Matemáticas discretas 3edi lipschutz, Apuntes de Administración de Negocios

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MATEMÁTICAS

DISCRETAS

Seymour Lipschutz, Ph. D.

Temple University

Marc Lars Lipson, Ph. D.

University of Virginia

Revisión técnica

María de Lourdes Quezada Batalla Departamento de Ciencias Básicas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México

Tercera edición

SEYMOUR LIPSCHUTZ da clases en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Temple y antes enseñó en el Instituto Politécnico de Brooklin. Se doctoró en 1960 en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Nueva York. Es uno de los más prolíficos autores de la serie Schaum’s Outlines, y también es autor de Probability ; Finite Mathematics , 2a. edición; Linear Algebra , 3a. edición; Beginning Linear Algebra ; Set Theory ; y Essential Computer Mathematics.

MARC LARS LIPSON da clases en la Universidad de Virginia y antes enseñó en la Facultad de la Universidad de Georgia. Se doctoró en finanzas en 1994 en la Universidad de Michigan. También es coautor de Linear Algebra , 3a. edición y 2000 Solved Problems in Discrete Mathematics con Seymour Lipschutz.

A CERCA DE LOS AUTORES

V

IX

• CAPÍTULO 1 Teoría de conjuntos C ONTENIDO
  • 1.1 Introducción
  • 1.2 Conjuntos, elementos y subconjuntos
  • 1.3 Diagramas de Venn
  • 1.4 Operaciones con conjuntos
  • 1.5 Álgebra de conjuntos, dualidad
  • 1.6 Conjuntos finitos y principio de conteo
  • 1.7 Clases de conjuntos, conjuntos potencia y particiones
  • 1.8 Inducción matemática
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 2 Relaciones
  • 2.1 Introducción
  • 2.2 Producto de conjuntos
  • 2.3 Relaciones
  • 2.4 Representación gráfica de las relaciones
  • 2.5 Composición de relaciones
  • 2.6 Tipos de relaciones
  • 2.7 Propiedades de cerradura
  • 2.8 Relaciones de equivalencia
  • 2.9 Relaciones de orden parcial
  • 2.10 Relaciones n -arias
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 3 Funciones y algoritmos
  • 3.1 Introducción
  • 3.2 Funciones
  • 3.3 Funciones uno a uno, sobre e invertibles
  • 3.4 Funciones matemáticas, funciones exponencial y logarítmica
  • 3.5 Sucesiones, clases indexadas de conjuntos
  • 3.6 Funciones definidas en forma recursiva
  • 3.7 Cardinalidad X CONTENIDO
  • 3.8 Algoritmos y funciones
  • 3.9 Complejidad de los algoritmos
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 4 Lógica y cálculo de proposiciones
  • 4.1 Introducción
  • 4.2 Proposiciones y declaraciones compuestas
  • 4.3 Operaciones lógicas básicas
  • 4.4 Proposiciones y tablas de verdad
  • 4.5 Tautologías y contradicciones
  • 4.6 Equivalencia lógica
  • 4.7 Álgebra de proposiciones
  • 4.8 Proposiciones condicionales y bicondicionales
  • 4.9 Argumentos
  • 4.10 Funciones proposicionales, cuantificadores
  • 4.11 Negación de proposiciones cuantificadas
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 5 Técnicas de conteo
  • 5.1 Introducción
  • 5.2 Principios básicos de conteo
  • 5.3 Funciones matemáticas
  • 5.4 Permutaciones
  • 5.5 Combinaciones
  • 5.6 El principio del palomar
  • 5.7 El principio de inclusión-exclusión
  • 5.8 Diagramas de árbol
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 6 Técnicas de conteo avanzadas, recurrencia
  • 6.1 Introducción
  • 6.2 Combinaciones con repeticiones
  • 6.3 Particiones ordenadas y no ordenadas
  • 6.4 Otra aplicación del principio de inclusión-exclusión
  • 6.5 Otra aplicación del principio del palomar
  • 6.6 Relaciones recursivas, o de recurrencia
    • constantes 6.7 Relaciones recursivas, o de recurrencia, lineales con coeficientes
    • de segundo orden 6.8 Solución de relaciones de recurrencia lineales homogéneas
    • generales 6.9 Solución de relaciones de recurrencia lineales homogéneas
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 7 Probabilidad
  • 7.1 Introducción
  • 7.2 Espacio muestral y eventos
  • 7.3 Espacios de probabilidad finitos
  • 7.4 Probabilidad condicional
  • 7.5 Eventos independientes
  • 7.6 Ensayos independientes repetidos, distribución binomial
  • 7.7 Variables aleatorias
  • 7.8 Desigualdad de Chebyshev, ley de los grandes números
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 8 Teoría de grafos
  • 8.1 Introducción, estructura de datos
