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TEMA 1: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1. NOTACIÓN
^ para todo implica es una condición suficiente para que ocurra condición necesaria para que suceda
p q p q p q q p
(^)
existe si y sólo si es condición necesaria y suficente para que ocurra es condición necesaria y sufuciente para que suceda
p q p q p q q p
(^)
! existe un único
2. CONJUNTOS
Un conjunto es una colección de objetos bien diferenciados. Los objetos que forman los conjuntos se llaman elementos. Los conjuntos se suelen representar por letras mayúsculas y los elementos por minúsculas. Es decir, a es un elemento y A un conjunto.
Se dice que un elemento pertenece a un conjunto si está en él. Se representa por a A. Si un elemento no pertenece a un conjunto lo representamos por a A.
Los elementos de un conjunto se expresan siempre entre llaves. Un conjunto se puede expresar:
o bien enumerando todos y cada uno de sus elementos : Q 2, 4,6,8,10... o bien expresando una o varias características que verifican los elementos del mismo: P (^) p : p 2 , k k
Se define la unión de conjuntos como el conjunto A B (^) x : x A ó x B y la intersección como el conjunto
A B (^) x : x A y x B . Por ejemplo, dados A 1,3,5,7 y B 2,5,8, se tiene que A B 1, 2,3,5,7,8 y A B 5
Se dice que A está contenido en B , que B contiene a A o que A es un subconjunto de B si todos los elementos de A están en B. Se escribe A B. Por ejemplo, (^) , , (^) (^) , , , ,.
Se dice que A y B son iguales si tienen los mismos elementos, es decir si ocurre que A B y B A. Por ejemplo, los conjuntos Q 2, 4,6,8,10...y P (^) p : p 2 , k k son iguales pues constan exactamente de los mismos elementos.
Se denota por al conjunto carente de elementos. Se llama conjunto vacío. Existen muchísimas formas de obtenerlo, una de ellas es por ejemplo x : x 0
3. NÚMEROS REALES
Los números naturales se utilizan para contar, 1, 2,3... . Surge la necesidad de resolver ecuaciones del tipo x 5 3 y no es posible encontrar un natural que la verifique. Por ello se amplía el concepto de número y aparece el conjunto de los números enteros donde este tipo de ecuación sí admite solución,
... 2, 1,0,1, 2.... Pero nuevamente aparece la necesidad de resolver otro tipo de ecuaciones, por ejemplo
2 x 1 4 que no tienen solución entera. Se define en este caso el conjunto de los números racionales como
^^ pq^ : p q , , q 0, mcd p q , 1
. La condición mcd p q , 1 expresa que las fracciones son irreducibles,
es decir, un número racional ha de ser una fracción irreducible. De esta manera la ecuación anterior sí tiene solución en este conjunto. Ocurre que dado un número racional es posible calcular su expresión decimal sin más que realizar la división p q. Como ya sabemos, al realizar esta división un número racional puede ser:
decimal exacto
puro decimal periódico (^) mixto
De la misma manera, un número decimal cuya expresión sea de alguno de los tipos anteriores es racional (basta calcular la fracción generatriz para expresarlo como racional). Pero existen números cuya expresión decimal no se ajusta a ninguna de las tres anteriores; son números con una expresión decimal no finita sin ningún patrón. No es posible expresar estos números en forma de fracción irreducible. Por ello no son números racionales. Son los
llamados números irracionales y los representamos por . Ejemplo de ellos son 2 ,^1 2
, , e … Los
números racionales junto con los irracionales forman el conjunto de los números reales. Los números reales se pueden expresar en forma de recta que está “llena”, es decir, no existen “agujeros” en la recta real. Finalmente surge la necesidad de resolver la ecuación x^2 1 0 que no tiene soluciones reales. Se realiza entonces otra ampliación
del concepto de número y aparece el cuerpo de los números complejos, a bi a b : , donde i^2 1.
Observación :
4. INTERVALOS
Un intervalo es un conjunto de números reales de los siguientes tipos:
a b ,^^ ^ x^ ^ : a^ ^ x^ b a ,^^ x^ ^ : a^ x ,^ b^ ^ x^ ^ : x^ b ,
a b ,^ ^ ^ x^ ^ : a^ ^ x^ b
a b ,^^ ^ x^ ^ : a^ ^ x^ b ,^ b ^ ^ x^ ^ : x^ b
a b ,^ ^ ^ x^ ^ : a^ ^ x^ b a ,^^ x^ ^ : a^ x
Como conjuntos que son, podemos operar con ellos utilizando todas las definiciones vistas anteriormente. Por
ejemplo, se tiene que 0 2,3, 2 2,5, ,0 2, 4, 1,7 5, 5,7, 1,0 5,
5. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
Se define el valor absoluto de un número real como a máx a , a o también como si^0
si 0 a a^ a a a
^
^
El valor absoluto verifica un gran número de propiedades. Las siguientes resultan más importantes:
a 0 y a 0 a 0 a b a b (Desigualdad triangular) a b a b
f está acotada inferiormente por p p f (^) x (^) , x Dom f. ÍNFIMO: la mayor de las cotas inferiores. Si ínfimo Im f se llama MÍNIMO ABSOLUTO. f está acotada f está acotada superior e inferiormente.
f. SIMETRÍA
Respecto del eje de ordenadas: f (^) x (^) f (^) x (^) , x Dom f f es par Respecto del origen de coordenadas: f (^) x (^) f (^) x (^) , x Dom f f es impar
g. PERIODICIDAD
f es periódica de periodo T 0 f (^) x kT (^) f (^) x , x Dom f , k
h. OPERACIONES CON FUNCIONES
PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL kf (^) x (^) k f (^) x SUMA f g (^) x (^) f (^) x (^) g x PRODUCTO f g (^) x (^) f (^) x (^) g x COCIENTE ^ f (^) x^ f^ x g g x
^ con g^ ^ x^ ^ ^0 COMPOSICIÓN g f (^) x (^) g (^) f (^) x FUNCIÓN INVERSA f ^1 y (^) x f (^) x (^) y f y f ^1 simétricas respecto y=x
i. FUNCIONES ELEMENTALES
- Funciones polinómicas: i. Función constante. ii. Función lineal. iii. Función afín. iv. Función cuadrática. v. Función potencial de exponente natural.
- Función potencial de exponente entero negativo.
- Función raíz
- Función exponencial.
- Función logarítmica.
- Funciones circulares o trigonométricas.
- Funciones hipérbolicas.
j. FUNCIONES A TROZOS
- Función parte entera
- Función mantisa
- Función signo
- Función de Dirichlet
