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TEMA 2: LÍMITES DE FUNCIONES
1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. FUNCIONES CONVERGENTES
Una función f : tiene límite l cuando x tiende a x 0 si para todo entorno E l , existe un entorno
E x 0 , tal que para todo x Domf E * x 0 , se verifica que f (^) x (^) E l , . Esto se escribe
0
lim 0 0 / con 0 0 x x
f x l x Domf x x f x l
Si una función cumple esta definición se dice que es convergente.
2. LÍMITES LATERALES
Una función f : tiene límite l cuando x tiende a x 0 por la izquierda si
0
lim 0 0 / con 0
x x
f x l x Domf x x x f x l.
Una función f : tiene límite l cuando x tiende a x 0 por la derecha si
0
lim 0 0 / con 0 x x
f x l x Domf x x x f x l
3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONVERGENTES
Condición necesaria y suficiente de convergencia: La condición necesaria y suficiente para que una función
f : tenga límite en un punto de abscisa x 0 es que exista el límite lateral por la izquierda, exista el
límite lateral por la derecha y ambos sean iguales. Es decir
(^0 0 )
lim lim lim (^) ^
x x (^) x x x x
f x l f x l f x
Unicidad el límite: Si una función es convergente o tiene límite en un punto, este es único.
Acotación: Una función que tiene límite en un punto está acotada en un entorno de ese punto.
4. LÍMITES INFINITOS CUANDO X TIENDE A UN NÚMERO REAL
0
lim 0 / con 0 x x
f x K x Domf x x x f x K
0
0 lim 0 / con x x
f x K x Domf x x x f x K
0
lim 0 / con 0 x x
f x M x Domf x x x f x M
0
0 lim 0 / con x x
f x M x Domf x x x f x M
0
lim 0 / con 0 0 x x
f x K x Domf x x f x K
0
lim 0 / con 0 0 x x
f x M x Domf x x f x M
5. LÍMITES FINITOS EN EL INFINITO
lim (^) 0 / con x
f x l K x Domf x K f x l
lim (^) 0 / con x
f x l M x Domf x M f x l
6. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO
lim (^) / con x
f x K M x Domf x M f x K
lim (^) / con x
f x K M x Domf x M f x K
lim (^) / con x
f x K M x Domf x M f x K
lim (^) / con x
f x K M x Domf x M f x K
7. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS DE UNA FUNCIÓN
Se dice que la función f tiene una asíntota vertical de ecuación x x 0 cuando existe alguno de los límites:
0
lim x x
f x
0
lim x x
f x
0
lim x x
f x
0
lim x x
f x
0
lim x x
f x
0
lim x x
f x
Se dice que la función f tiene una asíntota horizontal de ecuación y y 0 cuando existe alguno de los límites:
lim (^0) x
f x y
lim (^0) x
f x y
8. CÁLCULO DE LÍMITES
Una primera forma para calcular el límite de una función es utilizar su gráfica si la conocemos. En otro caso
podemos utilizar las operaciones con límites de funciones siguiente: Si existen
0
lim x x
f x
y
0
lim x x
g x
, entonces
0 0 0
lim lim lim x x x x x x
f x g x f x g x
0
0 0
lim
lim lim
x x
x x x x
f x f x
g x g x
si
0
lim 0 x x
g x
0 0
lim lim x x x x
k f x k f x
0 0
lim lim x x x x
f x f x
si
0
lim 0 x x
f x
0 0 0
lim lim lim x x x x x x
f x g x f x g x
0
0 0
lim
lim lim
x x
g x g x
x x x x
f x f x
con
0
lim 0 x x
f x
para x 0 , o . Existen casos en los que no se puede hallar directamente el límite. Estos casos son
conocidos como indeterminaciones.
9. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES
a. TÉCNICAS MATEMÁTICAS
Tipo
. Se resuelven utilizando la expresión
1 0
1 0
... lim lim ...
n n n n x m^ x m m m
a x a x a a x (^) b x b x b b x
.
Tipo 0 . Se resuelven transformándolas en las del tipo
y
0
0
.
Tipo
0 0
. Se resuelven o bien factorizando o bien calculando el
conjugado.
Tipo . Se resuelven operando convenientemente o utilizando
el conjugado.
Tipo 0
k
. Se resuelven estudiando los límites laterales.
Tipos 0 0 y 0 . Se estudiarán en el tema 5 a través de la regla de
L’Hôpital.
b. EL NÚMERO e
Resuelve la indeterminación tipo 1
. Para x 0 , o se tiene que si
0 ^ ^ ^ ^ ^ 0 0 0
lim 1
lim 1
lim lim
x x x x g x^ g x^ f^ x
x x x x
f x
f x e g x
^
^ ^
c. INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES
Se dice que la función f es un infinitésimo si
0
lim 0 x x
f x
. Se dice que dos infinitésimos f y g son
equivalentes en x 0 , y se denota por f x g x , si
lim 1 x x
f x
g x
Cuando h x 0 , se tiene que: sen h x h x tg h x h x
2
1-cos 2
h x h x
ln 1 h x h x
1 ln
h x a h x a
Ejemplos : 1) 0 3 0 3
3 1 ln 3 lim lim
x
x x
x
(^) x x
^
(^2 )
2 2 2
tg 4 4 2 lim lim lim x (^) 2 x (^) 2 x
x (^) x^ x
(^) x (^) x
^
x
x
