MAT 103 EXAMENES RESUELTOS MAT 103 EXAMENES RESUELTOS, Exámenes de Álgebra Lineal

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MAT 103

EXAMENES RESUELTOS

Julio Cesar Uberhuaga Conde

ra

EDICION

PRIMEROS EXAMENES PARCIALES

TEMAS:

CAPITULO 1: MATRICES Y DETERMINANTES

CAPITULO 2: SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

INDICE

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2007 ............................................................................ - 2 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE VERANO 2008 ........................................... - 7 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 I / 2008 ........................................................................... - 11 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE INVIERNO 2008 ....................................... - 15 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2008 .......................................................................... - 18 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE VERANO 2009 ......................................... - 21 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 I/2009 ............................................................................. - 24 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2009 .......................................................................... - 27 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE VERANO 2010 ......................................... - 30 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 I / 2010 ........................................................................... - 33 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE INVIERNO 2010 ....................................... - 36 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2010 .......................................................................... - 41 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE VERANO 2011 ......................................... - 44 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 I / 2011 ........................................................................... - 48 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE INVIERNO 2011 ....................................... - 50 -

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2011 .......................................................................... - 53 -

Hallemos la matriz de cofactores:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 

31 32 33

21 22 23

11 12 13

C 

C

La matriz adjunta será: (^ )^

t

adj D = C : ( )

adj D

Finalmente la inversa de D será: (^) ( D)

D

D

1

= adj

− :

−

D

1

2 Dadas las matrices 

A y 

B encuentre las matrices C y D

provenientes de realizar operaciones elementales de modo que: CAD=B

Solución: Como C y D son matrices que provienen de realizar operaciones elementales estas deben

ser cuadradas. Analizamos su tamaño de modo que sean conformables con A :

2 2 23 33 23

C A D B

× × × ×

Vayamos realizando operaciones elementales en la matriz A hasta obtener B:

= 

= 

= 

= 

= 

2 1 1

3 f + f → f 1 1

11

f → f 1 2 2

− 3 f + f → f 2 3 3

C + C → C

1 3 3

− C + C → C

Aplicando las operaciones elementales realizadas a la matriz A en la matriz identidad obtendremos

las matrices elementales:

Ahora vemos que la matriz C como se multiplica por izquierda es el producto de las matrices

elementales de operaciones realizadas por filas.

Para C:

 

1

E ;

2

E ;

3

E

3 2 1

C = EEE 

C 

C

Ahora vemos que la matriz D como se multiplica por derecha es el producto de las matrices

elementales de operaciones realizadas por columnas.

Para D:



1

E ;

2

E

1 2

D = EE 

D 

D

Comprobando: CAD=B  

3 Hallar los valores de “x” que hacen que la matriz F sea singular:

x

x

x

x

F

Solución: Una matriz A es singular si A^ =^0 , hallemos el determinante de la matriz F por el

método de CHIO:

x

x

x

x

F =

2

x

x x

x x

= Aplicando cofactores en la primera fila:

2 1 1

− xC + C → C

( )

2

12

x

x x

x

F −

seguimos realizando el proceso de CHIO pero como trabajamos con el

termino 1 en la anterior reducción es aconsejable seguir con este por la característica de la matriz:

( )

2

3

x

x x

x

F −

2

2

x

x x

x x

= − aplicando cofactores en la tercera fila:

3 1 1

3 2 2

3 f f f

xf f f

Para

a = 3 :

inconsistencia

1 3 3

1 2 2

f f f

f f f

2 3 3

− f + f → f

Para

a =− 3 :

1 3 3

1 2 2

2 f f f

f f f

2 3 3

− 3 f + f → f

Podemos concluir que:

a) Consistente determinado a ≠ 3 ∧ a ≠− 3

b) Consistente indeterminado ∃ a

c) Inconsistente a = 3 ∧ a =− 3

inconsistencia

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE VERANO 2008

1 Si A y B son matrices cuadradas de orden n^ y poseen inversa demostrar:

(A B) A ( A B) ( A B)A (A B)

1 1

• − = − +

− −

Solución: Partimos de la igualdad: (A B) A ( A B) ( A B) A ( A B)

1 1

• − = + −

− −

Distribuyendo

1

A

−

(A B) A ( A B) ( A B)[A A A B]

1 1 1

• − = + ⋅ − ⋅

− − −

Sabemos que: A A A A I

1 1

⋅ = ⋅ =

− −

(A B) A ( A B) ( A B)[I A B]

