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𝟒

𝟑

𝟕

𝟑

2

3

2 4 ≤ 𝑥 < 8

3

2

ii) 𝑓(−1) = −1, 𝑓(7) = √4 − (7 − 6)

2

= √3, 𝑓(−4) = 3

iii) Máximo global es 3 en -4 y 3 en 10, y máximo local es 0 en 0 y 2 en 6

Mínimo global es -2 en 3, y mínimo local es -1 en -1, -2 en 3 y 0 en 8

Usando el grafico de la función f

mostrada complete el mismo si:

a. La función f es par.

b. La función f es impar.

Solución

a) Grafica simétrica respecto al eje Y b) Grafica simétrica respecto al origen

b) Graficar la función g( x)  x  x  2

i) 𝒇(𝒙) = |𝒙| = {

ii) 𝒇(𝒙) = |𝒙 − 𝟐| = {

iii) g( x)  x  x  2 ⟹ 𝒇(𝒙) = {

−𝟐𝒙 + 𝟐, 𝒙 < 𝟎

𝟐 , 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟐

𝟐𝒙 − 𝟐, 𝒙 ≥ 𝟐

c) Hallar

f f f con

x 1 x 2

2 x 0 x 1

f(x)

𝒇 (

𝟏

𝟐

) = 𝟐(

𝟏

𝟐

) → 𝒇 (

𝟏

𝟐

) = 𝟏 , y 𝒇(𝟏) =

𝟏

𝟐

entonces 𝒇 (𝒇 (𝒇 (

𝟏

𝟐

))) = 𝒇(𝒇(𝟏)) = 𝒇 (

𝟏

𝟐

) = 𝟏

Por lo tanto 𝒇 (𝒇 (𝒇 (

𝟏

𝟐

))) = 𝟏

d) Si

1 x

x

f( x)

 y

1 x

rx

g( x)

. Hallar los valores de “r” para qué f( g(x))  g(f(x))

.

Si 𝒇(𝒈(𝒙)) = 𝒈(𝒇(𝒙)) , entonces 𝒇(𝒈(𝒙)) =

𝒓𝒙

𝟏+𝒙(𝒓−𝟏)

, y 𝒈(𝒇(𝒙)) = 𝒓𝒙

Ahora igualado tenemos

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

Por lo tanto los valores de r son 0 y 1

e) Si f (x)  1  x , g( x)  1  x hallar dominios de (f  g)(x) y de (g  f)(x)

Dom(𝒇) = [−𝟏, +∞[ , y Dom (𝒈) = ]−∞, 𝟏]

i) Dom(𝒇 ∘ 𝒈) = {𝒙 ∈ 𝒅𝒐𝒎𝒈 ∧ 𝒈(𝒙) ∈ 𝒅𝒐𝒎𝒇}

→ 𝑥 ∈ ]−∞, 𝟏] ∧

𝟏 − 𝒙 ∈ [−𝟏, +∞[

𝒙 ≤ 𝟏 ∧ 𝟎 ≤ √𝟏 − 𝒙 → 𝒙 ≤ 𝟏 ∧ 𝒙 ≤ 𝟏 , entonces Dom(𝒇 ∘ 𝒈) = ]−∞, 𝟏]

ii) Dom

( 𝒈 ∘ 𝒇

)

{ 𝒙 ∈ 𝒅𝒐𝒎𝒇 ∧ 𝒇(𝒙) ∈ 𝒅𝒐𝒎𝒈

}

[

−𝟏, +∞

[

∧ √

𝟏 + 𝒙 ∈

]

−∞, 𝟏

]

𝒙 ≥ −𝟏 ∧ 𝟎 ≤ √𝟏 + 𝒙 ≤ 𝟏 → 𝒙 ≥ −𝟏 ∧ −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎 , entonces Dom

(𝒈 ∘ 𝒇) = [−𝟏, 𝟎]

