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Resumen
El recorrido histórico sobre la creación de las geometrías no euclidianas, es decisivo para juzgar los criterios que la epistemología ha planteado en el problema de la validez de los enunciados de las ciencias formales, así como con respecto al interrogante por los razonamientos implicados en estas ciencias. La creatividad manifiesta en las geometrías alternativas, no-euclidianas, tiene repercusiones en la filosofía pues con ellas se muestra que para la elaboración de teoremas se requiere una multiplicidad de formas de los enunciados, que no se puede reducir simplemente a los enunciados analíticos, sino que son verdaderas construcciones, en consecuencia, también cambian los puntos de vista pedagógicos.
Palabras clave : epistemología de la geometría, geometrías no euclidianas, filosofía de las ciencias formales.
LECCIONES EPISTEMOLÓGICAS
DE LA HISTORIA DE LA GEOMETRÍA
Carlos Arturo Londoño Ramos Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia Blanca Inés Prada Márquez Universidad Industrial de Santander
Lecciones epistemológicas de la historia de la geometría - p. 183 - 211
…no podemos por menos de reconocer la verdad de aquel principio de Platón según el cual todo aquel que desee con éxito dedicarse a la metafísica debe prepararse para ello con el estudio de la geometría. Johann Heinrich Pestalozzi. Cartas sobre la Educación infantil.
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Introducción
Desde la antigua Grecia, la matemática ha suscitado problemas filosóficos, e incluso en la escuela platónica la geometría se convirtió en uno de los modelos ejemplares para las otras ciencias. La filosofía de las ciencias lógico- matemáticas se pregunta en qué radica la validez de sus enunciados. ¿Por qué aceptamos sus enunciados como universales? ¿En razón de qué aprobamos sus enunciados como verdaderos a priori , es decir, sin tener en cuenta la experiencia? Cuál es la característica especial de los conceptos matemáticos? Por ejemplo, el punto, que según Euclides se define como “lo que no tiene partes” no es un espacio real, sino conceptual. En la filosofía también se ha contado con problemas que no son estrictamente lógico-matemáticos, pero que inciden en su comprensión y en la explicación de su génesis, tales como las relaciones entre la validez de estas ciencias formales con su origen, es decir, la conexión con el desarrollo histórico y con el aprendizaje individual, tal como lo investiga Jean Piaget. Este problema, a su vez, está enlazado con otro, ¿si las ciencias lógico-matemáticas sólo tratan con conceptos, principios lógicos y deducciones, por qué son aplicables, en las ciencias naturales y en la tecnología? A este problema se acercan algunas corrientes de interpretación denominadas “intuicionistas” y la sicología cognitiva.
Abstract
The historical background of the creation of non-Euclidean geometries, is crucial for judging the criteria that epistemology has raised with regard to the question of validity of statements of the formal sciences as well, as with the question of the reasoning involved in these sciences. The creativity manifested in non-Euclidean alternative geometries, has implications for philosophy because with these it shows that the development of theorems requires a multiplicity of statement forms, which cannot be simply reduced to analytical statements, but which are true constructions, therefore changing pedagogical viewpoints_._
Key words: epistemology of geometry, non-Euclidean geometries, philosophy of the formal sciences.
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Poco se sabe de la vida de Tales de Mileto, la tradición le atribuye la predicción del eclipse del año 585 a. C., lo califica además de primer filósofo, colocándolo entre la lista de los siete sabios del mundo antiguo y es considerado además como un hombre particularmente inteligente, el primer matemático auténtico, es decir, como el padre de la organización deductiva de la geometría, atribuyéndole en primer lugar la proposición que hoy se conoce como el teorema de Tales : “ Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto ” , del cual dicha tradición, ofreció algunas demostraciones. También se le atribuyen otros seis teoremas sobre los cuales habría ofrecido alguna demostración.^3 De otra parte, se le atribuye el primer esfuerzo de cálculo para medir la altura de las pirámides de Egipto, como también el planteamiento de un problema para hallar, en un momento determinado, la distancia que separa un barco de la costa.
Pitágoras fue el fundador de la escuela que lleva su nombre; su vida está plagada de misterio, envuelta por la leyenda y por una especie de culto, casi religioso. Viajaría a Egipto y Babilonia, y posiblemente, también a la India, viajes en los cuales, no sólo asimiló conocimientos matemáticos y astronómicos sino también religiosos, siendo casi contemporáneo de Buda, Confucio y Lao-Tse.
