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TRILCE
Capítulo
PUNTOS NOTABLES
Son los puntos de concurrencia de las líneas notables de un triángulo.
I. BARICENTRO : Es el punto de intersección de las 3 medianas de un triángulo.
Propiedad : El baricentro determina en cada mediana dos segmentos que están en la relación de 2 es a 1.
B
A C
Q
M
G
N
G Baricentro del ABC
BG = 2GN
BN
BN; GN
BG
c
a
b b
a
c
II. INCENTRO : Es el punto de intersección de las 3 bisectrices interiores de un triángulo.
B
A C
I
r
r
r
"I" Incentro del ABC
Propiedades :
Primera : El incentro es el centro de la circunferencia inscrita.
Segunda : El incentro equidista de los lados del triángulo.
(una distancia r) (^) inradio..
III. ORTOCENTRO : Es el punto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo.
- En un triángulo acutángulo, el ortocentro se encuentra en la región triangular.
- En un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.
- En un triángulo rectángulo, el ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo recto.
Geometría
B
A C
ortocentro
A
C
B
ortocentro
Acutángulo Obtusángulo
B ortocentro
A C
H
Rectángulo
IV. CIRCUNCENTRO : Es el punto de intersección de las mediatrices, de los lados de un triángulo.
O
R
R R
C
B
A
O
R
R R
C
B
A
"O" Circuncentro del ABC
a c
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
Geometría
TRIÁNGULOS PARTICULARES
1. TRIÁNGULO MEDIANO : Es el triángulo que se determina al unir los puntos medios de los lados de un triángulo.
B
A C
M
N
Q
G
MNQ mediano o complementario del ABC
Propiedad :
Baricentro del ABC
Baricentro del MNQ
G
c
a
b
a
b
c
2. TRIÁNGULO EX-INCENTRAL : Es el triángulo que se determina al unir los tres excentros.
A
B
C
E
F
H
O
EFH ex-incentral del ABC
Propiedad :
Ortocentro del EFH
Inc
entro del ABC
O
3. TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDAL : Es el triángulo que se determina al unir los pies de las 3 alturas de un triángulo.
A
B
C
F
H
E
O
EFH es el órtico del ABC
Propiedades :
1ra. Propiedad :
Ortocentro del ABC
In
centro del EFH
O
2da. Propiedad :
Siendo : E
, F
y H
los ángulos internos de EFG.
A )
H 180 2 (m
m
B )
E 180 2 (m
m
C )
F 180 2 (m
m
TRILCE
3ra. Propiedad : A, B y C son excentros del EFH.
PROPIEDADES ADICIONALES
A
B
C
H O
Siendo : (^) H Ortocentro
O Circuncentro
2. La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto del vértice considerado.
A
B
C
H
O
M
H Ortocentro
O Circuncentro
HB = 2 OM
3. El ortocentro, baricentro y circuncentro se encuentran en una misma recta; llamada la Recta de Euler.
A
B
C
H
O
G
Recta de Euler
H
A
B
G
Recta de Euler
H Ortocentro
G Baricentro
O Circuncentro
* Acutángulo *^ Obtusángulo
TRILCE
- En un triángulo ABC de incentro "I" y excentro "E"
relativo al lado (^) BC , la diferencia entre el exradio relativo
a BC y el inradio es dos veces la distancia del vértice C
a EI , y además la m ) ABC = 30°.
Calcule la m (^) ) ACB.
- En el gráfico, calcule "xº", si : M y N son puntos medios
de (^) CH y AH respectivamente.
R
M
x
A
C
N H
B
- Calcule "xº", si : I, 1
I ,
2
I son incentros de los triángulos
ABC, AHB y BHC respectivamente.
B
A C
I
I
I
x
H
- Se tiene un triángulo ABC de ortocentro "O" y
circuncentro "K", m (^) ) ABC = 60° en el cual se traza la
altura BH.
Calcule la m ) KOH, si : m ) AOH = 40°.
Practiquemos :
- En el gráfico, calcule x°, si "E" es el excentro del triángulo
ABC.
A
B E
C
xº
- En un triángulo acutángulo ABC, se cumple que :
m ) AHC = 2m ) AKC, donde "H" es el ortocentro y "K"
el es circuncentro del triángulo ABC.
Calcule la m ) B.
- En un triángulo acutángulo ABC, se ubica el ortocentro
"H" y se traza el cuadrado BHGL, G pertenece a BC.
Calcule la m (^) ) HGA, si: m (^) ) ABC = 54°.
Geometría
- En el gráfico : PQ //BO, "H" y "O" son ortocentro y
circuncentro del triángulo ABC, respectivamente.
Calcule "xº".
B
A C
H
x
Q
O
P
º
- En el gráfico, "G" es el baricentro de la región triangular
ABC, calcule BP, si : AG = 12 u y PC = 16 u.
("G" es punto de tangencia).
B
A
P
G
T
C
H
- Se considera el triángulo ABC de ortocentro H.
Calcule " º ".
H
B
A C
- En el gráfico, "O" es el circuncentro del triángulo ABC.
Calcule "xº".
xº
B
A C
O
Geometría
- Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia y
sean los puntos C', B' y A' los puntos medios de los
arcos AB, BC y CA respectivamente. ¿Qué punto notable
es el incentro del triángulo ABC para el A'B'C'?
a) Ortocentro. b) Incentro.
c) Circuncentro. d) Baricentro.
e) Excentro.
- En un cuadrado ABCD en los lados (^) BC y CD se
ubican los puntos medios M y N, tal que
AM BN{P }. ¿Qué punto notable es el centro del
cuadrado respecto al triángulo NPA?
a) Ortocentro. b) Ex-centro.
c) Baricentro. d) Incentro.
e) Circuncentro.
