Números Complejos: Definición, Representación y Operaciones, Ejercicios de Matemáticas

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Los números complejos

Los números complejos

Forma binómica Forma polar Definición z = a + bi , o bien, z = ( a , b ) siendo a la parte real y b la parte imaginaria. a = r · cos α b = r · sen α

z = r α siendo r el módulo y α el argumento. r = z = a^2^ + b^2

arctan

b a

α = ⎛⎜^ ⎞⎟

Opuesto − z = − a − bi

Conjugado (^) z = a − bi

Representación

Operaciones si z = a + bi y z ’ = a ’ + b ’ i (^) si z = r αy z '= s β

Suma z^ +^ z ’ = ( a^ +^ a ’) + ( b^ +^ b ’) i z − z ’ = ( a − a ’) + ( b − b ’) i

Resta (^) z − z ’ = ( a − a ’) + ( b − b ’) i

¿Qué es un número complejo?

Un número complejo, z , está formado por una parte real, a = Re( z ), y una

parte imaginaria, b = Im( z ), y se escribe a + bi , o bien, ( a , b ).

Un número complejo es una expresión con dos sumandos: uno es un número real y el otro es un número real por una letra i. Por ejemplo, z es un ejemplo de número complejo: z = 3 + 4 i El sumando sin la i se denomina parte real, mientras que el número que acompaña a la i se denomina parte imaginaria del número complejo. En el ejemplo anterior, 3 es la parte real y se indica 3 = Re( z ); mientras que 4 es la parte imaginaria y se indica 4 = Im( z ). Un número complejo también puede escribirse en forma de par ordenado; en el ejemplo, el número complejo z = 3 + 4 i también puede escribirse como (3, 4), siendo la primera coordenada la parte real, y la segunda coordenada la parte imaginaria. Así pues, un número complejo es un número formado por una parte real, a , y una parte imaginaria, b , que se escribe a + bi o bien, ( a , b )

¿Cómo se representa un número complejo?

Para representar un número complejo pueden utilizarse los ejes

coordenados cartesianos, el eje X para la parte real y el eje Y para la parte

imaginaria.

Para representar un número complejo pueden utilizarse los ejes coordenados cartesianos, el eje X para la parte real (eje real) y el eje Y para la parte imaginaria (eje imaginario). Así, por ejemplo, el número z = 3 + 4 i , o también (3, 4), se representa por el siguiente vector:

¿Son necesarios los números complejos?

Los números complejos son imprescindibles, ya que permiten que

cualquier ecuación polinómica tenga solución. Para ello, se requiere que

los números reales sean completados con el denominado número i , cuyo

valor es i = − 1.

Es fácil observar que existen ecuaciones que no tienen solución real. Por ejemplo, la ecuación x^2 + 1 = 0 no tiene solución, ya que si aislamos la x^2 : x^2 = – y no existe ningún número real que elevado al cuadrado sea –1, porque debería suceder que:

x = − 1 y ya sabemos que no existe la raíz cuadrada de un número negativo. Para permitir que ecuaciones del tipo anterior también tengan solución, se completan los números reales añadiendo la raíz cuadrada de –1, con lo que obtenemos los números complejos. A la raíz cuadrada de –1 se le denomina i :

i = − 1 es decir i^2 = – y, cualquier número complejo se puede expresar de la forma: z = a + bi Veamos que la ecuación anterior tiene solución compleja: x^2 = – por lo tanto,

x = ± − 1 = ± i Es decir, las soluciones de la ecuación son + i y – i. Veámoslo: i^2 + 1 = –1 + 1 = 0 (– i ) 2 + 1 = –1 + 1 = 0 De este modo, cualquier ecuación polinómica tiene solución compleja.

¿Cómo se representan las potencias de i?

Las potencias de i son fáciles de hallar y de representar. Tan sólo es

necesario calcular las cuatro primeras porque el resto a partir de la quinta

potencia de i , i^5 , se repiten cíclicamente.

Las potencias de i son fáciles de hallar: i^1 = i i^2 = – i^3 = i^2 · i = – i i^4 = ( i^2 ) 2 = (–1)^2 = 1 i^5 = i^4 · i = i vemos que a partir de i^5 se vuelven a repetir los valores, es decir, i^5 = i i^6 = i^2 i^7 = i^3 i^8 = i^4

¿Cómo se realizan la suma y la resta entre complejos?

Para sumar dos números complejos z = a + bi y z ’ = a ’ + b ’ i , se suman las

partes reales e imaginarias, z + z ’ = ( a + a ’) + ( b + b ’) i. La resta se realiza

de manera similar: z − z ’ = ( a − a ’) + ( b − b ’) i.

Para sumar dos números complejos z = a + bi y z ’ = a ’ + b ’ i , se suman las partes reales e imaginarias de la siguiente manera: z + z ’ = ( a + a ’) + ( b + b ’) i Por ejemplo, si z = –2 + i y z ’ = 1 + 4 i z + z ’ = (–2 + 1) + (1 + 4) i = –1 + 5 i como puede verse gráficamente:

La resta se realiza de modo similar, restando las partes reales e imaginarias:

z − z ’ = ( a − a ’) + ( b − b ’) i Por ejemplo, si z = –2 + i y z ’ = 1 + 4 i z + z ’ = (–2 − 1) + (1 − 4) i = –3 − 3 i

¿Cómo se realiza el producto de números complejos?

