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TEMA 3 – DETERMINANTES
EJERCICIO 1 : Calcula el valor de los siguientes determinantes:
1 5 0 1
b) 4 2 3 0
0 1 1 x
1 1 x 1
a)^1 x^10
Solución:
= ( − ) −( − ) −( − ) =( − ) − ( − ) =( − )([ − ) − ]=
1 x 1 x 1 x 1 x 21 x 1 x 1 x 2 0 1 1 x
1 1 x 1
a) 1 x 1 0 3 3 2
= ( 1 −x) [ 1 − 2 x+x^2 − 2 ] =( 1 −x) (x 2 − 2 x− 1 )^ =−x^3 + 3 x^2 −x− 1
− ⋅
5 13 2
b) 4 2 3 0 1
4
3 2 4
2 4
1
FILAS
a
a a
a a
a
2 3 2 2
2
1 3 2
FILAS
a a
a
a a =−− + = − −
− ⋅
− ⋅
( 1 ) Desarrollamos porla 4 acolumna. ( 2 ) Desarrollamos porla 3 acolumna.
EJERCICIO 2 : Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, además, los posibles valores de t
para que el determinante sea cero:
1 3 3 1
b) 2 1 3 4
a) 1 1 1
t
t
t
Solución:
a) Calculamos el valor del determinante: t 4 ( 1 t) 2 t( 1 t) t t 4 4 t 2 t 2 t t 3 t 7 t 4
2 4 t
1 t 0
1 1 1 t =^2 + − − − − =^2 + − − +^2 − =^2 − +
Veamos para que valores de t se anula el determinante:
t^6
t^8
6
3 t 2 7 t 4 0 t^74948
ycuandot 1. 3
El determinantevalecerocuandot=^4 =
−
− ⋅ 1 2 3
4
3 4
2 4
1 2 4
FILAS
b) 2 1 3 4
a
a a
a a
a a
− 6 −^2 −^1 =− − + =−
( 1 ) Desarrollamos porla 1 acolumna. ( 2 ) Sumamos ala 1 afilala 3 a. ( 3 ) Desarrollamos porla 1 afila.
EJERCICIO 3 : a) Resuelve la ecuación: 0 1 x 3
1 x 2
x 1 3 ==== b) Calcula el valor del determinante:
1 2 0 3
Solución:
a) Desarrollamos el determinante y lo igualamos a cero:
1 x x^10 x^1 x^1
x 1
0 0 1
1 x 2
x 1 3
1 x 3
1 x 2
x 1 3 2 2 a a
a
a
3 2
2
1
FILAS
−
⇒ Hay dossoluciones: x 1 =− 1 , x 2 = 1
−
1 2 3
4
3
2 3
1 3
FILAS
b) 1 2 1 0
a
a
a a
a a 4 ( 12 2 ) 410 40 1 3
(1) Desarrollamos por la 3a^ columna. (2) Sumamos la 3a^ fila a la 2a. (3) Desarrollamos por la 2a^ fila.
EJERCICIO 4 : Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cuánto vale el segundo determinante:
b) 2 1 2 1
1 t t
2 t 0
a) t^22
Solución: a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:
t 4 t 2 t 4 t t 2 t t (t 2 ) 0 1 t t
2 t 0
t 2 2 =^3 + − − =^3 − =^2 − = →
→ (^) t 2 0 t 2 t 2
t 0 2 2
Hay tres soluciones:t 1 = 0 ; t 2 =− 2 ; t 3 = 2
− ⋅
− 4 2 1
b) 2 1 2 1 1
4
3 21
2 1
1
FILAS
a
a a
a a
a
3 2 1
2 1
1
FILAS
a a
a a
a − − = − = + =
− (^ )^ Desarrollamos^ porla^4 columna.
1 a ( 2 ) Desarrollamos porla 2 acolumna.
EJERCICIO 5 : Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):
b) 2 1 0 3 0 0 1 1
1 1 a
a) a a^1
Solución: a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el
resultado: ( ) a 1 0 a 1
1 a
a 1 0 1 1
1 0 a
a 0 1
0 1 1
1 1 a
a a 1 (^12) 3
2 1
1
COLUMNAS
a
a a
a = = − = → = ± −
− ⇒^ Hay^ dossoluciones:a^1 =−^1 ;a^2 =^1
( ) 1 Desarrollamos porla 2 acolumna.