- Las prolongaciones de las alturas en un triángulo
acutángulo ABC intersectan a la circunferencia
circunscrita en los puntos M, N y P. ¿Qué punto notable
es el ortocentro del triángulo ABC respecto al triángulo
MNP?
a) Ortocentro. b) Excentro.
c) Baricentro. d) Incentro.
e) Circuncentro.
- En el gráfico, AP = PQ = QC. ¿Qué punto notable es
"K" respecto del triángulo ABC?
B
P Q
K
A C
a) Incentro. b) Circuncentro.
c) Ortocentro. d) Baricentro.
e) Excentro.
- En el gráfico mostrado, ¿qué punto notable es "O", para
el triángulo ABC?
(A, B, puntos de tangencia).
O'
O
A
B
C
a) Incentro. b) Baricentro.
c) Ortocentro. d) Circuncentro.
e) Excentro.
- En el gráfico : P, Q y T puntos de tangencia, ¿Qué punto
notable es "D" para el triángulo OBA?
O
Q
B
D
T
P A^
C
a) Ortocentro. b) Baricentro.
c) Incentro. d) Circuncentro.
e) Jerabek.
- Sobre los lados (^) BC y (^) AD de un rectángulo ABCD se
toman los puntos M y P respectivamente, tal que :
PMCD es un cuadrado de centro O, si :
{AO MP}{Q }, AB = BQ.
Calcule la m (^) ) OAD.
a) 15° b) 26°30' c) 22°30'
d) 18°30' e) 30°
- ¿Qué punto notable es el vértice de un ángulo obtuso
de un triángulo obtusángulo para su respectivo
triángulo pedal?
a) Baricentro. b) Circuncentro.
c) Incentro. d) Ortocentro.
e) Punto de Gergonne.
- En un triángulo ABC interiormente se ubica el punto
"P" y sobre los lados AC y BC los puntos R y Q
respectivamente, tal que los triángulos APR y BPQ son
equiláteros, además m ) RPQ = 90°. Decir qué punto
notable es "P" del triángulo ABC.
a) Ortocentro. b) Incentro.
c) Baricentro. d) Circuncentro.
e) Cualquier punto.
- En un triángulo isósceles ABC, la :
m ) B = 120°. Calcule la m ) IEK, siendo :
I : incentro y E : excentro relativo al lado (^) BC y
K = circuncentro.
a) 15º b) 20º c) 30º
d) 25º e) 35º
- En un triángulo ABC, se sabe que :
m (^) ) A = m (^) ) C = 30° y AC = 9 6 dm.
Calcule la distancia del circuncentro al excentro del
triángulo relativo a (^) BC.
a) 9 dm b) 12 dm c) 18 dm
d) 21 dm e) 27 m
TRILCE
- En un triángulo acutángulo ABC por A y C se trazan
perpendiculares a AC que intersecta a la recta de Euler
en M y N respectivamente. Calcule la longitud del
circunradio.
Si : AM = 2 u, CN = 4 u y BH = BO; donde "H" es el
ortocentro y "O" es el circuncentro del triángulo ABC.
a) 2 u b) 3 u c) 4 u
d) 5 u e) 6 u
- Los lados AB , BC y AC de un triángulo ABC miden
7 cm; 8 cm y 10 cm respectivamente. Por el incentro, se
trazan paralelas a los lados. Calcule la suma de los
perímetros de 2 triángulos entre el tercero formado por
dichas paralelas que tienen en común el incentro.
a) 17 cm b) 2 cm c) 5/3 cm
d) 17/7 cm e) 3/2 cm
- En un triángulo acutángulo ABC por A y C se trazan las
perpendiculares a AC que intersecta a la recta de Euler
en M y N respectivamente. Calcule BO.
Si : AM = a, CN = b y BH = BO, donde : "H" es el
ortocentro y "O" es el circuncentro del triángulo ABC.
a)
2
a b
b)
3
a b
c)
2
a b
d) a + b e) 2(a+b)
- Se tiene un triángulo ABC : BC = 48 u y la distancia del
incentro al excentro relativo a BC es 50u. Calcule la
m ) BAC.
a) 16° b) 32° c) 64°
d) 74° e) 106°
- En un triángulo ABC, de excentro "E" relativo a AB.
Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices
de los ángulos EAB y ECB.
Si : m ) ABC = 36°.
a) 9° b) 18° c) 27°
d) 36° e) 5°
- En un triángulo actuángulo ABC :
m ) A = . Calcule una de las medidas de los ángulos
internos de su triángulo pedal.
a) 90 b) (^90) 2
c) (^180) d) (^180) 2
e)
- En el gráfico, calcule x°, siendo "I" el incentro del
triángulo ABC y además : m PQ + m (^) RS = 60°.
xº
B
A
C
I
P
R
Q S
a) 60° b) 40° c) 100°
d) 90° e) 80°
- Del gráfico AB es tangente, tal que : AC y DC son
diámetros. Calcule "xº".
xº
B
A C
D
a) 30° b) 60° c) 15°
d) 37° e) 45°
- Del gráfico, calcule : x°.
xº
a) 10° b) 15° c) 20°
d) 5° e) 30°
- Del gráfico, calcule "x°", siendo :
H : ortocentro, K : circuncentro y
B
A C
H
K
x
a) 18° b) 24° c) 5°
d) 72° e) 36°
TRILCE
ClavesClaves
c b b d c b a c a e b a d d b d a c c a 41.
c c e e d b c d e e c e c e e c b b e e
Geometría
