIN

n

sP. L

Sea

.p

1 • Debemos probar que S es un polinomio en p

i • 1

n cuyo término de mayor grado es

1 p+

P+'ln

Sumando miembro a miembro las identidades

(i+1)p+l -ip+l • (p+1)ip + ~ ip-

• ..• + (p+1)i + 1

(i21,2, ••. ,n)

y aplicando la propiedad telescópica a la suma del primer miembro se ob-

tiene

(n+1)p+

• 1 • (p+1)SP +~ sP_ 1

• ... + (p+l)s 1

• s 0

Si p • O tenemos

la formula indicada.

(n+l) - 1 2 s 0

, de donde s 0

.= n y se cwnple

Supongamos ahora que s 0

, •• , , sp- 1

son polinomios en n de gr.!!_

do<: p • Entonces Q "' (p+i)p Sp-l + .. , + (p+1)S

• s 0

tiene

grado <: p y (1) se expresa así:

(n+1) p+

• 1 = (p+l) S + Q p

Por otro lado tenemos que

(2)

(n+l)p+

-1 • np+l -r ~ nP + ••• + (p+l)n .. np+l +R , (3)

en donde R es un polinomio de grado p ,

Reemplazando (3) era (2) y despejando S resulta p

1 p+1 1 sp - p+ 1

n + p:+r (R-Q) siendo^ T un^ poli

ndmio de grado <:p.

Así, para SP también se cumple la formula y concluye la prueba.

PR08LEI'IA 4

Probar que

SOL.UCIDN

PROBLEMAS RESUELTOS

n

L sen ix •

i• 1

x · [ coa T- coa (n + t )x J

2 sen 2

Usamos la identidad sen a • sen b • t ~os (a-b) - coe (a+b >]

b • ~ , y obtenemos para i• 1, 2, ••• , n.

con a•ix,

sen 1x^ •^ • sen "1 X^ • T1[ coa (' 1 -y1) x - coa (' 1 +z1)] x

yi • cos(i - +> x.

Sumando miembro a miembro resulta

n

L sen ix

i ~ 1

n

• sen T • - .f ¿ (y i+l - Yi )

i- 1

donde

• • -r<Yn+l .;.. Y 1

) (propiedad telescópica)

n

¿ sen^ ix^ •^ -_,;;,

i'"' 1

PRDBLEI1A :

BOLUCIDN

n

Tenemos (^) ¿

i=

X 2 sen

Hallar

(2i + 5)

• • 2 1 [ coa 2-X^ cus(n+2)^1 x J, y^ por^ lo^ tanto

[ cos ~ - cos (n + ~ ) x]

¿ (2i+5).

i- 1

n n

(^2) ¿ i (^) + 5 ¿ (^) 1 - 2

n~n+

2

• 5n

i- 1 i• 1

n (n+6).

Luego, para nz100 se obtiene 100(100+6) - 10,600.

2. 1 SUMAS DE INTEGRAL

2 LA I NTEBRAL DEF 1 NI DA COI10 UN LUUTE DE 8Ut1AB

DefiniciórY

Sea f(x) una función definida en un intervalo cerrado [a,b] •

Una ._. e iD.tegral (o suu. de Ri--) de f(x) en ( a,b] , es una

sum& de la forma

donde

Eje~ lo

( 1 ) a • x

<: x

<:. .. < xn • b

(2) t::. xi • xi - xi-

(3) t. es un número tal que x.

<: f;. < x 1

. ( i• 1, ••• ,n).

1 1- 1

Sean f(x) & - (x-2)

2

a a 1, b • 5

Xo • 1' xl • 2

Xt •^4 x,^ •^5

~l

f;2 •^ 2.5.^ f;l

• 5

Calcular la suma integral S de f(x) asociada a estos datos e inter-

pretar geométricamente la suma S.