−
b) 2 1 0 3 1
4 1
3 1
2
1
FILAS
a a
a a
a
a
2 3
2
1 2
a
a
a a = − =− − = − − −
−
( ) ( ) ( 1 3 x) ( 1 x)^3 0 0 1 x
0 1 x 0
1 x 0 0 1 3 x
0 0 0 1 x
0 0 1 x 0
0 1 x 0 0
1 x x x 1 3 x
Filas
( 2 )
4 1
3 1
2 1
1
a a
a a
a a
a
= + − −
−
−
−
(1) Sacamos (1 3 x ) factor común de la 1a^ columna. (2) Desarrollamos por la 1a^ columna.
EJERCICIO 9 :Demuestra que: a) a (((( b a )) ())((( c b )))) (((( d c ))))
a b c d
a b c c
a b b b
a a a a
==== −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− ⋅⋅⋅⋅ −−−− b) (((( a b c ))))^3 2 c 2 c c a b
2 b b c a 2 b
a b c 2 a 2 a ==== ++++ ++++ −−−− −−−−
Solución:
a) ( )^ ( )^ ( )=
=^1 − − −^23
b a c a d a
b a c a c a
b a b a b a a
0 b a c a d a
0 b a c a c a
0 b a b a b a
a a a a
a b c d
a b c c
a b b b
a a a a
( ) (^) ( ) ( ) (^) ( ) ( ) (^) a( b-a)( c b)(d c) 0 0 d c
0 c b c b
1 b a b a a b a 1 c a d a
1 c a c a
1 b a b a (^3) a b a (^45) = − − −
( 1 ) Restamos la 1 afilaalasotrastres. ( ) 2 Desarrollamosporla 1 a^ columna. ( 3 ) Sacamos( b−a) factorcomún.
( 4 ) Restamos ala 3 afilala 2 ayala 2 ala 1 a. ( 5 ) Eseldeterminantedeunamatriztriangular.
b) ( )^ =
2 c 2 c c a b
2 b b c a 2 b
a b c a b c a b c
2 c 2 c c a b
2 b b c a 2 b
a b c 2 a 2 a 1 − −
( )( ) ( ) ( )= − − −
−
− 3 3 1
2 1
1 2
COLUMNAS
2 c 0 a b c
2 b a b c 0
a b c 2 c 2 c c a b
2 b b c a 2 b
a b c a a
a a
a
( )= (^3) ( a+b+c)( −a−b−c)( −a−b−c) =(a +b+c) 3
( 1 ) Sumamos ala 1 afilalasotrasdos. ( 2 ) Sacamos( a+ b+c) factorcomún. ( 3 ) Eseldeterminantedeunamatriztriangular.
EJERCICIO 10 : Calcula el valor de este determinante:
a a a x
a a x a
a x a a
x a a a
Solución:
( ) ( )=( + ) =
1 a a x
1 a x a
1 x a a
1 a a a x 3 a
x 3 a a a x
x 3 a a x a
x 3 a x a a
x 3 a a a a
a a a x
a a x a
a x a a
x a a a 1 2 ( ) ( x 3 a) ( x a)^3 0 0 0 x a
0 0 x a 0
0 x a 0 0
1 a a a
x 3 a a a
a a
a a
a
4 1
3 1
2 1
1
FILAS
( 1 ) Sumamos ala 1 acolumnalasotrastres. ( 2 ) Sacamos( x+ 3 a) factorcomún. ( 3 ) Eseldeterminantedeunamatriztriangular.
EJERCICIO 11 : Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:
1 0 1 a
0 1 a 1
1 a 1 0
a 1 0 1
Solución:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )=
− −
=^1
1 1 1 a 1
1 0 a 0
1 a 1 1 1
a 2
1 0 1 a
1 1 a 1
1 a 1 0
a 2
a 2 0 1 a
a 2 1 a 1
a 2 a 1 0
a 2 1 0 1
1 0 1 a
0 1 a 1
1 a 1 0
a 1 0 1
( )( ) ( )( ) =( + ) [( − ) − ] =( + ) ( − )= − −
= + a 2 a a 1 1 a 2 aa 2 a 1 a 1
a 2 aa^11 1 1 a 1
0 a 0
a 1 1 1 (^4) a 2 5 2 2 ( a + 2 ) a (^2) (a − 2 ) =a (^2) ( a+ 2 ) (a − 2 )
( 1 ) Sumamos ala 1 acolumnalasdemás. ( 2 ) Sacamos( a+ 2 ) factorcomún. ( 3 ) Restamos la 1 acolumnaala 2 ayala 4 a.
