Manual Probabilidad y Estadística, Apuntes de Probabilidad y Procesos Estocásticos

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Manual de la Materia

Probabilidad y Estadística

DIVISIÓN SISTEMAS PRODUCTIVOS, MANTENIMIENTO INDUSTRIAL Y CONSTRUCCIÓN.

MANUAL DE ASIGNATURA

DIRECTORIO

Manual elaborado por: M. en E. ISC Antolín Robles Garay Revisado por M. en A. Felipe Samuel Tovar Pacheco

MANUAL DE CURSO PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA, DIVISIÓN SISTEMAS PRODUCTIVOS, MANTENIMIENTO INDUSTRIAL Y CONSTRUCCIÓN. D.R. 2018

ESTA OBRA, SUS CARACTERÍSTICAS Y DERECHOS SON PROPIEDAD DE LA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE SAN JUAN DEL RÍO (UTSJR), AV. LA PALMA No. 125, COL. VISTA HERMOSA, SAN JUAN DEL RÍO, QRO.

QUEDA PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN PARCIAL O TOTAL POR CUALQUIER MEDIO, SIN AUTORIZACIÓN.

INTRODUCCIÓN

La asignatura de Probabilidad y Estadística, está compuesta por tres bloques en los que se trabaja con temas como fundamento de la probabilidad así como de la estadística descriptiva e inferencial que buscan fomentar en los estudiantes de esta universidad las diferentes habilidades indispensables para la toma de decisiones con base en indicadores que la fundamenten.

Este manual, guiará tu formación dentro de la competencia de toma de decisiones con base al fundamento de la probabilidad y estadística. Encontrarás el programa temático de la asignatura y el desglose de cada uno de los temas que la conforman. Así mismo, en cada unidad hay actividades que ayudarán a reforzar tus conocimientos adquiridos y que propician la reflexión, para resolver tus dudas o ampliar la información que se va trabajando en cada sesión, un glosario de conceptos y el acceso al curso en la plataforma schoology en donde se encontrara toda la gestión académica del curso.

Es de suma importancia saber que la competencia que vas a adquirir al final del cuatrimestre será el manejo y procesamiento de datos para determinar las probabilidades de datos estadísticos, realizando estimaciones para contribuir a la toma de decisiones. Es por ello que en probabilidad y estadística se abordarán temas como la estadística descriptiva, la diferencial y la probabilidad, así como todos los conceptos y procedimientos que te permitan trabajar con datos para generar indicadores importantes que fundamenten y justifiquen la toma de decisiones en tu práctica laboral y cotidiana.

Código de Acceso a Schollogy (Curso CONSSV-16 Quinto semestre Enero Abril 2019) CONS01SV17 5 K559P-ZWZT7 CONS02SV1 7 5 6XRSS-7QB7W

Criterios de Evaluación ESCALAS CONCEPTO AU Autónomo DE Destacado SA Satisfactorio NA No Acreditado

1° UNIDAD. Estadística Descriptiva

OBJETIVO DE APRENDIZAJE:

El alumno realizará el procesamiento de datos para contribuir a la toma de decisiones.

(TEORIA SABER)

TEMA 1 “Introducción a la estadística”

SABER SABER HACER Definir los conceptos de estadística, estadística descriptiva e inferencial y sus aplicaciones.

Identificar los conceptos de estadística descriptiva: - Variable estadística - Datos: cualitativos, cuantitativos discretos y continuos - Población finita e infinita – Muestra

Clasificar datos cualitativos y cuantitativos.

Determinar el tipo de estadística a emplear a partir de los datos.

Determinar la naturaleza de los datos.

1.1 Introducción a la estadística.

¿Qué es la estadística? Es una Ciencia que explica y provee de herramientas para trabajar con datos, ha experimentado un gran desarrollo a lo largo de los últimos años.

¿En qué áreas se aplica la estadística? Se aplica en todas las áreas del saber, por ejemplo en Sociología, Educación, Psicología, Administración, Economía, Medicina, Ciencias Políticas, entre otras. Ejemplos de su aplicación son:

 Administración de Empresas: la estadística se utiliza para evaluar un producto antes de comercializarlo.  Economía: para medir la evolución de los precios mediante números índice o para estudiar los hábitos de los consumidores a través de encuestas de presupuestos familiares.  Ciencias Políticas: para conocer las preferencias de los electores antes de una votación mediante sondeos y así orientar las estrategias de los candidatos.  Sociología: para estudiar las opiniones de los colectivos sociales sobre temas de actualidad.