  • 8.2 Grafos y multigrafos
  • 8.3 Subgrafos, grafos isomorfos y homeomorfos
  • 8.4 Caminos y conectividad
  • 8.5 Recorridos y grafos eulerianos, los puentes de Königsberg
  • 8.6 Grafos etiquetados y ponderados
  • 8.7 Grafos completos, regulares y bipartidos
  • 8.8 Árboles
  • 8.9 Grafos planos
  • 8.10 Coloreados de grafos
  • 8.11 Representación de grafos en la memoria de la computadora
  • 8.12 Algoritmos de gráficas
  • 8.13 El problema del agente viajero
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 9 Grafos dirigidos
  • 9.1 Introducción
  • 9.2 Grafos dirigidos
  • 9.3 Definiciones básicas
  • 9.4 Árboles con raíz
  • 9.5 Representación secuencial de grafos dirigidos
  • 9.6 Algoritmo de Warshall, caminos más cortos
  • 9.7 Representación ligada de grafos dirigidos
  • 9.8 Algoritmos de grafos: búsquedas en profundidad y en anchura
  • 9.9 Grafos dirigidos libres de ciclos, ordenación topológica
  • 9.10 Algoritmo de poda para el camino más corto
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 10 Árboles binarios XII CONTENIDO
  • 10.1 Introducción
  • 10.2 Árboles binarios
  • 10.3 Árboles binarios completos y extendidos
  • 10.4 Representación de árboles binarios en la memoria
  • 10.5 Recorrido de árboles binarios
  • 10.6 Árboles binarios de búsqueda
  • 10.7 Colas prioritarias, montículos
  • 10.8 Longitudes de caminos, algoritmo de Huffman
  • 10.9 Árboles generales (con raíz ordenados), repaso
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 11 Propiedades de los enteros
  • 11.1 Introducción
  • 11.2 Orden y desigualdades, valor absoluto
  • 11.3 Inducción matemática
  • 11.4 Algoritmo de la división
  • 11.5 Divisibilidad, primos
  • 11.6 Máximo común divisor, algoritmo euclidiano
  • 11.7 Teorema fundamental de la aritmética
  • 11.8 Relación de congruencia
  • 11.9 Ecuaciones de congruencia
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 12 Lenguajes, autómatas, gramáticas
  • 12.1 Introducción
  • 12.2 Alfabeto, palabras, semigrupo libre
  • 12.3 Lenguajes
  • 12.4 Expresiones regulares, lenguajes regulares
  • 12.5 Autómatas de estado finito
  • 12.6 Gramáticas
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 13 Máquinas de estados finitos y máquinas de Turing
  • 13.1 Introducción
  • 13.2 Máquinas de estados finitos
  • 13.3 Números de Gödel
  • 13.4 Máquinas de Turing
  • 13.5 Funciones computables
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 14 Conjuntos ordenados y retículos
  • 14.1 Introducción
  • 14.2 Conjuntos ordenados
  • 14.3 Diagramas de Hasse de conjuntos parcialmente ordenados
  • 14.4 Enumeración consistente
  • 14.5 Supremo e ínfimo
  • 14.6 Conjuntos ordenados (semejantes) isomorfos
  • 14.7 Conjuntos bien ordenados
  • 14.8 Retículos
  • 14.9 Retículos acotados
  • 14.10 Retículos distributivos
  • 14.11 Complementos, retículos complementados
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• CAPÍTULO 15 Álgebra booleana
  • 15.1 Introducción
  • 15.2 Definiciones básicas
  • 15.3 Dualidad
  • 15.4 Teoremas básicos
  • 15.5 Álgebras booleanas como retículos
  • 15.6 Teorema de representación
  • 15.7 Representación de conjuntos en forma de suma de productos
    • productos 15.8 Representación de álgebras booleanas en forma de suma de
  • 15.9 Expresiones booleanas minimales, implicantes primos
  • 15.10 Compuertas y circuitos lógicos
  • 15.11 Tablas de verdad, funciones booleanas
  • 15.12 Mapas de Karnaugh
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• APÉNDICE A Vectores y matrices
  • A.1 Introducción
  • A.2 Vectores
  • A.3 Matrices
  • A.4 Adición de matrices y multiplicación por un escalar
  • A.5 Multiplicación de matrices
  • A.6 Traspuesta
  • A.7 Matrices cuadradas
  • A.8 Matrices invertibles (no singulares), inversas
  • A.9 Determinantes
    • (opcional) A.10 Operaciones elementales en los renglones, eliminación gaussiana
  • A.11 Matrices booleanas (cero-uno)
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• APÉNDICE B Sistemas algebraicos XIV CONTENIDO
  • B.1 Introducción
  • B.2 Operaciones
  • B.3 Semigrupos
  • B.4 Grupos
  • B.5 Subgrupos, subgrupos normales y homomorfismos
  • B.6 Anillos, dominios de integridad y campos
  • B.7 Polinomios sobre un campo
  • Problemas resueltos
  • Problemas suplementarios
• ÍNDICE