1 1

• − = + − ⋅

− −

Distribuyendo (A + B) (A B)A ( A B) ( A B) I ( A B) A B

1 1

• − = + ⋅ − + ⋅ ⋅

− −

Distribuyendo A B

1

⋅

−

(A B) A ( A B) ( A B) A A B B A B

1 1 1

• − = + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

− − −

Aplicando A A I

1

⋅ =

−

(A B) A ( A B) (A B) I B B A B

1 1

• − = + − ⋅ − ⋅ ⋅

− −

Aplicando B ⋅ I=I⋅B (A B) A ( A B) (A B) B I B A B

1 1

• − = + − ⋅ − ⋅ ⋅

− −

Aplicando convenientemente A A I

1

⋅ =

−

(A (^) B) (^) A ( (^) A B) (^) I ( (^) A B) (^) BA A BA B

1 1 1

• − = ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

− − −

Factorizando

1

B A

−

⋅ (A B)A ( A B) I( A B) B A (A B)

1 1

• − = ⋅ + − ⋅ ⋅ +

− −

Factorizando ( A + B)por derecha (A B) A ( A B) [I B A ] ( A B)

1 1

• − = − ⋅ ⋅ +

− −

De nuevo A A I

1

⋅ =

−

(A B)A ( A B) [A A BA ] (A B)

1 1 1

• − = ⋅ − ⋅ ⋅ +

− − −

Factorizando

1

A

−

por derecha (A B) A ( A B) ( A B)A (A B)

1 1

• − = − +

− −

2 Hallar la forma general de las matrices cuadradas de orden 2 que satisfagan: A I

2

=.

Solución: Sea 

c d

a b

A multiplicando por si misma 

2

2

2

A

ac dc bc d

a bc ab bd

c d

a b

c d

a b

Como es la forma general de una involutiva: A I

2

=  

2

2

ac dc bc d

a bc ab bd

Igualando elemento por elemento:

2

a + bc = 

b

a

c

2

1 −

ab + bd = 0  b ( a + d ) = 0  b ≠ 0  d =− a

ac + dc = 0  c ( a + d ) = 0 c = 0 ∨ d =− a

2

bc + d = 

b

d

c

2

1 −

Concluimos que:

b

a

c

2

1 −

= ; d = − a ; a = a ; b = b.

a

b

a

a b

2

A 1

∀ b ∈IR −{ 0 }

∀ a ∈ IR

5 Sea

A= 1 0 2

y ( )( )

1

B I A I A

−

= − + , verificar que

1

B B

− t

=

Solución: Construimos la matriz B: (^) ( )

I A 0 1 0 1 0 2 1 1 2

( )

I A 0 1 0 1 0 2 1 1 2

 (^) ( )

1

I A 1 1 2

−

 −^ − 

B 1 1 2 1 1 2 2 4 4

 −^   −^ −^   −^ − 



t

B 2 4 4

Multiplicando:

t

B B 2 4 4 2 4 4 0 1 0 I

 −^ −^   −   



1

B B

− t

=

6 En el sistema:

ax y z

x ay z b

x y az

, determinar los valores de a y b de manera que el

sistema sea: a) Determinado, b) Indeterminado, c) Inconsistente.

Solución: En forma matricial el sistema es:

a x

a y b

a z

 AX= B primero hagamos

que exista solución única para lo cual igualamos a cero el determinante de la matriz de coeficientes y

obtendremos los valores de a:

A =

a

a

a

( ) ( ) ( )

2

2 2

a a a

a

b a a a a a a

a a

Igualado a cero tenemos: a = 1 ; a = − 2 , reemplazando en la matriz aumentada y luego escalonando

vemos que comportamiento toma el sistema de ecuaciones

Para a = 1 :

b b

inconsistencia

1 2 2

1 3 3

f f f

f f f

− + →

− + →

Para a = − 2 :

b

b b b

3 2 2

3 1 1

2

f f f

f f f

− + →

• →

2 3 3

f + f → f

Resumiendo:

a) Sistema determinado a ≠ 1 , a ≠− 2 ,∀ b

b) Sistema indeterminado a = 1 ∧ b = 1 ; a = − 2 ∧ b =− 2

c) Sistema inconsistente a = 1 ∧ b ≠ 1 ; a = − 2 ∧ b ≠− 2

inconsistencia

De acuerdo con las operaciones elementales se generan las matrices elementales:

6 5 4 3 2 1 1 2 3

E E E E E E AF F F = D , donde: 6 5 4 3 2 1

P = E E E E E E y 1 2 3

Q = F F F

P

Q



P

,

Q

 −^ − 

3 Hallar el valor de “ a ” de tal modo que la matriz F sea no singular, si esta cumple con la

ecuación G F ⋅ = A , donde:

G

A

a a a

Solución: Aplicamos la operación determinante a la ecuación dada: G F ⋅ = A  G ⋅ F = A

Calculamos el determinante de G y A por la regla de CHIO:

( ) ( ) ( )

3 1

G

 G^ = −^28

3 2 2

− 3 f + f → f

3 1 1

− 2 f + f → f

( ) ( )

2 2

A a

a a

a a a a a a

´

2 1 1

2 C + C → C

2 3 3

8 C + C → C

Reemplazando los dos valores: ( −^28 )^ ⋅^ F^ = −^ ( 29 a +^16 )  ( )

F = a +

Para que F sea no singular: F ≠ (^0)  ( )

a + ≠ (^) 

a ≠ −

4 Hallar los valores de “ p ” y “ q ” tal que el sistema de ecuaciones 3 4

t

AX + pX = − X + B sea

consistente, consistente indeterminado e inconsistente.

44

45

p

A p

p

 −^ − 

; B = 2^ [ q^ +^2 −^2 q +^4 0 ]

Solución: Ordenamos la ecuación dada y reemplazamos sus valores:

( 3 4 )

t

 A + p + I  X = B  



p p q

p p X q

p p

 ^ ^ ^ ^  ^ 

1

2

3

p x q

p x q

p x

 +^ −^ −^     + 

 Se tiene un sistema: C ⋅ X = D

Calculamos el determinante de C por la regla de CHIO:

( )

( )

(^5 4 3 3 5 7 0 5 7 5 7 0) ( 5 7 )

p p p p p

C p p p p

p p p



3 2 2

− f + f → f 2 3 3

C + C → C

1 3 3

C + C → C

( ) ( )

2

p

C p p p

p

 Consistente: C ≠ 0 

p ≠ − ,

p ≠ Analizamos la matriz aumentada [ C D ⋮ ]para

p = − :

q q q

q q

q q

 −^ −^ −^ +^  − −^ −^ +^   −^ −^ −^ + 

inconsistencia

1 3 3

1 2 2

f f f

f f f

3 2 2

− 2 f + f → f

Analizamos la matriz aumentada [ C D ⋮^ ]para

p = (^) :

q q

q q q

inconsistencia

3 1 1

3 2 2

2 f f f

f f f

2 1 1

f + f → f

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE INVIERNO 2008

1 Dadas las matrices

A

y

B

encontrar las matrices P y Q

tal que A y B sean equivalentes y verifiquen que: PAQ=B.

Solución: Como P y Q son matrices que provienen de realizar operaciones elementales estas deben

ser cuadradas. Analizamos su tamaño de modo que sean conformables con A :

2 2 2 3 3 3 2 3

P A Q B

× × × ×

Vayamos realizando operaciones elementales en la matriz A hasta obtener una matriz H y

realizamos operaciones elementales B hasta llagar a la misma matriz H:

A H

 −^   −^   −^   −^   − 

1 2 2

− f + f → f 2 1 1

4 f + f → f ( ) 1

−1/ 2 f 1 2 2

f + f → f

B H

     −^   −^   −

1 2 2

− 2 f + f → f 2 1 1

2 f + f → f 1 3 3

− 7 C + C → C 2 3 3

10 C + C → C

De forma matricial se tiene: 4 3 2 1

E E E E A=H ;

2 1 1 2

F FBD D =H

Igualando ambas ecuaciones: 4 3 2 1 2 1 1 2

E E E E A=F F BD D despejando la matriz B:

1 1 1 1

1 2 4 3 2 1 2 1

F F E E E E AD D =B

− − − −

1 1

1 2 4 3 2 1

P=F F E E E E

− −

,

1 1

2 1

Q=D D

− −

:

Aplicando las operaciones elementales realizadas a las matrices en la matriz identidad obtendremos

las matrices elementales:

P

   −^     −     

P

Q 0 1 10 0 1 0

Q 0 1 10

2 Hallar el valor de “ k ” para que los determinantes de las siguientes matrices sean iguales:

3 3

A 3 :

k si i j

si i j

si i j

×

^ +^ =

3 3

B 3 :

k si i j

si i j

si i j

×

^ −^ =

Solución: Generando las matrices y calculando su determinante:

A 3 8 3

k

k

k

B 3 1 3

k

k

k

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2

A 3 8 3 0 5 5 3 5

k k k

k

k k k k

k k

3 2 2

3 1 1

8 / 3

f f f

k f f f

− + →

− + + →

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

2 2

A = 3 k + 5 1 + k + 11 / 3 = k + 5 k + 14

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2

B 3 1 3 0 4 4 3 4

k k k

k

k k k k

k k

3 2 2

3 1 1

1 / 3

f f f

k f f f

− + →

− − + →

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

2 2

B = 3 k − 4 1 + k + 2 / 3 = k − 4 k + 5

Por condición del problema: A^ =^ B ^ ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

k + 5 k + 14 = k − 4 k + 5

( )( ) ( )