 Psicología: para elaborar las escalas de los test y cuantificar aspectos del comportamiento humano (por ejemplo los test que se aplican a los candidatos para un cargo en una empresa).  Medicina: uno entre muchos usos de la estadística, es para determinar el estado de salud de la población.

En general en las Ciencias Sociales, la estadística se emplea para medir las relaciones entre variables y hacer predicciones sobre ellas.

Etapas de un estudio estadístico Un análisis estadístico se lleva a cabo siguiendo las etapas habituales en el llamado método científico cuyas etapas son:

1. Planteamiento del problema: consiste en definir el objetivo de la investigación y precisar el universo o población.
2. Recogida de la información: consiste en recolectar los datos necesarios relacionados al problema de investigación.
3. Análisis descriptivo: consiste en resumir los datos disponibles para extraer la información relevante en el estudio.
4. Inferencia estadística: consiste en suponer un modelo para toda la población partiendo de los datos analizados para obtener conclusiones generales.
5. Diagnóstico: consiste en verificar la validez de los supuestos del modelo que nos han permitido interpretar los datos y llegar a conclusiones sobre la población.

Estadística Descriptiva La estadística descriptiva es la rama de las matemáticas que recolecta, presenta y caracteriza un conjunto de datos (por ejemplo, edad de una población, altura de los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses de verano, etc.) con el fin de describir apropiadamente las diversas características de ese conjunto.

Inferencia Estadística La inferencia estadística es el conjunto de métodos y técnicas que permiten inducir, a partir de la información empírica proporcionada por una muestra, cual es el comportamiento de una determinada población con un riesgo de error medible en términos de probabilidad.

Adolphe Quetelet (1796-1874), se crearon diferentes métodos de cálculo de probabilidades para determinar y analizar el tipo de datos que regulan algunos fenómenos.

Resumen de algunos conceptos planteados en la Introducción

• Variable : Es lo que se va a medir y representa una característica de la Unidad de Análisis.

¿Quiénes van a ser medidos? : Los sujetos, objetos, Unidades de Análisis de una Población o una Muestra.

• Población: Es el total de unidades de análisis que son tema de estudio. - Muestra: Es un conjunto de unidades de análisis provenientes de una población. Población Muestra Ejemplo: “Las personas que trabajan en empresas de comunicación” Muestra: 60 trabajadores de empresas de comunicación Unidad de análisis: Trabajador de empresa de comunicación Variables: sexo, edad, salario, Nº de horas de trabajo, etc.

Las variables cualitativas Se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números.

Variable cualitativa nominal Presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo: El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa Presenta modalidades no numéricas, en las que existe un orden. Por ejemplo: La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente. Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º ... Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativa Es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella.

Variable discreta Es aquella que solo puede tomar un número finito de valores entre valores cualesquiera de una característica. El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable continua Es aquella que puede tomar un número infinito de valores entre valores cualesquiera de una característica. La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75. En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

Variable, Corresponde a las características de la unidad de análisis.

MUESTREO

En ocasiones en que no es posible o conveniente realizar un censo (analizar a todos los elementos de una población), se selecciona una muestra, entendiendo por tal una parte representativa de la población.

El muestreo es por lo tanto una herramienta de la investigación científica, cuya función básica es determinar que parte de una población debe examinarse, con la finalidad de hacer inferencias sobre dicha población.

La muestra debe lograr una representación adecuada de la población, en la que se reproduzca de la mejor manera los rasgos esenciales de dicha población que son importantes para la investigación. Para que una muestra sea representativa, y por lo tanto útil, debe de reflejar las similitudes y diferencias encontradas en la población, es decir ejemplificar las características de ésta.

El número i que empleamos como punto de partida será un número al azar entre 1 y k. El riesgo este tipo de muestreo está en los casos en que se dan periodicidades en la población ya que al elegir a los miembros de la muestra con una periodicidad constante (k) podemos introducir una homogeneidad que no se da en la población. Imaginemos que estamos seleccionando una muestra sobre listas de 10 individuos en los que los 5 primeros son varones y los 5 últimos mujeres, si empleamos un muestreo aleatorio sistemático con k=10 siempre seleccionaríamos o sólo hombres o sólo mujeres, no podría haber una representación de los dos sexos.