( 4 ) Desarrollamos porla 1 afila. ( 5 ) Desarrollamos porla 2 afila.
EJERCICIO 12 : Halla en función de a , el valor de este determinante:
0 1 1 a
1 1 a 0
1 a 1 1
a a 1 1
Solución:
( ) (^) ( ) = − −
1 1 a
1 a 0
a 1 1 a 1
0 1 1 a
1 1 a 0
a 1 0 0 0
a a 1 1
0 1 1 a
1 1 a 0
1 a 1 1
a a 1 1 1
4
3
2 1
1
FILAS
a
a
a a
a
( )( ) (a 1 )(a 1 a a) ( a 1 )(a 1 ) 1 1 a
1 a 0
a 1 1 (^2) a 1 = + (^3) − + − = + (^3) − − −
( ) 1 Desarrollamos porla 2 afila. ( 2 ) Sacamos− 1 factorcomún.
EJERCICIO 13 : Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
p q r
a b c
x y z 3 3 z 3 c 3 r
3 y 3 b 3 q
b) 3 x 3 a 3 p
p q r
2 a p 2 b q 2 c r
2 x 2 y 2 z
p q r
a b c
a) x y z ==== ++++ ++++ ++++ ====
Solución:
p q r
a b c
x y z
p q r
a b c
x y z
2
p q r
c 2
b 2
a
2 x 2 y 2 z
p q r
r 2
q c 2
p b 2
a
a)^2 x^2 y^2 z
a
a a
a
3
2 3
1
FILAS
- = − = ⋅ = Por tanto, es verdadera la igualdad.
b) Falsa, ya que: p q r
a b c
x y z 3 p q r
a b c
x y z 3 z c r
y b q
x a p 3 3 z 3 c 3 r
3 y 3 b 3 q
3 x 3 a 3 p =^3 =^3 ≠
EJERCICIO 14 :
a) Justifica cuáles de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:
c d
a b c d
; a b c d
a b c d
; a b c d
a b c d
a b (^2) ====αααα 2 αααα αααα
====αααα αααα αααα αααα
====αααα αααα αααα
αααα
3 ,calculaelvalordelossiguientesdeterminantes : c d
b) Si a b ==== 2 c 2 d d
;^2 a^2 b b b d
a c ++++
Solución:
( ) VERDADERA c d
ad bc ad bc a b c d
a) a b =α −α =α − =α → α
α
c z 3 r z
b y 3 q y
b) a x 3 p x
x y z
2 p 2 q 2 r
a) x a y b z c
++++
Solución: a) Restandoala 1 a^ filala 3 aysacamos ( − 2 ) factorcomún:
=−^ ( )=
x y z
p q r
a b c 2 x y z
2 p 2 q 2 r
a b c
x y z
2 p 2 q 2 r
x a y b z c ( ) ( ) 24 8 p q r
x y z
a b c − 2 ⋅− 1 = ⋅ =
( * ) Al permutarla 2 ay 3 afilasdeorden,eldeterminantecambiadesigno. b) Restamosala 3 acolumnala 2 a,ysacamos 3 factorcomún :
( ) (^3412) p q r
x y z
a b c 3 c z r
b y q
a x p 3 c z 3 r
b y 3 q
a x 3 p
c z 3 r z
b y 3 q y
a x 3 p x
= =^ *=^ = ⋅ =
(* ) Tenemosencuentaqueeldeterminantedeunamatrizcoincideconelde su traspuesta.
EJERCICIO 18 : Calcula el rango de las matrices:
a)
A b)
M c)
M
d)
A e)
M
Solución:
a) 1 0 1 0
Tomamos unmenordeorden 2 nonulo: = ≠
Por tanto, ran ( A ) ≥ 2. Las dos primeras líneas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
14 0 Lastresfilassonlinealmementeindependie ntes. 3 2 1
Luego, ran ( A ) = 3.
b)
M
Tomamos un menor no nulo de orden 2: 4 0 ran( ) 2 3 2
= ≠ → M ≥ Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos sila 3 afiladependelinealmentedelasdosprimeras :
(^150) linealmentLastresprimerase independiefilassonntes ran (M ) 3 1 3
Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:
M 1 =^2 − − − =− ≠
( 1 ) Restamos ala 4 acolumna,la 2 amultiplicada por3. ( 2 ) Desarrollamos porla 3 afila.