Boluci6n y

TP.nemos

i

o

1

Luego

LA INTEGRAL DEFINIDA

X]. f;i f1 X]. • xi - Xi-

S • ~f(~.Mx.~ 4 +7.50- 5 = 6. L~ 1 - 1

i-

Int:erpret:ac:lma vaa-ftrlca de lA ...,. S

En la figura

f(~í) f(~i) f1xi

f(~z)t1xz

f(~3)f1x

7.5 = Area del rectángulo R 2

-5 = - Area del rectángulo R 3

Por lo tanto, S = Area R 1

+ Area R

2

• Area R

CAP.

y geométricamente, S es igual al área algebraica de la reg1on compuesta

por R

1

; R 2

y R

3

, si se conviene en .asignar el signo + o el signo

al área de un rectángulo según éste se encuentre arriba o abajo del eje

X, respectivamente.

lnt:arpret:AcidÍ\ QIIO..tt:rlCA de lA IIWN de lnt:qrAl

La interpretaci~n de la suma de integral que hemos dado en el ejem-

plo precedente admite una generalización inmediata cuando se trata de una

función cualquiera. En efecto, consideremos la suma de integral.

n

S ¿f(~i) llxi

i=

Sea R.

1

el rectángulo determinado por

va lo (X. } , X.)

1- 1

y por lo tanto,

Entonces el área de

A. = l

S

n

~ f(~. ) t:.x. ¿ 1 1

iz

R.

l

si

si

f(~i) y^ de^ baso^ el^ in^ ter-

es

f(f,;i) ;;;.o

f(~i) <o

donde para cada i se debe elegir el signo + o el signo según que

Ri se encuentre arriba o por debajo del eje X, respectivamente.

Así, geolllétrk-te S ea el área algebraica de la ~ ccnapuea-

ta por :.- recd-aaloe ~ , ~ , · ·. , R 0

LA INTEGRAL DEFINIDA CAP.

2.2.2 c.tlculo de la intevr'al definida usando suc-ion- de

su.as de i ntev,.al

TIKr ...

Sea

[ a,b) ,

f(x) una función continua en el intervalo cerrado

Supongamos que para cada entero n > 1 es dada una

n

suma de integral ~ f(E,;.) ~x. de f(x) en [ a,b) ¿ ~ ~

Si

i•l

se cumple que lim ll11 • O , donde ll11 • max l1xi , entonces

n+""

J.b f(x) dx •

Nota

lim

n+oo

f(E,;.) 6x .•

~ ~

La prueba del teorema es una consecuencia

teorema de existencia de la integral definida

timos los detalles.

inmediata del

(2.2.1) Omi-

Ejllllplo

Si

(1)

y (3)

Luego

Cálculo de la intev,.al definida usando int.,.

valos de igual longitud

l1x ..

X. • ~

n

a+ i6x a+

.i(b-a)

n

E,;i es un número tal que

i•O,l, .•. ,n

lim 1 t.l • lim ~ • O y por lo tanto, por el n , n-+co n+oo

teorema precedente, se cumple que

b n

J f(x)dx • lim ¿ f(E,;i)l1x

a n+oo i•l

y

o

LA INTEGRAL DEFINIDA

....... ~ .....

.. .. ... ......

y e f (x)

La figura muestra la gráfica de^ lá función f(x)^ en el intervalo

{ a,l::). Se ha dividido el intervalo 1 a,b) en n :>ubinlervalos

lx , X. l de^ igual^ longitud^ ilx^ X. (^) - X. =~^ En^ cada^ in- 1.-l l. l. 1.-l '

t2rvalo 1 X. , X. J- l l.

se ha eleg i.do un nÚI'lero E;i para fol"'Tlar ld su.na

de integral

de enunciar

n

S n ¿ f (f~i )L'l".

i= 1

establece c¡ue cuando

Ahora bien,

Ib f(x)dx

a

este Yalor basta ballar el lía:it:e ele S^ cuaad.;, u

n

el L~orema que se acaba

exis~:e, ,ara cticular

n ~oo. Dicl10 de otra

n1aneta, las suaaa ¿ f(é; 5

)il'< se aprrori.aan al vaJor C:e la intep-a

i= 1

cua~do el número n de s ubinterval~s de igual longitud crece imieiio,da-

8ellte.

LA INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 1 Tomando rectángulos inscritos de igual base hallar

r xdx'

donde

Solución

y

En este caso f(x) = x es una

función continua y por lo tanto

existe f(x) dx.

I

b

Procedemos a calcular la integraL

Para n ~ 1, sean

/:;x = .12.:.!!...

x.

~

~i

Luego

n

a+ iLix

Formamos la SU!ud

+ i(b-a) Y

a n '

(i = 1 , ..• , n) •

a +

a < b.