Después de sus viajes se estableció en Crotona, en la costa sudeste donde hoy queda Italia, pero en aquella época se conocía como la Magna Grecia, allí fundó su escuela o su secta. La asociación pitagórica, cofradía o hermandad, estaba basada en la comunidad de bienes y de descubrimientos. Su principal objetivo era la purificación del alma o catarsis, cultivando el arte de la música y la ciencia de las matemáticas, siguiendo el camino de la filosofía, palabra que desde entonces ha significado amor a la sabiduría ; tenían también un gran sentido de fraternidad y cultivo de la amistad.^4 La escuela pitagórica se caracterizó, entre otras cosas, por la búsqueda en el mundo inteligible del principio generador del universo, introduciendo la novedad de que en el fondo del mundo material el número es lo único accesible al intelecto.^5 El lema de la escuela pitagórica habría sido “todo es número” y su contribución más importante a la geometría sería su famoso teorema.
(^3) CID, Felip. Historia de la ciencia. Barcelona: Planeta, tomo I, 1977, p. 67. (^4) VERA, Francisco (Comp.). Científicos griegos. Madrid: Aguilar, Tomo I. , 1970, p. 54. (^5) BOYER, Carl. Historia de las matemáticas. Madrid: Alianza. 1999, p. 78.
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El teorema de Pitágoras dice que en todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Aunque el teorema pueda proceder de los babilonios, fueron los pitagóricos los primeros en darle una demostración. El famoso teorema dio origen al descubrimiento del número irracional cuando aplicaron el teorema al triángulo rectángulo isósceles de catetos iguales a la unidad, resultando lo que algunos estudiosos del pitagorismo, entre otros Paul Tannery, han llamado “el escándalo de la matemática pitagórica”.
Los pitagóricos consideraron la matemática como la ciencia suprema, la ciencia- tipo del conocimiento: todo su sistema tiende al matematismo. El matematismo cuasi pitagórico ha impregnado todo el desarrollo de la ciencia moderna desde Galileo, tendencia que se sintió mucho más fuerte en el siglo XX como bien lo señala Bertrand Russell al decir que “lo más extraño de la ciencia contemporánea sea quizá, su vuelta al pitagorismo” 6.
2. La geometría de Euclides, monumento intelectual difícil de derrumbar
Euclides de Alejandría enseñó matemáticas durante el reinado de Ptolomeo I (siglo III a. de J.C.). Hasta nuestros días han sobrevivido cinco obras: Elementos , Los datos , La división de figuras , Los fenómenos y La óptica. La última de estas obras tiene el interés de ser una obra sobre perspectiva o la geometría de la visión directa. Según Boyer los antiguos habían dividido el estudio de los fenómenos ópticos en tres partes: Óptica o la geometría de la visión directa; Catóptrica o la geometría de los rayos reflejados; y Diotrópica o la geometría de los rayos refractados.
La geometría clásica bajo la forma que le dio Euclides dentro de Element os, pasó durante casi veinte siglos por un modelo insuperable e inigualable de teoría deductiva. Los términos propios de la teoría no son jamás introducidos sin ser definidos. Las proposiciones no son jamás avanzadas sin ser demostradas con excepción de un pequeño número de ellas que son enunciadas a título de principio: la demostración no puede remontarse al infinito y, debe, por lo tanto, reposar sobre algunas proposiciones primeras que han sido escogidas con tal cuidado para que ninguna duda subsista sobre ellas.
(^6) VERA, Francisco (Comp.). Científicos griegos. Op. Cit,, p. 58.
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convincentes por sí mismos, por ser verdades comunes a todas las ciencias, es decir son supuestos necesarios que no requieren demostración, mientras que los segundos son menos evidentes aunque son supuestos necesarios. Esta primera tentativa de axiomatización fundó la geometría sobre bases consideradas indiscutibles durante muchos siglos.
Según señala el filósofo y matemático austriaco Richard Misses en su artículo “Los postulados de la matemática y el entendimiento humano”^8 en nuestro aprendizaje preuniversitario se suelen enseñar axiomas de la geometría y de la aritmética como verdades irrefutables, por ejemplo: toda cantidad es igual a sí misma; el todo es mayor que cualquiera de sus partes; todos los ángulos rectos son iguales entre sí, afirmándose de estos axiomas que son verdades autoevidentes y que todos los teoremas matemáticos se siguen de ellos de un modo estrictamente lógico. Investigaciones modernas sobre los fundamentos de la geometría han mostrado que no puede construirse geometría alguna a partir de las escasas proposiciones básicas formuladas como axiomas en los textos didácticos.