Por tanto, ran ( M ) = 4
c)
Observamos quela 4 acolumnacoincideconla 1 ayquela 5 aesigualquela 3 a. Por tanto, podemos prescindir de las dos últimas columnas para calcular el rango de M. Así, ran ( M ) ≤ 3.
3 0 1 2
Tomamos unmenordeorden 2 nonulo:^21 = ≠ −
Luego, ran ( M ) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos sila 3 a^ filadependelinealmentedelasdosprimeras : 14 0 ran( M) 3 0 1 3
d) 7 0 1 2
Tomamos unmenordeorden 2 nonulo:^23 =− ≠ − Luego, ran ( A ) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
0 (pues, sirestamosla 1 a^ columnamenosla 2 a,obtenemosla 3 a) 1 12 11
0 .Así,la 3 filaescombinaciónlinealdelasdos primeras. 1 12 7
− =^ a
Comprobamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras:
0 .Tambiénlacuartafiladependedelasdos primeras. 0 7 3
Por tanto, ran ( A ) = 2.
e) 5 0 1 1
Tomamos unmenordeorden 2 nonulo:^23 = ≠ − Luego, ran ( M ) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
(^170) linealmentLastresprimerase independiefilassonntes ran ( M) 3 0 3 4
Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:
M
a a
a a
a a
a
4 21
3 1
2 1
1
COLUMNAS
− = −^ =
Por tanto, ran ( M ) = 3.
Buscamos los valores de λ que hacen cero el determinante formado por las columnas 2a, 3a^ y 4a:
=−[ −λ ( λ+ )] =− [ −λ −λ]=
λ
=− λ+ λ
λ+ 22 1 22 2 2
[ ]
λ= −
= ⋅λ +λ− = → λ=− ± + =− ± λ= 2
• Si λ≠ 1 y λ≠− 2 → ran ( A ) = 3
- Si λ= 1 → La 3 acolumnadependelinealmentedela 2 ay 4 a.Veamosquéocurreconla 1 acolumna :
1 0 ran ( A) 3
- Si λ=− 2 → La 3 acolumnadependelinealmentedela 2 ay 4 a.Veamosquéocurreconla 1 acolumna :
8 0 ran (A ) 3
Por tanto, ran ( A ) = 3 para cualquier valor de λ. d)
Observamos quela 3 acolumnaesproporcionalala 1 a ( essu triple); por tanto,podemosprescindirdeellaparacalcularelrango.
Tomamos unmenordeorden 2 distintodecero:^11 = ≠ Luego, ran ( M ) ≥ 2.
Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 2a^ y 4a^ sea cero:
2 t 8 3 t 4 t 2 ( 8 3 t) 4 0 paracualquiervalordet.
1 8 3 t 2
1 t 2
Por tanto,la 3 a^ filadependelinelmentedelasdosprimerasparacualquiervalorde t .Así, ran ( M ) = 2. e) Podemos prescindirdela 3 acolumna,puesnoinfluyeenelrango.
4 1 1 0
Tomemos unmenordeorden 2 distintodecero: = ≠ Luego, ran ( A ) ≥ 2.
Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:
a 3
a 1 2
a 4 a 3 0 a^41612 4 1 a
0 a 3
2
• Si a≠− 1 ya≠− 3 → ran ( A) = 3
- Si a=− 1 oa=− 3 → La 2 a^ filadependelinealmentedelasotrasdos → ran ( A ) = 2
EJERCICIO 20 : ,compruebaque A 2 A I,siendoIlamatriz 4 4 1
Dada lamatriz A^2 ==== −−−−
==== identidad. Usando la
fórmula anterior, calcula A^4.
Solución: Comprobamos que A^2 = 2A - I
Son iguales.
2 A I
A 2
Utilizando que A^2 = 2A - I, calculamos A^4 : A^4 = ( A^2 )^2 = ( 2A – I)^2 = 4A^2 – 4A + I = 4(2A – I) – 4A + I = 4A – 3I
Por tanto: =
A 4 4 A 3 I 4
EJERCICIO 21 :
a) Calcula el rango de la siguiente matriz:
A
b) ¿Cuántas filas hay en la matriz A que sean linealmente independientes? Razona tu respuesta.
