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Ejercicios y temas de las segunda mitad de semestre
Tipo: Ejercicios
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Analizaremos ahora la forma en que se pueden calcular las inversas de las matrices haciendo uso de los determinantes.
Se comienza con un resultado importante.
Teorema:
Demostración: por definición:
𝑨𝑨−1^ = 𝑰
Entonces:
det(𝑨𝑨−1) = det(𝑰)
Por propiedad:
det(𝑨) det(𝑨−1) = 1
Como det(𝑨) ≠ 0
det(𝑨−1) =
det(𝑨)
Ejemplo: Sean A, B y C matrices cuadradas de 4x4. Si det ( A ) =1/4 y
a)Calcular det( B ).
b)Si 𝑪−1(𝑪−1𝑩𝑨)𝑇^ = 𝑰 4 , calcular el det( C )
Sol:
𝑑𝑒𝑡(𝑪−1(𝑪−1𝑩𝑨)𝑇) = 𝑑𝑒𝑡(𝑰 4 ) = 1
[det(𝑪)]^2 = 𝑑𝑒𝑡(𝑨)𝑑𝑒𝑡(𝑩)
[det(𝑪)]^2 =
Antes de continuar, recordemos la definición de cofactores:
NOTA: Antes de utilizar determinantes para calcular las inversas es necesario definir la adjunta de una matriz A = ( aij ). Sea B = ( Aij ) la matriz de cofactores de A (recuerde que un cofactor es un numero). Entonces
Definición
La adjunta
Sea A una matriz de n * n y sea B , dada como antes, la matriz de sus cofactores. Entonces, la adjunta de A , escrito adj A , es la transpuesta de la matriz B de n * n ; es decir,
Teorema
EJEMPLO: Uso del determinante y la adjunta para calcular la inversa
det A = 3 ≠ 0 se ve que A es invertible. Del ejemplo de antes se tiene:
Verificación
Nota. Como ya se habrá observado, si n > 3, por lo general es más fácil calcular la inversa de A con la reducción por renglones que utilizando adj A ; aun para el caso de 4*4 es necesario calcular 17 determinantes (16 para la adjunta de A más det A ). Sin embargo, el teorema anterior es de suma importancia ya que, antes de hacer la reducción por renglones, el cálculo de det A (si se puede hacer fácilmente) dice si la inversa de A existe o no existe.
Sea D = det A****. Se definen n nuevas matrices:
𝑫 1 = 𝑑𝑒𝑡𝑨 1 ; 𝑫 2 = 𝑑𝑒𝑡𝑨 2 ; ⋯ ; 𝑫𝑛 = 𝑑𝑒𝑡𝑨𝑛
Teorema: Regla de Cramer
Sea A una matriz de n * n y suponga que det A ≠0. Entonces la solución única al sistema A x = b está dada por:
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema usando la regla de Cramer:
Solución:
Luego, el sistema tiene una solución única.
Ejercicio:
Demostración de uno de los teoremas importantes.
TEOREMA: Sea A una matriz de n * n. Entonces A es invertible si y solo si det A ≠ 0.
Para hacer la demostración necesitaremos en primer lugar de la definición de matrices elementales que ya la estudiamos antes;
Definición:
Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si es el producto de matrices elementales.
Toda matriz elemental es invertible
El producto de matrices invertibles es invertible.
Sea A una matriz cuadrada. Entonces A se puede escribir como un producto de matrices elementales y una matriz triangular superior U****. En el producto, las matrices elementales se encuentran a la izquierda y la matriz triangular superior a la derecha.
Sea T una matriz triangular superior. Entonces T es invertible si y solo si det T ≠ 0.
PROPOSICIÓN 6: Lema 3.5.1, pag. 221
Sea E una matriz elemental:
i) Si E es una matriz que representa la operación elemental Ri ⇄ Rj, entonces
det E =-1.
ii) Si E es una matriz que representa la operación elemental Rj → Rj + cRi entonces
det E = 1.
iii) Si E es la matriz que representa la operación elemental Ri → cRi , entonces
det E = c.