Euclides, como Aristóteles con la lógica formal, y posteriormente Pascal, Leibniz y Newton con la física clásica, expresó el ideal de organización axiomática de una disciplina, “ideal que grosso modo podía reducirse a la elección de un pequeño número de proposiciones evidentes dentro de aquel ámbito del saber y a la posterior deducción de todas las demás proposiciones verdaderas en dicho ámbito, partiendo de aquellas”^9.
3. El quinto postulado: talón de Aquiles de la geometría euclidiana
Desde la época antigua, el quinto postulado de Euclides no había resultado para los estudiosos demasiado evidente. El famoso postulado a veces denominado “de las paralelas” fue formulado así por Euclides: “Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en que están los (ángulos) menores que dos rectos” (Euclides, Libro I, Postulado 5)^10. (figura 1)
(^8) NEWMAN, John Von Sigma. El mundo de las matemáticas. Barcelona: Grijalbo, tomos IV y V, 1983. (^9) REALE Giovanni y ANTISERI, Darío Historia del pensamiento filosófico y científico. Barcelona: Herder, Tomo III, 1988, p. 328. (^10) EUCLIDES. Elementos. Trad. María Luisa Puertas. Madrid: Gredos, 1991, p. 197.
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(^11) Cfr. AGAZZI Evandro y PALADINO, D. Le geometrie non - euclidienne e i fondamenti della geometria. Milán, Mondarori, 1978.
Figura 1. Postulado de las paralelas
P
Como bien lo explican Antiseri y Reale, este postulado nos indica que, si tenemos en un plano una recta s y un punto P exterior a ella, en el plano sólo existe una recta r que pase por el punto P y sea paralela a la recta s , en el sentido de que jamás la encuentre. Sucede tal cosa, continúan diciendo los autores señalados, cuando la recta r y la recta s se encuentran con la recta t y forman dos ángulos rectos (como en la figura 2a) o dos ángulos cuya suma sea igual a dos rectos (como en la figura 2b).
Figura 2a. Primera interpretación Figura 2b. Segunda interpretación del postulado de las paralelas del postulado de las paralelas
P P
El problema está en que esta proposición no es algo evidente, y en otro modelo puede resultar falsa. En efecto, si el plano que contiene la recta s y el punto P exterior a ella queda limitado a la zona interior del círculo, entonces se aprecia de inmediato (como se intuye a través de la figura 3) que hay muchas rectas que pasan por P y que no se encuentran con s. Si aumentamos el radio del círculo, disminuirá la cantidad de rectas que pasan por P y no se interseccan. ¿Qué intuición, qué autoevidencia podrá garantizarnos que esta situación dejara de darse cuando el plano sea limitado?, se pregunta Agazzi^11.
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(^12) Cfr. AGAZZI, Evandro y PALADINO, D. (1978). Le geometrie non-euclidienne e i fondamenti della geometria. Milán, Mondarori, 1978.
4. Desarrollo de las geometrías no euclidianas
A lo largo de la historia del pensamiento griego, árabe, y renacentista, los matemáticos y filósofos estuvieron siempre muy inquietos frente al quinto postulado, al que veían más como un teorema que como un postulado, de ahí los intentos por demostrarlo como si fuera una consecuencia de los primeros cuatro que parecían sencillos y evidentes. Sin embargo, todos los intentos fracasaron.