5. Graficar las siguientes funciones tomando como guía las funciones básicas.

a) f( x)  2 x  3

i) Si 𝒇

La grafica es dado por:

b) f (x)  x  x

i) Si 𝒇

La grafica es dado por:

e) f( x) (x 2 ) 1

3

i) Si 𝒇(𝒙) = 𝒙

𝟑

La grafica es dado por:

ii) Si 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟐)

𝟑

La grafica es dado por:

f)

x

x

x

x

f( x)  

i) Si 𝒙 > 𝟎, 𝒇(𝒙) = 𝟐,

La grafica es dado por:

ii) Si 𝒙 < 𝟎, 𝒇(𝒙) = −𝟐,

La grafica es dado por:

6. De una pieza circular de papel de 4 cm de

radio se corta un arco de medida x y con el

resto se construye un cono (ver figura).

Exprese el volumen del cono como una

función de x.

Solución

La longitud de la pieza circular de radio 4 estará dado por 𝐿 = 8𝜋, por otro lado haciendo

el recorte y construyendo el cono que se muestra en la figura, la longitud de la base del

cono considerando el recorte 𝑥 será:

𝑙 = 𝐿 − 𝑥, donde 𝑙 = 2𝜋𝑟 entonces 2𝜋𝑟 = 8𝜋 − 𝑥 → 𝑟 = 4 −

𝑥

2𝜋

De figura tenemos que ℎ

2

2

2

2

, y reemplazando 𝑟 obtenemos

𝑥

2𝜋

2

Si el volumen de un cono es dado por:

1

3

3

ℎ, reemplazando 𝑟, 𝑦 ℎ de lo anterior tendremos la función que representa el

volumen del cono en función de 𝑥, es decir

3

2

7. La siguiente grafica describe la evolución de la

temperatura de un paciente a lo largo del tiempo.

a. ¿Cuántos días estuve enfermo el paciente?. Se

considera normal 36.5°.

b. ¿Qué ocurre entre los días 1 y 2?

c. ¿Qué ocurre entre los días 3 y 4?

d. ¿Qué ocurre entre los días 5 y 6?

e. ¿Cuándo fue máxima la temperatura y cuando

minima?

f. ¿Cuándo se mantiene constante la temperatura?

Cuando es bueno y cuando es mala?

g. En qué momento daría de alta al paciente.

Solución

a) El paciente estuvo enfermo 12 días

b) El paciente en los días 1 y 2 tuvo una temperatura de 41°

c) El paciente en los días 3 y 4 tuvo una temperatura de 39 °

d) El paciente en los días 5 y 6 tuvo una temperatura de 39 ° luego subió a 40 °.

e) La máxima temperatura es de 41 ° en los días 1y 2, y la mínima de 38 ° los días 5,

10,11 para luego normalizarse la temperatura de 36.5 °.

f) La temperatura se mantiene constante del día 1 al 2 ( 41 °), del día 3 al 4 ( 39 °), del

día 6 a 8 ( 40 °), del día 10 a 11 ( 38 °) en estos días es mala para el paciente y luego

los días 12,13,14,15 (36,5 °) la temperatura es buena dado que es normal.

g) Al paciente le darían de alta en el día 15 dado que se normalizo su temperatura.

b) La pendiente 𝒎 =

𝟏

𝟕

de acuerdo a la gráfica es la razón en la cual crece la temperatura en función

de los chirridos por minuto.

c) Calcularemos la temperatura cuando 𝑁 = 200

𝑻(𝟐𝟎𝟎) =

𝟐𝟎𝟎

𝟕

𝟑𝟕𝟕

𝟕

=

577

7

= 82. 428

Luego la temperatura 𝑇 = 82.428, cuando N=

10. Grafica la función a mano, no trazando puntos, sino comenzando con el gráfico de una de las

funciones estándar, y luego aplicando las transformaciones apropiadas.

Solución

a) 

x

y sen

i) Si 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙)

b) ( 1 cos(x))

y  

i) 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

T

N

• UPCH-Departamento de Ciencias Exactas 2021-