1.1 INTRODUCCIÓN

El concepto de conjunto aparece en todas las matemáticas. Por ello es que conviene iniciar este capítulo con la notación y la terminología básicas de la teoría de conjuntos, las cuales se utilizan en todo el texto; el capítulo termina con la definición formal, y ejemplos, de la inducción matemática.

1.2 CONJUNTOS, ELEMENTOS Y SUBCONJUNTOS

Un conjunto es una colección bien definida de objetos, que se denominan elementos o miembros del conjunto. Las letras mayúsculas A , B , X , Y ,... , denotan conjuntos y las minúsculas a , b , x , y ,... , denotan elementos de conjuntos. Algunos sinónimos de “conjunto” son “clase”, “colección” y “familia”. La pertenencia a un conjunto se denota: a ∈ S denota que a pertenece al conjunto S. a , b ∈ S denota que a y b pertenecen al conjunto S. Aquí ∈ es el símbolo para indicar “es un elementos de” y ∈ significa “no es un elemento de”.

Especificación de conjuntos

Hay dos formas para especificar un conjunto particular. Una forma, de ser posible, consiste en enumerar sus elementos separados por comas y escritos entre llaves { }. La segunda es escribir las propiedades que caracterizan a los elemen- tos del conjunto. Dos ejemplos de lo anterior son:

A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = { x | x es un entero par, x > 0}

Es decir, A consta de los elementos 1, 3, 5, 7, 9. El segundo conjunto se lee:

B es el conjunto de x tal que x es un entero par y x es mayor que 0,

denota el conjunto B , cuyos elementos son los enteros pares positivos. Observe que para denotar un miembro del con- junto se usa una letra, casi siempre x ; la recta vertical | se lee “tal que” y la coma “y”.

EJEMPLO 1.

a ) El conjunto A anterior también se escribe como A = { x | x es un entero positivo impar, x < 10 }.

b ) Aunque no es posible listar todos los elementos del conjunto B anterior, a este conjunto se le especifica como

B = {2, 4, 6,.. .} donde se supone que todo mundo lo entiende. Observe que 8 ∈ B , pero 3 ∈ B.

Teoría de

conjuntos

1

CAPÍTULO

Conjunto universo y conjunto vacío

Todos los conjuntos que se estudian en cualquier aplicación de la teoría de conjuntos pertenecen a un gran conjunto fijo denominado universo , que se denota por

U

a menos que se establezca o implique otra cosa. Dados un conjunto universo U y una propiedad P, en U puede no haber elementos que tengan la propiedad P. Por ejemplo, el siguiente conjunto no tiene elementos:

S = { x | x es un entero positivo, x^2 = 3 }

Un conjunto que no tiene elementos se denomina conjunto vacío o conjunto nulo y se denota por

[

Sólo hay un conjunto vacío. Es decir, si S y T son vacíos, entonces S = T , ya que tienen exactamente los mismos ele- mentos, a saber, ninguno. El conjunto vacío [ también se considera como un subconjunto de cualquier otro conjunto. Así, el planteamiento formal de este sencillo resultado es:

Teorema 1.2: Para cualquier conjunto A , se tiene [ ⊆ A ⊆ U.

