Integrales Definidas: Concepto, Propiedades y Aplicaciones, Apuntes de Matemáticas

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Tema:

Integral Definida

Módulo 1 Cálculo 2 2023 - 2 Videoconferencia 0 2

Tema: Integral Definida

ÍNDICE Introducción al tema Temario Desarrollo del contenido (Sub temas) Conclusiones Consultas

1. Integral Definida.
2. Propiedades de las Integrales definidas
3. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
4. Integrales para funciones pares e impares
5. Aplicaciones: ➢ Variación total

 ¿Qué es una integral indefinida?  Tablas de las Integrales Saberes previos

Integral Definida

𝑛 𝑑𝑥 =

𝑛+ 1 𝑛 + 1

 Tablas de las Integrales Saberes previos

Integral Definida

න sin( 𝑎𝑥)𝑑𝑥 = −

cos( 𝑎𝑥) + 𝐶 න cos( 𝑎𝑥)𝑑𝑥 =

sin( 𝑎𝑥) + 𝐶

Al finalizar la sesión, el estudiante

resuelve problemas vinculados a

gestión e ingeniería sobre el cálculo de

integrales definidas, usando los

métodos de integración y el teorema

fundamental del calculo, mostrando

orden, limpieza, creatividad y

coherencia.

Integral Definida

Logro de Aprendizaje

Materiales

Cuaderno y lapicero Calculadora^ Aplicativos

Si 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado 𝑎; 𝑏 y existe el límite lím 𝑛→∞ σ 𝑖= 1 𝑛 𝑓(𝑥𝑖)Δ𝑥. Entonces la integral definida de 𝑓 entre 𝑎 y 𝑏, se denota por donde ➢ 𝑓(𝑥): función integrable (integrando) ➢ 𝑎 y 𝑏: límites de integración ➢ (^) ׬: símbolo de integración ➢ 𝑥: variable de integración lím 𝑛→∞ ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑓 𝑥𝑖 Δ𝑥 = න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Integral Definida

1. Definición

Integral Definida

Integral definida como área de una región Entonces el área de la región limitada por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑥 y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 viene dado por: Nota:  La integral definida no es otra cosa que un número real y puede representar o no un área.  Cuando la gráfica de f está bajo el eje 𝑥, el valor de la integral definida es negativo. Si 𝑓 es continua en el intervalo cerrado 𝑎; 𝑏 y 𝑓(𝑥) ≥ 0. 𝑨 = න 𝒂 𝒃 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

Integral Definida

2. Propiedades de la integral definida

Si 𝑓 y 𝑔 son continuas en el intervalo [a, b], entonces

4. න 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − න 𝑏 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
5. න 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
6. න 𝑎 𝑏 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 (^) 𝑎 𝑏 − න 𝑎 𝑏 𝑣𝑑𝑢

Integral Definida

3. Segundo teorema fundamental del cálculo (forma de antiderivada) Si 𝒇(𝒙) es una función continua en el intervalo cerrado 𝒂; 𝒃 , entonces

𝒂 𝒃

𝒂 𝒃

donde 𝑭(𝒙) es cualquier antiderivada de 𝒇(𝒙) en 𝒂; 𝒃.

Ejemplo 2: Calcule ׬

− 1 2

2

− 1 2

2

3

− 1 2

3

3 − (^1) = 6

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

SOLUCIÓN : Ejemplo 2: Calcule: න − 2 3

4 𝑑𝑥 SOLUCIÓN : Ejemplo 4: Determine el valor de la siguiente integral න − 1 3 𝑥 + 1 3 𝑑𝑥

Integral Definida

4. Integrales para funciones pares e impares

Si 𝑓 es una función par integrable (∀𝑥 ∈ −𝑎; 𝑎 , 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥) ), entonces

−𝒂 𝒂

𝟎 𝒂

5. Aplicaciones

5.1 Variación total Si 𝑄´(𝑥) es continua en el intervalo 𝑎; 𝑏 , entonces la variación total de 𝑄 𝑥 , cuando 𝑥 varía de 𝑥 = 𝑎 hasta 𝑥 = 𝑏 , está dada por: 𝑸 𝒃 − 𝑸 𝒂 = න 𝒂 𝒃 𝑸´ 𝒙 𝒅𝒙 En ciertas aplicaciones se da la tasa de cambio 𝑄´(𝑥) de una magnitud Q(x) y se requiere calcular la variación total 𝑸 𝒃 − 𝑸 𝒂 , cuando 𝑥 varia de 𝑥 = 𝑎 a 𝑥 = 𝑏.

Aplicaciones Variación Total SOLUCIÓN : Un estudio ambiental de cierta comunidad sugiere que dentro de 𝑡 años el nivel 𝐿(𝑡)de monóxido de carbono en el aire cambiará a una tasa de 𝐿´ 𝑡 = 0. 1 𝑡 − 0. 1 , partes por millón (ppm) al año. ¿En cuánto cambiará el nivel de contaminación durante los próximos 3 años?