3.- Muestreo aleatorio estratificado: Trata de obviar las dificultades que presentan los anteriores ya que simplifican los procesos y suelen reducir el error muestral para un tamaño dado de la muestra. Consiste en considerar categorías típicas diferentes entre sí (estratos) que poseen gran homogeneidad respecto a alguna característica (se puede estratificar, por ejemplo, según la profesión, el municipio de residencia, el sexo, el estado civil, etc.). Lo que se pretende con este tipo de muestreo es asegurarse de que todos los estratos de interés estarán representados adecuadamente en la muestra. Cada estrato funciona independientemente, pudiendo aplicarse dentro de ellos el muestreo aleatorio simple o el estratificado para elegir los elementos concretos que formarán parte de la muestra. En ocasiones las dificultades que plantean son demasiado grandes, pues exige un conocimiento detallado de la población. (Tamaño geográfico, sexos, edades,...).

La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos se denomina afijación, y puede ser de diferentes tipos: Afijación Simple: A cada estrato le corresponde igual número de elementos muéstrales. Afijación Proporcional: La distribución se hace de acuerdo con el peso (tamaño) de la población en cada estrato. Afijación Óptima: Se tiene en cuenta la previsible dispersión de los resultados, de modo que se considera la proporción y la desviación típica. Tiene poca aplicación ya que no se suele conocer la desviación.

4.- Muestreo aleatorio por conglomerados: Los métodos presentados hasta ahora están pensados para seleccionar directamente los elementos de la población, es decir, que las unidades muéstrales son los elementos de la población. En el muestreo por conglomerados la unidad muestral es un grupo de elementos de la población que forman una unidad, a la que llamamos conglomerado. Las unidades hospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de determinado producto, etc., son conglomerados naturales. En otras ocasiones se pueden utilizar conglomerados no naturales como, por ejemplo, las urnas electorales. Cuando los conglomerados son áreas geográficas suele hablarse de "muestreo por áreas".

El muestreo por conglomerados consiste en seleccionar aleatoriamente un cierto numero de conglomerados (el necesario para alcanzar el tamaño muestral establecido) y en investigar después todos los elementos pertenecientes a los conglomerados elegidos.

II. Métodos de muestreo no probabilísticos A veces, para estudios exploratorios, el muestreo probabilístico resulta excesivamente costoso y se acude a métodos no probabilísticos, aun siendo conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones (estimaciones inferenciales sobre la población), pues no se tiene certeza de que la muestra extraída sea representativa, ya que no todos los sujetos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. En general se seleccionan a los sujetos siguiendo determinados criterios procurando, en la medida de lo posible, que la muestra sea representativa. En algunas circunstancias los métodos estadísticos y epidemiológicos permiten resolver los problemas de representatividad aun en situaciones de muestreo no probabilístico, por ejemplo los estudios de caso-control, donde los casos no son seleccionados aleatoriamente de la población. Entre los métodos de muestreo no probabilísticos más utilizados en investigación encontramos: 1.- Muestreo por cuotas: También denominado en ocasiones "accidental". Se asienta generalmente sobre la base de un buen conocimiento de los estratos de la población y/o de los individuos más "representativos" o "adecuados" para los fines de la investigación. Mantiene, por tanto, semejanzas con el muestreo aleatorio estratificado, pero no tiene el carácter de aleatoriedad de aquél. En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en un número de individuos que reúnen unas determinadas condiciones, por ejemplo: 20 individuos de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes en Gijón. Una vez determinada la cuota se eligen los primeros que se encuentren que cumplan esas características. Este método se utiliza mucho en las encuestas de opinión. 2.- Muestreo intencional o de conveniencia: Este tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado de obtener muestras "representativas" mediante la inclusión en la muestra de grupos supuestamente típicos. Es muy frecuente su utilización en sondeos preelectorales de zonas que en anteriores votaciones han marcado tendencias de voto. También puede ser que el investigador seleccione directa e intencionadamente los individuos de la población. El caso más frecuente de este procedimiento el utilizar como muestra los individuos a los que se tiene fácil acceso (los profesores de universidad emplean con mucha frecuencia a sus propios alumnos).

3.- Bola de nieve: Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y estos a otros, y así hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se emplea muy frecuentemente

La frecuencia (o frecuencia absoluta) de un evento x, es el número de veces ni que dicho evento se repite durante un experimento o muestra estadística. Comúnmente, la distribución de la frecuencia suele visualizarse con el uso de histogramas.