Xz

(i-1) (b-a)

n

S

n

n

¿ ~[a+

(i-1) (b-a) ]· ~

n n

i = 1

(b-a)

Lt~ ~ ·

(b-a) [a + (b:a)

(b-a)

(b-a)

luego, por el teorP.ma 2.2.

i = 1

n

i=

i(b-a)

n

(b~a) ]

lim

n-+ao

sn = (b-a>[ a+ (b~a) (1) +0]

(b-a) (b+a)

n

(pues ¿

i= 1

(pues lim

n-+ao

e = nc)

J.= o) n

X

LA I~~EGRAL DEFINIDA CAP.J

Ejemplo 2

Hallar el área bajo la curva y =x

2 desde :e= O a x=2.

y

y=x?-

X

-2 2

La función y f(x) es continua y toma valores ~ O.

Debemos calcular

Eea n es un número

x. o

~

f;i

X. ~

A r^ x2^ dx.

Jo

entero ;;;. 1 y tomemos

• ió.x

.ll. n

.

ó.x

.1..

• (^) - n - n

i 0,1, (^). n

i 1, 2, n

(estamos considerando rectángulos circunscritos a la parábola y= x

2 )

Luego

Tenemos entonces

~:

n

x

dx

lim (^) ¿ f(f;i) Ó. X teorema 2.2.2)

n+.., i• 1

n n

lim (^) ¿

4-i" 2 lim

¿

.....,..._ (^) i

n+..,

n n n ... ..,

n

i- 1 i- 1

n

lim

(^8) n~n+ll ~2n+1l (pues

¿ i2= n(n+1~(2n+q)

n +"'

7 6

i•

lim .i^ (1^ +^ .!.^ )(2^ +.!.)^

(pues lim .L.o ). 3 n n 3 n n +oo n +oo

y

LA INTEGRAL DEFINIDA CAP.

Luego y (E;.) 1

sen

En tone es tenemos

1<'1 sen xdx = lirn f

O n->-oo i= 1

lim

n->oo

lirn

~ n

a

n

ia

n

ia a (sen n-> <-;;-)

n

¿

ia sen-- n

i= 1

( por el teorema 2.2. 2 )

2 sen -t:;-

[cos 2~-

cos(n+t):]

( aplicando la fórmula (1.3.5) pág. 82, con X=~) n

Ahora bien lim

n-+ oo

lim

n _.. oo

lirn

n-> ro (^) sen

a sen("""'2;;'")

2n

a cos 2'ñ'

(a) 2n

reos ~ - e os ( 1 + -

-) a J L 2n 2n

(~) 2n

pues lim

e os ( 1 im ....:!...

2n n->oo

x-+ o

sen x

X

cos o

lim

n-+ oo

cos( 1 + 2n) a cos [lim ( 1 + *)a]

n-+ oo

cos a ,

y por 1 o tanto ,

[ sen^ xdx

o

1

;¡

sen xdx

o

1 - e os a,

1 - cos a.

si a> O.

LA I!'rrEGRAL DEFINIDA

Ej8fllpla :5 Encontrar^ el^ área^ entre^ la^ curva^ y^ z^ x^

el .;je X y

las rectas verticales x = a y x = b, donde O< a < b •

Saluci6n La^ función^ f(x)^ e!'l^ continua^ en^ O<^ x.^

Sea n un

T'Ú!nero entero ;;. l. Tomemos

(1)

i b -ñ

x ... a(-'

l. a

t.xi • xi - xi-

X

Sea llt.ll • maxllxi. Probaremos que

<2) lim 1 t. U • o.

En efecto,

n -+oo

O <: l>x.

l.

(^111) X: - X. = l. J.-

;_ = O, l, ••• , n

i=l,2, ... ,n

i-

a(..L;-n a

..-.;:; b

v por lo tanto

1 lim fr

para i^ =^ 1,^ 2,^ ••.^ ,^ n,

Ahora bien lim (l)na •^ 'l)n......~a (por la conti~uidad de la funci6n

n ......

exponencia! ex, e > O

• (.2_)0 =

a

y por ~onsiguiente (^) [

b 1 lim <a-> ñ-

n -+oo

l J

o •

y ten~endo en cuenta la desi6ualdad anterior

O< lim

n -+<~>

llt.!l ..:;; lim [<J:...f- l n -+oo a

] = O^ ,^ de^ donde^ lim^11 t,^^11 •^ O^ , n ......

lo que pn•eba (2).