material de estudio mecanica racional, Diapositivas de Mecánica

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Ingeniería Industrial y

de Sistemas

Momentos y Sistemas

Equivalentes

Unidad 3. Momentos y sistemas de fuerzas

equivalentes.

MECÁNICA RACIONAL.

Mgtr. Ing. Manuel Calderón

2

Momento de una fuerza respecto a

un punto (formulación escalar)

▪ El momento es la tendencia al giro, debido a la aplicación de

una fuerza, respecto de un eje que pasa por un punto dado y es

perpendicular a la fuerza aplicada.

𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑙 𝑔𝑖𝑟𝑜) 𝑁𝑜^ ℎ𝑎𝑦^ 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

4

Producto cruz o aspa

(producto vectorial)

▪ El resultado del producto cruz de

dos vectores es siempre otro

vector que es perpendicular al

plano que contiene a los dos

vectores iniciales.

▪ La dirección y sentido del vector

se obtiene con la regla de la mano

derecha.

𝑨 × 𝑩 = 𝑨 𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝜽

𝑨 × 𝑩 = 𝑨 𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒖

𝒄

▪ Ley conmutativa alterna:

𝑨 × 𝑩 = − 𝑩 × 𝑨

▪ Multiplicación por un escalar:

𝒏 𝑨 × 𝑩 = 𝒏𝑨 × 𝑩 = 𝑨 × 𝒏𝑩

▪ Ley distributiva:

𝑨 × 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 × 𝑩 + 𝑨 × 𝑪

Leyes de operación del

producto cruz

5

Producto cruz de vectores

cartesianos

𝒊 Ƹ × 𝒊Ƹ = 𝟎

𝒊 Ƹ × 𝒋Ƹ =

𝒊 Ƹ ×

𝒋 Ƹ × 𝒊Ƹ = −

𝒋 Ƹ × 𝒋Ƹ = 𝟎

𝒋 Ƹ ×

𝒌 × 𝒊Ƹ = 𝒋Ƹ

𝒌 × 𝒋Ƹ = − 𝒊Ƹ

𝒌 ×

7

Momento de una fuerza respecto a

un punto (formulación vectorial)

▪ El momento de la fuerza F respecto al punto O es el

producto vectorial del vector fuerza y el vector posición

trazado desde el punto O hasta cualquier punto de la línea

de acción del vector fuerza.

𝑴

= 𝒓 × 𝑭

8

Vector momento

▪ Eje que pasa por el punto O y es

perpendicular al plano que

contiene a los vectores F y r.

▪ Indicado por el pulgar según la regla

de la mano derecha, siguiendo el

sentido de rotación (horario o

antihorario).

𝑂

= 𝑟Ԧ ×

𝑫𝒊𝒓𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏

10

Momento de una

fuerza respecto a un

punto (formulación

vectorial cartesiana)

𝑶

= 𝒓 × 𝑭 =

𝒙

𝒚

𝒛

𝒙

𝒚

𝒛

𝑶

𝒚

𝒛

𝒛

𝒚

𝒙

𝒛

𝒛

𝒙

𝒙

𝒚

𝒚

𝒙

11

Momento de una fuerza respecto a

un punto (formulación vectorial

cartesiana para 2 dimensiones)

𝑴 𝑶

= 𝒓 𝒙

𝑭 𝒚

− 𝒓 𝒚

𝑭 𝒙

෡ 𝒌

𝑴 𝑶

= 𝒓 𝒙

𝑭 𝒚

− 𝒓 𝒚

𝑭 𝒙

𝐹 𝑧

= 0 𝑟 𝑧

= 0

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Teorema de Varignon

▪ El momento de una fuerza respecto

de un punto es igual a la suma de

momentos de las componentes de la

fuerza respecto al mismo punto

▪ El momento de un sistema de fuerzas

concurrentes respecto de un punto es

igual al momento de la fuerza

resultante respecto al mismo punto

𝑶

𝒙

𝒚

𝑶

= ෍ 𝒓 × 𝑭

𝒏

= 𝒓 × 𝑭

𝑹

14

Ejercicios

1. El ensamble de tubos está sometido

a la fuerza de 80 𝑁. Determine el

momento de esta fuerza con

respecto al punto 𝐴.

16

Momento de una fuerza respecto

a un eje (formulación escalar)

▪ Momento respecto al eje Y

𝑦

= 𝑑 cos 𝜃

𝒚

𝑦

𝑦

17

Momento de una fuerza

respecto a un eje

(formulación vectorial)

▪ Consiste en encontrar la proyección

sobre el eje del vector momento

respecto a un punto cualquiera del eje

𝒂

𝒂

⋅ 𝒓 × 𝑭 =

𝒂 𝒙

𝒂 𝒚

𝒂 𝒛

𝒙

𝒚

𝒛

𝒙

𝒚

𝒛

𝒂

𝒂

𝒂

19

Ejercicios

4. Determine el momento producido

por la fuerza F con respecto al segmento

AB del ensamble de tubos AB.

Exprese el resultado como un vector

cartesiano.

20

Ejercicios

5. Determine la magnitud del

momento que ejerce la fuerza F con

respecto al eje “y” de la flecha.

Resuelva el problema con un método

vectorial cartesiano y después con un

método escalar.