En el siglo XVIII el jesuita Girolamo Saccheri (1677-1733), en su obra Euclides enmendado de todos sus defectos (1733) se propuso negar el postulado euclidiano de la paralela y dedujo naturalmente todas las consecuencias lógicas de tal negación, tratando de buscar una contradicción que demostrara, mediante el absurdo, el famoso postulado.^12 Algunos estudiosos de la matemática, piensan que éste podría ser un primer esfuerzo coherente por construir una geometría no euclidiana. Otros matemáticos como Lambert, Taurinus, Wachter y Reid, ofrecieron también sus aportes en este esfuerzo por demostrar o negar el quinto postulado, sin embargo, todos ellos lo que intentaban era, o bien negar la geometría euclidiana creando una nueva geometría, o bien mostrar que definitivamente la geometría de Euclides era la única geometría posible, por lo tanto, no consideraron nunca la posibilidad de que pudieran existir dos o más geometrías igualmente válidas. Este honor sólo lo logran Gauss (1777- 1855), Bolyai (1802-1860) y Lobachevsky (1793-1856), quienes van a mostrar la posibilidad de aceptar dos o más sistemas de proposiciones opuestas como simultáneamente verdaderas desde el punto de vista formal, atribuyendo a los mundos geométricos que les correspondan el mismo valor ontológico, la misma “realidad racional” o inteligible y, conservando, además, la misma interpretación semántica para los términos fundamentales como línea, recta, distancia, longitud, congruencia, etc., en los diferentes sistemas de axiomas
Karl Friedrich Gauss, profesor en la Universidad de Göttingen, vio con toda claridad, a principios del siglo XIX, la no demostrabilidad del quinto postulado de Euclides y la posibilidad de construir sistemas geométricos distintos del euclidiano, pero dice, no publicó sus investigaciones por temor al “griterío de los torpes ” , valiéndose de una frase ya expresada por Kepler cuando explicaba
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(^13) LONBARDO-RICE. Lobacevskij. Nouvi princípi della geometria conme teoria completa delle parallele. Universale Scientifica Boringhieri. p. 13-54. Citado por USINI, Sonia. “La aportación de Gauss a la geometría hiperbólica: su carteo con matemáticos y científicos de la época”. En: Miscelánea matemática. N 33, Cinvestav, SMM, (2001), p. 1-19.
su temor de publicar sus ideas en relación con la aceptación del sistema copernicano.
Gauss anotaba sus descubrimientos en un diario. El famoso Diario permaneció oculto hasta 1901 cuando la Real Sociedad Científica de Gontinga, para celebrar el sesquicentenario de su fundación, logró que el nieto de Gauss le cediera el precioso documento y se mostró así a la luz pública su extraordinario ingenio. Entre sus 146 resultados estaba la no demostrabilidad del quinto postulado de Euclides y la posibilidad de construir sistemas geométricos distintos del euclidiano. El lema de Gauss era: pauca sed matura (poco pero maduro); en efecto, su mente estaba tan rebosante de ideas que nunca tuvo el tiempo suficiente para organizarlas y darles la perfección que deseaba tuvieran, antes de publicarlas, no obstante, vivía continuamente preocupado por este problema; en carta a F.A. Taurinos, refiriéndose a la geometría no-euclidiana, le escribía:
Lo que en este sistema repugna a nuestra razón es que si éste fuera verdadero, en el espacio existiría un segmento (geométricamente) definido si bien desconocido por nosotros. Sin embargo, me parece que si prescindimos de la sabiduría verbal de los metafísicos vacía de significado, sabemos muy poco o casi nada de la esencia del espacio; no podemos confundir lo que a nuestros ojos resulta algo no natural con lo absolutamente imposible^13.
Dado que Gauss no publicó sus consideraciones sobre el quinto postulado la gloria de la fundación de la geometría no euclidiana corresponde al ruso Nicolai Ivanovitch Lobachevsky, profesor de la Universidad de Kazan, quien es considerado hoy el “Copérnico de la geometría”, el hombre que revolucionó este campo, creando en él una rama totalmente nueva, la geometría lobachevskiana, con la cual logró demostrar que la geometría de Euclides no era la ciencia exacta de la verdad absoluta, como se había admitido hasta entonces. Con la publicación del artículo en un periódico “Sobre los principios de la geometría” (1829) y la obra Nuevos principios de la geometría con una teoría completa de las paralelas (1835) da nacimiento oficial a las geometrías no euclidianas, en cuyo trabajo logró realizar la revolucionaria tarea de hacer pública una geometría construida expresamente sobre una hipótesis que
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(^16) RIEMANN, G.F.B. Riemanniana selecta. Madrid: Ferreirós, 2000. (^17) EINSTEIN – INFELD La física, aventura del pensamiento. Buenos Aires, Losada. 1939. (^18) BOYER, Carl. Historia de las matemáticas. Op. Cit., p. 675.
apoyan los fundamentos de la geometría ,^16 que se convertirá en la obra más importante para comprender el nuevo monumento de las geometrías no euclidianas. Nace así el espacio de superficies curvas positivas llamado espacio de Riemann, que fue utilizado más tarde por Einstein en la teoría de la relatividad general, la cual admite que la curvatura del espacio está dada en cada punto y a cada instante por la gravedad.