El producto de dos números complejos z = a + bi y z ’ = a ’ + b ’ i es igual a

z · z ’ = ( aa ’ − bb ’) + ( ab ’ + a ’ b ) i.

La multiplicación de dos números complejos se realiza de manera semejante a la multiplicación de polinomios: si los números son z = a + bi y z ’ = a ’ + b ’ i , para obtener el resultado se sitúan uno sobre el otro, y se multiplican factor a factor, teniendo en cuenta que i · i = i^2 = –1:

a + bi a ’ + b ’ i aa ’ + ab ’ i bb ’ i^2 + a ’ bi ( aa ’ − bb ’) + ( ab ’ + a ’ b ) i es decir, z · z ’ = ( aa ’ − bb ’) + ( ab ’ + a ’ b ) i

Así, por ejemplo, si z = –2 + i y z ’ = 1 + 4 i

z · z ’ = (–2 · 1 − 1 · 4) + (–2 · 4 + 1 · 1) i = –6 − 7 i

¿Cómo se realiza el cociente de números complejos?

El cociente de dos números complejos z = a + bi y z ’ = a ’ + b ’ i es igual a

2 2 2 2

z ' a a ' b b ' ab ' a b ' i z a b a b

Para realizar el cociente de dos números complejos se deben multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador. Si los números son z = a + bi y z ’ = a ’ + b ’ i , y teniendo en cuenta que i · i = i^2 = –1:

( )( ) ( )( ) 2 2

2 2 2 2

' ' ' '^ ' ( ' ' ) ( ' ' )

z a b i a^ b i^ a^ bi a a b b ab a b i z a bi a bi a bi a b a a b b ab a b i a b a b

+ +^ − + + −

2 2

a a ' b b ' a b

es decir, la parte real del cociente es y la parte imaginaria es (^2 )

ab ' a b ' a b

Así, por ejemplo, si z’ = –3 + i y z = 1 + 2 i

2 2 2 2

z i i z

¿Cómo se realizan la multiplicación y la división en forma polar?

Para realizar el producto de dos números complejos en forma polar, r α y

s β , deben multiplicarse ambos módulos y poner por argumento la suma de

argumentos, r α (^) ⋅ s (^) β= (^) ( r s ⋅ (^) ) α + β. Para realizar la división, deben dividirse

ambos módulos y poner por argumento la diferencia de argumentos,

( / )

r r s s

α β β

La suma y la resta no suelen realizarse en forma polar porque es mucho más fácil realizarlas en forma binómica. En cambio, la multiplicación y la división son más sencillas en forma polar que en forma binómica. Para realizar el producto de dos números complejos en forma polar, r α y s β , deben

multiplicarse ambos módulos y poner por argumento la suma de argumentos:

r α (^) ⋅ s (^) β= (^) ( r s ⋅ ) α +β

Por ejemplo, el producto de 3

z = (^2) π y 4

z ' = (^3) π es igual a

( ) (^7) 3 4 3 4 12

z z ⋅ ' = (^2) π ⋅ (^3) π= 2 3⋅ π (^) +π= (^6) π

como puede observarse en este gráfico:

Para dividir dos números complejos en forma polar, r α y s β , deben dividirse ambos

módulos y poner por argumento la diferencia de argumentos:

( / )

r r s s

α α β β

Por ejemplo, el cociente de 3

z = (^2) π y 4

z ' = (^3) π es igual a

(^3) ( ) ( ) 3 4 12 4

z z

π π π π π

¿Cómo se realiza la potencia de un número complejo en forma

polar?

La potencia de exponente n de un número complejo r α es ( ) ( )

n (^) n

r α = r n α.

Para realizar la potencia de un número complejo, r α , debe observarse lo siguiente:

(^2 ) r α = r α (^) ⋅ r α = r 2 α

(^3 2 2 ) r α = r α (^) ⋅ r α = r α ⋅ r (^) 2 α= r 3 α

es decir, en general,

n (^) n r α = r n α

Esta expresión es válida tanto para exponentes positivos como negativos. Por ejemplo:

(^4 ) (^2) 4·2 8 8 2 todos los ángulosdeben estar entre 0 y 2

(^3 3 81 81) π 81

π

(^3 ) (^2) 3·2 (^6 6 2) 0, todos los ángulosdeben estar entre 0 y 2

27 27 π 27 π

− (^) − = (^) − = (^) − = (^) − + =↑

¿Cómo se realizan las raíces de un número complejo en forma

polar?

La potencia de exponente n de un número complejo r α es ( ) ( )

n (^) n

r α = r n α.

Una raíz no es más que una potencia de exponente quebrado. El proceso es, pues, similar a la obtención de una potencia, aunque el número de raíces de un número complejo es igual al índice de la raíz. Por ejemplo:

( )

1 1 2 2 (^1) · 2 2

(^4) π (^4) π (^4 2) π π