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L´ogica Proposicional
Williams Mamani Quispe
4 de septiembre de 2020
´Indice
- Proposiciones Simples y Complejas 1 1.1. Algebra de Proposiciones........................................ .´ 1 1.2. Leyes L´ogicas............................................... 1 1.3. Simplificaci´on de f´ormulas proposicionales............................... 2
1. Proposiciones Simples y Complejas
Lo siguiente es una proposici´on simple
(p ∧ q) −→ p
Lo siguiente es una proposici´on compleja
p ∧ [q ∨ (p∧ ∼ q)] ∧ ∼ (p ∧ q) ∧ (p −→ q)
En l´ogica tambi´en existe la necesidad de simplificar proposiciones complejas, esto se logra empleando el ´algebra de proposiciones.
1.1. Algebra de Proposiciones´
Son operaciones l´ogicas que se realizan en una f´ormula proposicional, aplicando adecuadamente ciertas reglas b´asicas llamadas leyes l´ogicas.
1.2. Leyes L´ogicas
Si p, q y r son proposiciones cualesquiera, entonces tenemos las siguientes equivalencias
(1) ∼ (∼ p) ⇐⇒ p } Involuci´on
∼ (p ∧ q) ⇐⇒ ∼ p ∨ ∼ q ∼ (p ∨ q) ⇐⇒ ∼ p ∧ ∼ q
Ley de Morgan
p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p
Conmutativa
p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r
Asociativa
p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Distributiva
(6) p −→ q ⇐⇒∼ p ∨ q } Definici´on de Implicaci´on
(7) p ←→ q ⇐⇒ (p −→ q) ∧ (q −→ p) } Definici´on de Doble Implicaci´on
p ∧ p ⇐⇒ p p ∨ p ⇐⇒ p
Idempotencia
p ∧ ∼ p ⇐⇒ F p ∨ ∼ p ⇐⇒ V
Inversos
p ∧ V ⇐⇒ p p ∨ F ⇐⇒ p
Neutro
p ∧ F ⇐⇒ F p ∨ V ⇐⇒ V
Dominaci´on
p ∧ (p ∨ q) ⇐⇒ p p ∨ (p ∧ q) ⇐⇒ p
Absorci´on
1.3. Simplificaci´on de f´ormulas proposicionales
Se trata de transformar una f´ormula proposicional en otra equivalente a ella, pero lo m´as reducida posible. Para lo cual se debe usar oportuna y correctamente las Leyes L´ogicas.
a) Simplificar: q ∧ q
q ∧ q Problema a Simplificar
⇐⇒ q Aplicamos (8) idempotencia, en la l´ınea anterior
b) Simplificar: m ∧ m
m ∧ m Problema a Simplificar
⇐⇒ m Aplicamos (8) idempotencia, en la l´ınea anterior
c) Simplificar: (m −→ q) ∧ (m −→ q)
(m −→ q) ∧ (m −→ q) Problema a Simplificar
⇐⇒ (m −→ q) Aplicamos (8) idempotencia, en la l´ınea anterior ⇐⇒ m −→ q Podemos prescindir los par´entesis en la l´ınea anterior y aun asi no pierde significado
Figura 1: Pr´actica de Algebra (p´´ ag.digital 3)
(a) Simplificar: p −→ (p ∨ q)
p −→ (p ∨ q) Problema a Simplificar
⇐⇒ ∼ p ∨ (p ∨ q) Aplicamos (6) Definici´on de Implicaci´on, en la l´ınea anterior ⇐⇒ (∼ p ∨ p) ∨ q Aplicamos (4) Asiciativa, en la l´ınea anterior ⇐⇒ (p ∨ ∼ p) ∨ q Aplicamos (3) Conmutativa, en la l´ınea anterior ⇐⇒ (V ) ∨ q Aplicamos (9) Inverso , en la l´ınea anterior ⇐⇒ V ∨ q Podemos prescindir de las llaves en la l´ınea anterior y aun asi no pierde significado ⇐⇒ q ∨ V Aplicamos (3) Conmutativa, en la linea anterior ⇐⇒ V Aplicamos (11) Dominaci´on, en la linea anterior
Notemos que al simplificar p −→ (p ∨ q), obtuvimos V , es decir:
p −→ (p ∨ q) ⇐⇒ V
lo cual quiere decir que p −→ (p ∨ q) es una tautolog´ıa.
Y de esta forma con el Algebra de Proposiciones´ (aplicando las Leyes L´ogicas), pudimos Simplificar la proposici´on y obtener una Tautolog´ıa, sin necesidad de emplear la Tabla de Verdad.
Los dem´as ejercicios de 15. se resuelven de la misma manera.