Riemann generalizó el concepto de curvatura de Gauss extendiéndolo a las tres dimensiones del espacio. En la geometría de Riemann, a diferencia de la de Euclides, se niega que una línea recta pueda prolongarse hasta el infinito dado que es una curva. Existe una longitud máxima hasta la que pueda prolongarse una línea dado que todas son curvas y sobre la esfera la suma de los ángulos de un triangulo es siempre mayor que dos ángulos rectos.
Una explicación bella y didáctica sobre la importancia de la geometría de Riemann nos la dan Einstein e Infeld en su hermosa obra La física aventura del pensamiento.^17 Allí ellos explican como la geometría de Riemann era no- euclidiana en un sentido mucho más general que en el caso de la de Lobachevsky, donde el problema central era simplemente el de saber cuántas paralelas se podían trazar por un punto exterior a una recta. Según los autores citados, Riemann considera que en un espacio circular, puede pensarse que “su espacio no tenga límites, puesto que uno puede, en una esfera, ir de adelante hacia atrás sin detenerse, sin embargo este espacio sin límites es finito, puesto que se puede dar la vuelta completamente aunque no se le encuentre límite.”^18
Como bien lo explican Einstein e Infeld, la geometría de Riemann es la geometría esférica extendida a tres dimensiones; para construirla el matemático alemán se vio obligado no sólo a abandonar el quinto postulado de Euclides sino también el primer postulado que dice que “por dos puntos no puede pasar sino una recta”, puesto que sobre una esfera, es posible pasar por dos puntos dados sólo un gran círculo, el cual jugará el papel de recta.
De lo expuesto sobre Lobachevsky y Riemann se concluye que por lo menos se pueden encontrar tres geometrías diferentes:
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(^19) Cfr. POINCARÉ, Henry La science et l´hypothèse. Paris, Flammarion, 1968. (^20) LEIBNIZ, Gottfried Wilhemlm. Nuevo tratado sobre el entendimiento humano: Del conocimiento. Libro IV. Madrid: Aguilar, 1972, p. 136.
GEOMETRÍA DE GEOMETRÍA DE GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKY EUCLIDES RIEMANN La suma de los ángulos de un triángulo es: Menor de dos ángulos rectos Igual a dos ángulos rectos Mayor de dos ángulos rectos El número de paralelas que se pueden pasar sobre una recta dada por un punto dado es: Infinito Una Ninguna La proporción entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es: Menor que Mayor que El espacio sería: Hiperbólico Plano Elíptico
Pero Riemann imaginó otras geometrías, al igual que lo hicieron Hilbert y Veronesse, quienes propusieron geometrías todavía más complicada y extrañas, que fueron llamadas no-arquimedianas. Poincaré mismo imaginó una nueva geometría, uno de cuyos postulados sería que una recta real puede ser perpendicular a ella misma^19.
5. Consecuencias epistemológicas
Leibniz, intentaba sustentar la validez de la aritmética en principios puramente lógicos. Para exponer esta tesis propuso la división de los juicios en verdades de hecho y verdades de razón. Las primeras se sustentan por la vía inductiva de la observación de una multiplicidad de experiencias y, las segundas, por el contrario, son necesarias, como las deducciones de la lógica y de la geometría. También hay formas mixtas como las demostraciones de las leyes de las ciencias físicas que combinan la matemática y la geometría con el experimento.^20 Leibniz intenta reducir las operaciones aritméticas a definiciones y al principio de identidad, como en el caso de 2 y 2 igual a 4. Para demostrarlo parte de la definición de 2
Hyperbolic Euclidean Elliptic
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(^25) Ibid, p. 158-159. (^26) MOSTERINI, Jesús Conceptos y teorías de la ciencia. Madrid, Alianza, 1984, p. 119.
tiene nuevas propiedades, en este caso, es un número par. Si el resultado incrementa el conocimiento entonces es sintético. Los juicios sintéticos pueden ser a priori si se pueden demostrar por medio del entendimiento sin necesidad de recurrir a la experiencia para justificarlos o refutarlos. Si por el contrario, si su verdad requiere de la experiencia para su demostración como cuando se dice que la tierra es redonda, son entonces sintéticos a posteriori. Por esta razón Kant afirma que los postulados geométricos y las deducciones matemáticas son juicios sintéticos a priori , pues incrementan el conocimiento intuitivo formal (puro) del espacio y en el tiempo (sin contenido empírico). En consecuencia la matemática y la geometría, a diferencia de la simple lógica formal clásica, son innovadoras.