Tipos de Frecuencia Frecuencia absoluta de un valor de la variable estadística X Es el número de veces que aparece ese valor en el estudio. Se suele denotar por Fi a la frecuencia absoluta del valor X = xi de la variable X. Dada una muestra de N elementos, la suma de todas las frecuencias absolutas debe dar el total de la muestra estudiada N.

Frecuencia relativa f i Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra (N).

𝑓𝑖 =

𝑛𝑖

𝑁

=

𝑛𝑖

𝜀𝑖𝑛𝑖 Siendo el fi para todo el conjunto i. Se presenta en una tabla o nube de puntos en una distribución de frecuencias. Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100 obtendremos el porcentaje o tanto por ciento (pi)

Frecuencia absoluta acumulada Ni Es el total de las frecuencias absolutas para todos los eventos iguales o anteriores que un cierto valor, en una lista ordenada de eventos.

Frecuencia relativa acumulada Fi Cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el total de la muestra.

𝐹𝑖 =

𝑁𝑖

𝑁

Ejercicio en clase Supongamos estos datos

18, 13, 12, 14, 11, 08, 12, 15, 05, 20, 18, 14, 15, 11, 10, 10, 11, 13.

Entonces:  La frecuencia absoluta de 11 es 3, pues 11 aparece 3 veces.  La frecuencia relativa de 11 es 0.17, porque corresponde a la división 3/18 ( de las veces que aparece de las 18 notas que aparecen en total).  La frecuencia absoluta acumulada para el valor 11 es 7, porque hay 7 valores menores o iguales a 11.  La frecuencia relativa acumulada para el valor 11 es 0.38, porque corresponde a la división 7/18 (frecuencia absoluta acumulada dividida entre el número total de muestras). Problema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias Automotriz en función de algunas características. Unidad de Análisis : Industria automotriz Población: Industrias de Automotriz del país

Variables Tipo de Industria: se clasifica en industria tipo A, B, C o D. (cualitativa nominal) Nº de Empleados: se refiere al número de empleados en las líneas de producción. (cuantitativa discreta) Superficie: se refiere a los metros cuadrados (unidad de medida) disponibles para las áreas de producción. (cuantitativa continua) Calificación: calificación realizada por una institución pública sobre cumplimiento de ciertos estándares (Muy Bien, Bien, Regular, Mal). (cualitativa ordinal)

Generar las tablas de frecuencias

Diagrama de Tallo y Hoja: Permite organizar los datos de una variable medida sobre un conjunto de individuos. Su utilidad viene dada cuando no contamos con herramientas automáticas para ordenar los datos.

Ejercicio: Confección de una tabla de frecuencia para una variable continua Los datos corresponden a la edad de los hijos de los trabajadores de una empresa

Datos ordenados de menor a mayor

Realice la siguiente actividad  Construya un Diagrama de Tallo y Hoja  ¿Cuál es la variable?; ¿Cuál es la Unidad de análisis?; ¿Cuánto vale N?; ¿Cuál es el rango de la variable?  Sobre una Tabla de frecuencia: ¿Cuántos intervalos podría construir?; ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo?; ¿Cuántas medidas de frecuencia puede obtener para cada intervalo?  Construir tabla de frecuencia para la variable: Intervalos, centro de clase, amplitud, frecuencias.

Gráfico de Sectores Circulares (de Pastel) Distribución de las unidades de análisis de acuerdo a variable 1

Gráfico de Barras

Este tipo de gráfico se utiliza generalmente para representar la frecuencia de las categorías de una variable cualitativa. Cuando una variable es cuantitativa se puede utilizar este tipo de gráfico sólo si la variable se ha transformada en categorías. Hay distintas versiones de estos gráficos y en algunos casos son muy útiles para describir el comportamiento de una variable en distintos grupos.

Número de unidades de análisis de acuerdo a variable 1

Porcentaje de unidad de análisis de acuerdo a variable 1

Proporción de unidad de análisis de acuerdo a variable 1

Histograma Permite la representación de la frecuencia de una variable Cuantitativa. - El eje x se refiere a la variable. El eje y se refiere a la frecuencia (Nº , %). Cada barra representa la frecuencia de la variable en la población en estudio (o la muestra). El histograma se puede construir desde los datos de la tabla de frecuencia de la variable en estudio.

Distribución de los hijos de trabajadores de la empresa de acuerdo a edad