Solución:
2 1 5 0
a) Tomamosunmenordeorden 2 nonulo: = ≠
Luego ran ( A ) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras: 5 0
0 1 1
Por tanto, ran ( A ) = 3. b) Como ran ( A ) = 3, las tres filas de A son linealmente independientes.
EJERCICIO 22 : Halla el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente independientes:
m
Solución:
3 0 1 2
Tomamos unmenordeorden 2 nonulo:^21 =− ≠ −
Luego ran ( M ) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras: 0
0 3 0
−^ =
La tercera fila depende linealmente de las dos primeras. Por tanto, ran ( M ) 2. Así, el número de columnas de M linealmente independientes es 2.
EJERCICIO 23 :
a) Averigua el rango de la matriz:
M
b) ¿Cuál es el número de columnas linealmente independientes en la matriz M****? Justifica tu respuesta.
Solución:
EJERCICIO 26 : Calcula el valor de los siguientes determinantes:
a)
0 1 1 2
b)
1 0 4 3
c)
2 2 0 1
d)
0 1 2 1
e)
0 1 1 2
Solución:
a) ( ) 6
1
4
3 1
2
1 2 2
FILAS
a
a a
a
a a
= − − −
− ⋅
( 1 ) Desarrollamos porla 1 acolumna.
b) ( ) 4
1
4
3 4
2
1 2 4
FILAS
a
a a
a
a a
= − − −
−
( 1 ) Desarrollamos porla 1 acolumna
c) ( )^6
1
4 21
3 1
2
1
FILAS
a a
a a
a
a
− =
( 1 ) Desarrollamos porla 2 acolumna.
d) (^) ( ) (^1) ( 30 ) 30
1 2 1
1
4
3 2
2
1 2 2
FILAS
a
a a
a
a a
− − =− ⋅− =
−
− ⋅
( 1 ) Desarrollamos porla 1 acolumna
e)
− −^ =
−
4
3 1
2 21
1
a
a a
a a
a
( ) 1 ( 15 ) 15 1 1 2
1 − − =− ⋅− =
= − ⋅ ( 1 ) Desarrollamos porla 1 acolumna.
EJERCICIO 27 : Halla, en función del parámetro, el valor de estos determinantes:
a) 2
2
2
1 0 a
1 2 a 2 2 a 1
1 a 1 a −−−− −− −−
b)
x
x
x
Solución:
a) ( )
− − =( − ) − =
2
2 2
2
2
2
2
2
1 0 a
1 2 2 a 1
1 1 a a 1 1 0 a
1 2 a 1 2 a 1
1 a 1 a
1 0 a
1 2 a 2 2 a 1
1 a 1 a 1
( )
( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 (^22) 2
(^2) a 1 a 1 a 1 1 a a
a 1 1 a^1 0 1 a a
0 1 a 1
1 1 a a 1
2
3 1
2 1
1
FILAS
a a
a a
a = − − = − − −
−
−
( ) 1 Sacamos (a 2 − 1 )^ factorcomúndela 2 acolumna. ( 2 ) Desarrollamos porla 1 acolumna.
b)
( )
( )
0 0 x 1
1 x 1
x 1 1 1 x
1 x 1
x 1 0 0 0 x 1
1 1 x 1
1 x 1 1
1 1 1 x
1 1 x 1
1 x 1 1
( )( ) 2 ( x 1 ) 2 (x 1 ) ( x 1 ) 3 1 x
=^2 x+ (^1) − = + + = +
(1) Sumamos a al última fila la primera. (2) Desarrollamos por la última fila
EJERCICIO 28 : Resuelve la siguiente ecuación (operando en el determinante antes de desarrollarlo):
x x x 1
x x 1 x
x 1 x x
1 x x x
−−−−
Solución: Sumamos ala 1 a columnalasotrastres:
( ) = −
1 x x 1
1 x 1 x
1 1 x x
1 x x x
3 x 1 3 x 1 x x 1
3 x 1 x 1 x
3 x 1 1 x x
3 x 1 x x x
x x x 1
x x 1 x
x 1 x x
1 x x x 1
( ) ( )( 3 x 1 )( 1 x) 0
0 0 0 1 x
0 0 1 x 0
0 1 x 0 0
1 x x x 3 x 1 2 3
4 1
3 1
2 1
1
FILAS
a a
a a
a a
a
= − − − =
− −
−
−
−
( 1 ) Sacamos ( 3 x− 1 ) factorcomúndela 1 acolumna. (2) Es el determinante de una matriz triangular.