Para exponer el conocimiento de la geometría y de la matemática Kant recurre, a sustentarlas en las formas puras de la sensibilidad que son el espacio y el tiempo, en combinación con las categorías de la lógica formal (cantidad, cualidad, relación y modo). De este modo, los postulados de la geometría euclidiana y los principios de la física newtoniana pasan ser esquemas a priori del entendimiento y de la imaginación formal. Tales son los casos de las leyes de la inercia, de acción y reacción, la conservación de la materia; así como en geometría la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, etc.^25
Las geometrías no euclidianas aunque se fueron imponiendo poco a poco entre los geómetras, encontraron una difícil aceptación por parte de pensadores como Frege, Dühring y Renouvier. Frege, seguidor de la concepción kantiana de la geometría, aceptaba que los axiomas se captan por una intuición pura del espacio que coinciden con los de Euclides. Frege conocía la geometría no euclidiana, pero paradójicamente, era el fundador del programa logicista que trataba de reducir la matemática a la lógica, y, sin embargo, excluye por completo la geometría de su programa. Frege quien se encontraba en completa oposición a la posibilidad de que pudiera haber varias geometrías. El estaba absolutamente convencido de que la única geometría verdadera era la geometría de Euclides, por lo tanto, que las geometrías no euclídeas eran falsas. Más aún, Frege fue un implacable crítico de la concepción kantiana de la aritmética, no obstante, se permitió aceptar sin más y como definitiva la concepción kantiana de la geometría.^26
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Para entender las consecuencias pedagógicas y epistemológicas del hecho científico que llevó a las geometrías no euclidianas ayuda bastante la obra del filósofo y matemático francés, Henri Poincaré (1854-1912), estudioso y crítico de la ciencia, quien, en La ciencia y la hipótesis, obra publicada y complementada más tarde con El valor de la ciencia y con la obra Ciencia y método , defenderá como tesis principales: el carácter convencional, intuitivo, constructivo de la ciencia y la libertad creadora del espíritu. Según Poincaré, el científico no se limita a traducir la experiencia sino que él la genera, la corrige y la reconstruye. La reflexión de Poincaré está motivada principalmente por el fulgurante desarrollo de la geometría en el siglo XIX, desarrollo que como se ha visto logró romper con uno de los paradigmas más fuertes de la ciencia matemática desde la época de los griegos, el de la aceptación de la geometría de Euclides como la única geometría valida. Así mismo, en filosofía, las geometrías alternativas, ponen en crisis tanto la “intuición autoevidente”, como la reducción de las ciencias formales a los juicios analíticos.
El estudio de las diferentes geometrías posibles desarrolladas durante el siglo XIX llevó a Poincaré a plantearse esta cuestión: puesto que muchas geometrías son posibles, ¿La geometría de Euclides no será solamente una geometría provisional? Y, ¿no podrá también la geometría de Lobachevsky y Riemann convertirse en geometrías que se pueden aplicar como la de Euclides? Para resolver todas estas preguntas Poincaré lleva su cuestionamiento a la naturaleza de los postulados ¿Son acaso los postulados de la geometría juicios sintéticos a priori , como lo sostenía Kant? Para Kant tales juicios son considerados por nuestro entendimiento como necesariamente válidos, sin necesidad de recurrir a la experiencia, sin embargo, incrementan el conocimiento. Los postulados se imponían con tal fuerza al espíritu debido a su propia constitución, que resultaba imposible afirmar lo contrario. Si esto fuese así, es lógico que no pudiera haber geometrías no euclidianas.
Los postulados de la geometría ¿serán, por el contrario, verdades experimentales? ¿Pero es acaso posible llamar “experiencia” al trabajo hecho sobre las relaciones con rectas, puntos, circunferencias formadas con conceptos ideales? Además, argumenta Poincaré, si la geometría fuera una ciencia experimental estaría sometida a una continua revisión de la experiencia. En
(^27) POINCARÉ, H. “Naturaleza del razonamiento matemático”. En: La filosofía de la ciencia. Op. Cit., p. 220.
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(^31) Ibid., p. 232.
del conjunto y no una simple yuxtaposición. Este procedimiento que no se muestra en las deducciones, aparece, sin embargo, en los nuevos planteamientos matemáticos. De este modo:
Los matemáticos proceden por “construcción”; construyen combinaciones cada vez más complicadas. Volviendo enseguida, mediante el análisis de esas combinaciones, de esos conjuntos por decirlo así, a sus elementos primitivos, perciben las relaciones de esos elementos y deducen las relaciones de los conjuntos mismos^31.