Entonces demostramos que:
𝑆𝑖 𝑨 es invertible ⟹ Si det(𝑨) ≠ 0
Falta demostrar que
Si det(𝑨) ≠ 0 ⟹ 𝑨 es invertible
Sabemos que:
det(𝑨) = det(𝑬 1 ) det(𝑬 2 ) ⋯ det(𝑬𝑚)det(𝑻)
Pero: det(𝑨) ≠ 0
⟹ det(𝑻) ≠ 0
Por lo tanto 𝑻 es invertible (por PROPOSICIÓN 5).
Luego, el lado derecho de la expresión:
𝑨 = 𝑬 1 𝑬 2 ⋯ 𝑬𝑚𝑻
Es un producto de matrices invertibles, luego, por la PROPOSICIÓN 3, resulta que 𝑨 es invertible.
En definitiva tenemos que:
𝑨 es invertible ⟺ det(𝑨) ≠ 0
En el presente tema se discutirán las propiedades básicas de los vectores en el plano xy y en el espacio real de tres dimensiones. El estudio de este tema proporcionara ejemplos que harán mucho más comprensible el material de los siguientes temas.
Como se definió en el tema pasado,
En particular ℝ𝟐^ es el conjunto de vectores ( x 1 , x 2 ) con x l y x 2 números reales.
Nota: Como cualquier punto en el plano se puede escribir en la forma ( x , y ), es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es un vector en ℝ𝟐, y viceversa. De este modo, los términos “el plano” y “ℝ𝟐” con frecuencia son intercambiables.
Definición: Segmento de recta dirigido
Sean P y Q dos puntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigido de P a Q ,
denotado por 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ , es el segmento de recta que va de P a Q (vea la figura a ). Observe
que los segmentos de recta dirigidos 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑄𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ son diferentes puesto que tienen direcciones opuestas (figura b ).
Definición: Definición algebraica de un vector
Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales ( a , b ). Los números a
y b se denominan elementos o componentes del vector v. El vector cero es el vector
(0, 0).
Observación
Con esta definición es posible pensar en un punto en el plano xy con coordenadas (a,
b) como un vector que comienza en el origen y termina en (a, b).
Definición: magnitud o longitud de un vector
Si v=(a, b), se define a
Observación: Esto se deduce del teorema de Pitágoras (vea la siguiente figura). Se ha usado la notación | v | para denotar a la magnitud de v. Observe que | v | es un escalar.
Ejemplo: Cálculo de la magnitud de seis vectores
Calcule las magnitudes de los vectores i) v = (2, 2); ii) v = (2, 2√3); iii) v = (-2√3, 2);
iv) v = (-3, -3); v) v = (6, -6); vi) v = (0, 3).
Solución:
Definición: Se define la dirección del vector v = ( a , b ) como el ángulo θ, medido en radianes, que forma el vector con el lado positivo del eje x. Por convención, se escoge θ tal que 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. De la figura anterior se deduce que si a ≠ 0, entonces:
Nota
tan 𝜃 es periódica con periodo 𝜋. Entonces, si a ≠ 0, siempre existen dos números en
[0, 𝜋), tales que tan 𝜃 = 𝑏𝑎. Por ejemplo, tan 𝜋 4 = tan 5𝜋 4 = 1
iv) v = (-3, -3);
v está en el tercer cuadrante, y como tan−1^ 1 = 𝜋 4 ; se encuentra que
v) v = (6, -6);
Como v está en el cuarto cuadrante y tan−1^ −1 = − 𝜋 4 ; se obtiene
vi) v = (0, 3)
No se puede usar la fórmula de la definición porque b/a no está definido (porque a=0), pero, en la figura se ve que
𝜃 =
Nota: multiplicación por un escalar.
Si v = ( a , b ), entonces α v = (α a , α b ). Se encuentra que:
es decir,