( )( ) ( )
1 x 0 1 x 0 x 1
3 x 1 0 3 x 1 x^1 3 x 1 1 x 0 3
3
La ecuación tiene dos soluciones: x 1 = 31 ; x 2 =− 1
EJERCICIO 29 : Desarrolla el siguiente determinante:
1 1 1 x 2
1 1 x 2 1
1 x 2 1 1
x 2 1 1 1
Solución: Sumamos a la primera columna las otras tres: ( )=
1
x 5 1 1 x 2
x 5 1 x 2 1
x 5 x 2 1 1
x 5 1 1 1
1 1 1 x 2
1 1 x 2 1
1 x 2 1 1
x 2 1 1 1
( ) ( )
( x 5 )( x 1 )^3
0 0 0 x 1
0 0 x 1 0
0 x 1 0 0
x 5
1 1 1 x 2
1 1 x 2 1
1 x 2 1 1
x 5
2
4 1
3 1
2 1
1 1
FILAS
a a
a a
a a
a
= + +
−
−
−
EJERCICIO 33 :
a) Justifica, sin desarrollar el determinante, que 3 35 4
es múltiplo de 7.
b) Prueba, sin desarrollarlos, que el valor de los siguientes determinantes es cero:
2 z 3 z/ 2
2 y 2 y/ 2
2 x 1 x/ 2 ; x y z t
x 2 y 1 z 3 t 2
Solución:
a) Sumamosala 1 acolumnalasotrasdos : 6 35 4
Por tanto, el determinante es múltiplo de 7. b) Primer determinante → La 2a^ es combinación lineal de la 4a^ y la 1a^ (es igual a la 4a^ menos la 1a). Por tanto, el determinante es cero. Segundo determinante → La 1a^ y la 3a^ columna son proporcionales (la 1a^ es 4 veces la 3a). Por tanto, el determinante es cero.
EJERCICIO 34 : Indica, razonando tu respuesta, si son ciertas o no las siguientes igualdades:
p q
2 y 2 z p q
x y p q
a) x 2 y y 2 z ==== ++++
2 c 2 r 2 z
2 b 2 q 2 y
2 a 2 p 2 x 8 x y z
p q r
b) a b c
Solución:
- =q ( x+ 2 y) −p( y+ 2 z) =qx+ 2 qy−py− 2 pz= p q
a) x 2 y y 2 z ( ) ( ) p q
2 y 2 z p q
= qx −py+ 2 qy− 2 pz = x y +
Por tanto, la igualdad es verdadera. b) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. Además, si multiplicamos una fila (o una columna) por un número,
el determinante queda multiplicado por ese número. Por tanto: x y z
p q r
a b c 64 c r z
b q y
a p x 8 8 2 c 2 r 2 z
2 b 2 q 2 y
2 a 2 p 2 x 8 = ⋅ =
Por tanto, la igualdad es falsa.
EJERCICIO 35 : Sabiendo que A y B son dos matrices de orden 2 tales que |A| = - 2 y |B| = 4, calcula, justificando la
respuesta: AB t^ ; At; B −−−−^1 ; A −−−−^1 B; 3 A
Solución: Tendremos en cuenta que:
1 ) AB= A⋅ B 2 ) At^ =A
A
3 ) A⋅ A−^1 =I → A⋅A−^1 =A⋅A−^1 = 1 → A−^1 =^1 (si A ≠ 0 ;esdecir,siexisteA−^1 ).
21 22
11 12 21 22
11 12 3 a 3 a
,entonces 3 A^3 a^3 a a a
4 ) SiA a a
Por tanto:
AB t^ = ABt=AB=− 2 ⋅ 4 =− 8 At^ = A=− 2 41 B
B −^1 =^1 =
B^1242
A
A 1 B^ A^1 B^1 ⋅ =−
− − 3 A = 32 A= 9 A= 9 ⋅( − 2 ) =− 18