Al parecer las discusiones sobre los fundamentos de la matemática, en gran parte dependen de la definición de ciertos criterios y desde el punto de vista con el que se examinen los problemas, pues algunas veces, los términos empleados, poseen diversos significados o apuntan a diferentes interrogantes. Para Kant, como también para Poincaré las matemáticas son innovadoras, y por esta misma razón, no pueden ser exclusivamente analíticas, es decir, no pueden estar constituidas únicamente por los principios de identidad y no contradicción.
Pero, sería necesario aclarar las tesis de Kant y Poincaré: si atendemos a la definición negativa de los enunciados analíticos, según la cual todos los enunciados lógico-matemáticos deben estar regulados por el principio de no contradicción, todas las ciencias formales serían analíticas desde el punto de vista de la prueba de su consistencia, no obstante, son creativas como dice Poincaré, o novedosas como propone Kant. Esto es posible porque la analiticidad negativa de las deducciones, no es contradictoria con la novedad, pues, el principio de no contradicción, sólo limita: prohíbe la contradicción, no la combinatoria ni las convenciones formales. Deja un gran campo abierto a las conexiones creativas, a las relaciones insólitas.
De un modo similar el término “sintético” aplicado a los enunciados pude adquirir dos significados: a) como enunciados cuya validez no depende de los principios lógicos; en este sentido, las ciencias lógico-matemáticas no podrían estar constituidas simplemente por enunciados sintéticos, pero sus postulados sí podrían ser sintéticos desde el punto de vista de la significación formal, como de hecho aparece en las geometrías alternativas; la aceptación de uno u
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(^32) Existen diversas escuelas intuicionistas, una de ellas, la de Brouwer, tiene consecuencias en la limitación de algunos teoremas como el de los transfinitos de Cantor, dado que no pueden ser “construidos” por el sujeto: están más allá de su alcance. Cfr. BARKER, S. Filosofía de la matemática. México: U.T.H.A, 1965, pp. 112-120. Para Poincaré, además de los principios analíticos, hay intuiciones en los puntos de partida, convenciones y construcciones. En Piaget, por el contrario, no hay intuiciones autoevidentes sino como resultado del proceso de construcción: se acepta las matemáticas al infinito y la ampliación de estructuras posibles como las geometrías alternativas.
otro postulado es una convención formal que se encuentra articulada al conjunto de las definiciones y deducciones, no es arbitraria ni absolutamente libre; y, b) lo “sintético” se puede definir como resultados deductivos que no se encuentran en las premisas sino que dan lugar a las innovaciones; o bien, como enunciados que no expresan exclusivamente principios lógicos aunque están regulados por los mismos. Considerando ésta última definición de enunciado sintético como novedad y, contando con la definición de los enunciados analíticos negativos, la matemática estaría constituida por enunciados mixtos analíticos- sintético de acuerdo a la perspectiva o, si se prefiere, sus enunciados serían analíticos-constructivos a priori por más que les pese, como decía Kapler, al “griterío de los torpes”.
Una situación similar aparece con la definición de “ a priori ”: a) la primera, es la definición de los enunciados formales a priori que son aquellos cuya validez no depende de la experiencia sino de definiciones, axiomas, postulados y deducciones lógico-matemáticas; estos enunciados ni se confirman ni se refutan mediante la observación; en este significado todas las ciencias lógico- matemáticas son necesariamente a priori e incluyen, también, los enunciados analíticos y las convenciones formales; b) la segunda, es la definición del a priori constitutivo que es más amplia y usada en filosofía, se refiere a aquellos enunciados que no sólo son relativamente independientes de la experiencia sino que también son supuestos o “enmarcan” todas las experiencias: todas las experiencia los “mostrarían” pero algunas teorías podrían relativizarlos y reubicarlos como condiciones particulares. Este último significado caracteriza propiamente la filosofía de Kant cuando intenta establecer las condiciones de la experiencia posible (postulados de la geometría euclidiana y principios supuestos por la física clásica) no obstante, también este punto de vista se ha relativizado al igual que la mayoría de las “intuiciones”^32 con las geometrías alternativas y la física contemporánea, por un lado y, con la sicogénesis cognitiva, del otro.