Conjuntos ajenos o disjuntos

Dos conjuntos A y B son ajenos o disjuntos , si no tienen elementos en común. Por ejemplo, suponga

A  {1, 2}, B  {4, 5, 6} y C  {5, 6, 7, 8}.

Entonces A y B son ajenos, y A y C son ajenos. Pero B y C no son ajenos porque B y C tienen elementos en común, 5 y 6. Observe que si A y B son ajenos, entonces ninguno es un subconjunto del otro (a menos que uno sea el conjunto vacío).

1.3 DIAGRAMAS DE VENN

Un diagrama de Venn es un gráfico donde los conjuntos se representan con regiones encerradas en un plano. Aquí el conjunto universo U es el interior de un rectángulo y los otros conjuntos se representan por círculos dentro del rectán- gulo. Si A ⊆ B , entonces el círculo que representa a A está dentro del círculo que representa a B , como se muestra en la figura 1-1 a ). Si A y B son ajenos, entonces el círculo que representa a A está separado del círculo que representa a B , como se muestra en la figura 1-1 b ).

1.3 DIAGRAMAS DE VENN 3

Figura 1-

b ) A y B son ajenos c )

U

B (^) A

U

B A

U

A B

a ) A ⊆ B

4 CAPÍTULO 1 TEORÍA DE CONJUNTOS

No obstante, si A y B son dos conjuntos arbitrarios, es posible que algunos elementos estén en A pero no en B , que otros estén en B pero no en A , que algunos estén tanto en A como en B , y que otros no estén ni en A ni en B ; por tanto, en general A y B se representan como en la figura 1-1 c ).

Argumentos y diagramas de Venn

Muchas declaraciones verbales son, en esencia, sobre conjuntos y, en consecuencia, se les puede describir mediante diagramas de Venn; por tanto, éstos sirven para determinar si un argumento es válido o no.

EJEMPLO 1.3 Demuestre que el siguiente argumento (una adaptación de un libro de lógica de Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas ) es válido:

S 1 : Todos mis objetos de estaño son cazos. S 2 : Encuentro muy útiles todos tus regalos. S 3 : Ninguno de mis cazos es útil. S3 : Tus regalos no son de estaño. Las declaraciones S 1 , S 2 y S 3 , arriba de la línea horizontal, son los supuestos o las hipótesis y la declaración S , abajo de la línea horizontal, es la conclusión. El argumento es válido si la conclusión S se obtiene en forma lógica a partir de las hipótesis S 1 , S 2 y S 3. Si S 1 son todos los objetos de estaño que contiene el conjunto de los cazos, entonces S 3 , el conjunto de los cazos, y el conjunto de los objetos útiles son ajenos. Además, por S 2 , el conjunto de “tus regalos” es un subconjunto del conjunto de los objetos útiles. En consecuencia, es posible dibujar el diagrama de Venn que se muestra en la figura 1-2. Resulta evidente que la conclusión es válida por el diagrama de Venn, porque el conjunto “tus regalos” es ajeno al conjunto de los objetos de estaño.

1.4 OPERACIONES CON CONJUNTOS

En esta sección se presentan varias operaciones con conjuntos, como son las operaciones básicas de unión, intersección y complemento.

Unión e intersección

La unión de dos conjuntos A y B , que se denota por A ∪ B , es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B ; es decir,

A ∪ B = { x | x ∈ A o x ∈ B }

Aquí “o” se usa en el sentido incluyente de y/o. La figura 1-3 a ) es un diagrama de Venn en el que A ∪ B está som- breada. La intersección de dos conjuntos A y B , que se denota por A ∩ B , es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a A como a B ; es decir,

A ∩ B = { x | x ∈ A y x ∈ B }

La figura 1-3 b ) es un diagrama de Venn en el que A ∩ B está sombreada.

objetos de estaño

cazos

tus regalos

objetos útiles

Figura 1-