2

k + 5 k + 14 = k − 4 ^

2 2

k + 19 k + 70 = k − 8 k + 16 ^27 k^ = −^54 ^ k^ = −^2

3 Sea

A= 1 0 2

y (^) ( )( )

1

B I A I A

−

= − + , demostrar que

1

B B

− t

=

Solución: Construimos la matriz B: ( )

I A 0 1 0 1 0 2 1 1 2

( )

I A 0 1 0 1 0 2 1 1 2

 (^) ( )

1

I A 1 1 2

−

 −^ − 

B 1 1 2 1 1 2 2 4 4



t

B 2 4 4

Multiplicando:

t

B B 2 4 4 2 4 4 0 1 0 I

 −^ −^   −   



1

B B

− t

=

PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2008

1 En una matriz A se realizan las siguientes operaciones elementales en el orden dado:

1 3

f ↔ f , 2) (^) ( ) 1 2 2

f − 5 + f → f , 3) (^) ( ) 1 3 3

f − 3 + f → f. Obteniéndose la matriz

B

. Se pide hallar la inversa de la matriz A utilizando matrices elementales.

Solución: Las operaciones elementales generan lo siguiente: 3 2 1

E E E A = B 

1

1

3 2 1

A

B E E E A I

−

−

=

1 1

3 2 1

A B E E E

− −

= , calculamos

1

B

−

con operaciones elementales llevando B a la identidad:

1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 0 1 0 0 1 0 0

= 0 11 3 0 4 1 0 4 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0

0 7 2 0 7 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

B

 −^   −^   −^   −      

             

− → − → − → → → →

             

 (^) −   (^) −                         

3 2 2

− f + f → f 2 3 3

− 2 f + f → f 3 2 2

4 f + f → f 2 1 1

f + f → f 3 1 1

− 3 f + f → f 2 3

f ↔ f

Al realizar las operaciones tenemos: 6 5 4 3 2 1

F F F F F F B = I 

1

6 5 4 3 2 1

B F F F F F F

−

= , hallamos las

matrices elementales realizando las operaciones elementales en la matriz identidad:

1

B

−

   −^           − 

1

A

−



1

A

−

2 De una matriz 3 3

A

×

se conocen los siguientes elementos: 11

a = 1 ; 13

a = − 3 ; 21

a = 3 ; 23

a = 5 ;

32

a = 1. Conociendo que la matriz adjunta de A es igual a

.

Encontrar la matriz A y su determinante.

Solución: La matriz A será: (^) ( )

1

A A adj A

−

, (^) ( )

2

A = adj A , entonces calculamos el

determinante de adj A ( )^ :

( )

adj A

 (^) ( )

2

A = adj A − 60 , un número elevado al cuadrado nunca puede ser negativo:  ∃/ A

3 Dada la matriz

k

A k

k

, hallar el valor de “ k ” tal que la matriz (^) ( ) ( )

t

B = A − I + A + I

sea no singular.

Solución: Trabajando en la ecuación dada: (^) ( ) ( )

t

B = A − I + A + I = A − I + A + I  B = 2 A

Aplicando la operación de terminante a la ecuación:

3

B = 2 A , para que B sea no singular

bastara analizar los valores de A para que sea no singular:

( ) ( )

2

2

A 2 2 0 2 2 2 4 0

k k k

k k k k k

k k

= = − − = − + ≠  k ≠ 2; k ≠ − 4

( )

3 2 2

3 1 1

f f f

k f f f

4 Hallar los valores de “ p ” tal que el sistema de ecuaciones (^) ( 2 )

t t t t

X A =  − p X  + B

 

sea

consistente, consistente indeterminado e inconsistente.

A

p

B

p

Solución: Aplicado la traspuesta a la ecuación: AX = (^) ( 2 − p X ) + B   A − (^) ( 2 − p I )  X = B

 

p p

p X

p p

 ^ ^ ^ ^  ^ 



1

2

3

p x p

p x

p x p

 −^     − 

Se tiene un sistema: C ⋅ X = B , calculamos el determinante de C :

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2

p

C p p p p p p p

p



 Consistente: C^ ≠^0  p^ ≠^2 , p^ ≠ −^1

Analizamos la matriz aumentada [ C B ⋮ ]para p = 2 :

Rango (^) ( C)< n  ∞ (^) soluciones

1 3 3

1 2 2

f f f

f f f