ALGEBRA LINEAL
CAPITULO 2
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
En clases pasadas se estudiaron los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
Sea A la matriz de coeficientes:
Y sean:
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material 3 algebra lineal, Ejercicios de Álgebra Lineal
ejercicios de algebra practicos para las evaluaciones
Tipo: Ejercicios
2018/2019
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ALGEBRA LINEAL
CAPITULO 2
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
En clases pasadas se estudiaron los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
Sea A la matriz de coeficientes:
Y sean:
Ejemplo: Cómo escribir un sistema mediante su representación matricial
Consideremos el sistema:
Este se puede escribir como A x=b con
Observación: otra forma de denotar los vectores es:
𝒙⃗⃗
Observación: Existe una relación fundamental entre los sistemas homogéneos y los no homogéneos. Sea A una matriz m*n:
Demostración
Por hipótesis, x e y son soluciones particulares del sistema no homogéneo 𝑨𝒙 = 𝒃
Entonces, 𝑨𝒙 = 𝒃 y 𝑨𝒚 = 𝒃 , luego;
𝑨(𝒚 − 𝒙) = 𝑨𝒚 − 𝑨𝒙 = 𝒃 − 𝒃 = 𝟎
Es decir,
h=y-x
Es solución del sistema homogéneo.
EJEMPLO: Cómo escribir un número infinito de soluciones como una solución particular a un sistema no homogéneo más las soluciones al sistema homogéneo
Encuentre todas las soluciones al sistema no homogéneo:
usando el resultado anterior.
Solución:
Las ecuaciones correspondientes a los primeros dos renglones del último sistema son:
𝑥 1 = 4 − 13𝑥 3 ; y 𝑥 2 = −2 + 7𝑥 3
con lo que las soluciones son:
𝒙 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) = (4 − 13𝑥 3 ; −2 + 7𝑥 3 ; 𝑥 3 ) = (4, −2, 0) + (−13𝑥 3 , +7𝑥 3 , 𝑥 3 ) = (4, −2, 0) + 𝑥 3 (−13,7,1 ) = 𝒙𝑝 + 𝒙ℎ
Donde:
𝒙𝑝 = (4, −2, 0)
es una solución particular y:
𝒙ℎ = 𝑥 3 (−13,7,1 )
donde 𝑥 3 es un número real, es una solución al sistema homogéneo asociado. Por ejemplo, 𝑥 3 = 0 lleva a la solución (4, -2, 0) mientras que 𝑥 3 = 2 da la solución
(-22, 12, 2).
Inversa de una matriz cuadrada
Ahora vamos a definir dos tipos de matrices que son fundamentales en la teoría de matrices. En primer lugar se presenta un ejemplo sencillo
Sea:
𝑨 = (^21 53 ) y 𝑩 = ( (^) −1^3 −5 2 )
Es decir, 𝑰n conmuta con toda matriz de n*n y la deja sin cambio después de la multiplicación por la derecha o por la izquierda.
Demostración
Sea 𝑐𝑖𝑗 el elemento 𝑖𝑗 de 𝑨𝑰n_._ Entonces
Pero, esta suma es igual a 𝑎𝑖𝑗. Así 𝑨𝑰n = 𝑨. De una manera similar se puede
demostrar que 𝑰n𝑨 = 𝑨 y esto demuestra el teorema.
Nota
𝑰n funciona para las matrices de n*n de la misma manera que el número 1
funciona para los números reales.
Definición:
Observación 1
A partir de esta definición se deduce inmediatamente que (𝑨−1)−1^ = 𝑨 si 𝑨
es invertible.
Observación 2
Esta definición no establece que toda matriz cuadrada tiene inversa. De hecho,
existen muchas matrices cuadradas que no tienen inversa.
Observación: Una matriz cuadrada que no es invertible se le denomina singular y una matriz invertible se llama no singular.
Teorema
Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es única.
Demostración: Suponga que B y C son dos inversas de A. Entonces, por definición
se tiene que AB = BA = 𝑰 y AC = CA = 𝑰. Por la ley asociativa de la multiplicación de
matrices se tiene que B ( AC ) = ( BA ) C. Entonces:
B = B 𝑰 = B(AC ) = (BA)C = 𝑰 C = C
Por lo tanto, B = C, y el teorema queda demostrado.
Teorema: Sean A y B dos matrices invertibles de n*n. Entonces AB es invertible y
Demostración:
De la definición de matriz inversa se tiene que lo que queremos probar es que:
Vamos a contestar ambas preguntas. Se comenzará por analizar lo que ocurre en el caso 2 * 2.
EJEMPLO: Cálculo de la inversa de una matriz de 2 * 2
Sol. El procedimiento general es como sigue: (Vamos a estudiar en este curso varias formas para encontrar la inversa de una matriz, esta es una)
Se observa que:
Entonces A es invertible y:
𝑨−1^ = (−
Ejemplo: Determine si A es invertible y si es así, calcule su inversa, donde:
𝑨 = ( 1 2 −2 −
Solución: Si se aplica la misma lógica que en el ejemplo anterior se puede escribir este sistema en la forma de matriz aumentada ( A | I ) y reducir por renglones:
Hasta aquí se puede llegar. A no es invertible.
Ejemplo: Cálculo de la inversa de una matriz 2*
Solución: Se encuentra que det A = (2)(3) - (-4)(1) = 10; por lo tanto, la
inversa de A existe y se tiene:
Ejemplo:
Solución: Se encuentra que det A = (1)(-4) - (2)(-2) = -4 + 4 = 0, de
manera que la inversa de A no existe.
PROBLEMAS
1.-Para las siguientes matrices, calcular la inversa, si existe:
a)𝑨 = (^13 24 ) ; b)𝑪 = (^46 1015 ) ; 𝑐) 𝑯 = (^10 21 02 )
Respuestas:
𝑎)𝑨−1^ = (
b)𝑪 no tiene inversa ya que su matriz escalonada reducida no es la identidad;
c) H no tiene inversa porque es de tamaño 2x
2.-Si 𝑨−1^ = (^3 1 3 ) y 𝑩−1^ = (^2 3 − ) , calcular (𝑨𝑩)−
Respuesta:
(𝑨𝑩)−1^ = (^11 7 0
3.-Demuestre que si las tres matrices de tamaño (nxn), A, B, C cumplen con las
condiciones : AB = I n= BC , siendo I n la matriz identidad de tamaño (nxn) , entonces
Ejemplo:
PROBLEMA
1.-Para la siguiente matriz, calcular la inversa, si existe:
Solución: Este sistema se puede escribir como Ax = b , donde
Entonces:
Transpuesta de una matriz
Definición:
Ejemplo: Encuentre las transpuestas de las matrices:
Solución: Al intercambiar los renglones y las columnas de cada matriz se obtiene
Teorema