Mecánica Estadística: Distribución de Velocidades y Energías Moleculares, Apuntes de Termodinámica

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MECÁNICA ESTADÍSTICA

• Estudio de la distribución de velocidades y de las energías

moleculares y su uso para calcular las propiedades

MACROSCOPICAS de conjuntos de moléculas.

HISTOGRAMA

• (^) Un histograma de frecuencia consiste en una serie de rectángulos que tienen como base los intervalos de clase (o grupos de velocidad) sobre un eje horizontal, con su centro en las marcas de clase (Puntos medios o velocidades medias del grupo) y como alturas los respectivos porcientos de las observaciones totales (o las frecuencias observadas relativas). intervalos de clase Numero de observaciones por intervalos

DISTRIBUCION ESTADISTICA

• (^) Proporciona la información esencial con respecto al comportamiento estadístico. Ejemplo del libro: Calculo de velocidad de autopista:
• (^) La fracción que supera los 45mph es el total de la suma de alturas de las ultimas 4 intervalos (194), dividida por el total de estudios (1205), nos da 0, es decir 16%.
• (^) El promedio o velocidad media es 32,4mph, pero la velocidad mas probable esta en el intervalo mas grande (35-40mph).

VALOR MEDIO

Puede determinarse a partir de la distribución estadística:

• (^) Donde: N = total de observaciones en cada casilla. Vi = valor representativo de cada intervalo. (Valor central) n (vi) = numero de observaciones para ese intervalo. I = cantidad de intervalos.

DATO CURIOSO

• (^) El conocimiento de la distribución estadística puede ayudar a formular una teoría en los casos en que no se conozca la teoría subyacente.
• (^) Por ejemplo, datos precisos sobre la distribución de la longitud de onda de la radiación térmica (como la emitida de los objetos incandescentes) condujeron al desarrollo de la teoría cuántica en los primeros años del siglo xx por Planck y Einstein.

RECORRIDO LIBRE MEDIO

El recorrido libre medio representa una distancia en la que se mueve una molécula (a velocidad constante) entre colisiones.

• (^) Algunas moléculas pueden chocar después de recorrer distancias muy mucho mas pequeñas, mientras que algunas otras pueden recorrer distancias muchas mas grandes entre colisiones.
• (^) Dependerá inversamente del tamaño de las moléculas y el numero de moléculas por unidad de volumen

HISTOGRAMA Y SU FUNCIÓN CONTINUA

Podemos determinar una función f(r) que dé la probabilidad de que una molécula recorra una distancia r antes de una colisión.

• (^) Para ello debemos de imaginar un haz de moléculas de intensidad I 0 incide en una capa delgada de gas, y midamos la intensidad I a la cual emerge las moléculas después de pasar a través de un espesor r de gas.

• (^) Suponemos que a medida que aumentamos el espesor de la barrera (dr), existirá un cambio de disminución en dI de la intensidad saliente.
• (^) El valor c es una constante de proporcionalidad.
• (^) Reacomodando la ecuación nos permite calcular sus integrales. Conclusión:
• (^) La intensidad del haz disminuye exponencialmente con el espesor r de la capa de gas.

• (^) Imaginemos que tenemos una molécula típica de diámetro 2d que se mueve a velocidad v a través de un gas de partículas puntuales equivalentes, y supongamos temporalmente que la molécula y las partículas puntuales no ejercen fuerzas entre si.
• (^) Nuestra partícula en un tiempo t barre un cilindro de área de sección transversal π. d^2 y longitud v. t

La formula calculada se basa en una molécula que golpea blanco estacionarios; sin embargo sabemos que no es así.

• (^) Cuando la molécula golpea blancos móviles, se tiene en cuenta las dos velocidades que aparecen en la ecuación determinada.
• (^) La velocidad del numerador, es la velocidad media con respecto al recipiente. La del denominador es la velocidad relativa media respecto a otras moléculas; es esta velocidad relativa la que determina la cantidad de colisiones.

DISTRIBUCIÓN DE LAS VELOCIDADES

MOLECULARES

• (^) Supongamos que tenemos una pequeña muestra de moléculas de un gas que podríamos meter en una caja para determinar el numero de moléculas que la atraviesan con velocidades entre v y v +dv.
• (^) Luego distribuimos las velocidades medidas en intervalos de anchura dv y trazamos la distribución estadística resultante.
• (^) La distribución tiene una media claramente definida y cae en cero tanto a baja Velocidad como a alta velocidad.
• (^) Si sumáramos mas moléculas a la caja el efecto de la colisión y el azar nos indicaría una grafica similar.

Maxwell el pionero Maxwell fue le primero en resolver el problema de distribución de las velocidades en un gas que contiene numero grande de moléculas. La distribución de Maxwell de velocidad, para una muestra de gas a temperatura T que contenga N moléculas cada una de masa m es : Donde: n(v) = numero de moléculas por intervalo de velocidad unidad que tiene velocidad entre v y v+dv n(v)dv = numero sin dimensión de moléculas de la muestra de gas con velocidades entre v y v+dv Obsérvese : Para un gas dado la distribución de la velocidad depende únicamente de la

• Velocidad mas probable^ (vp):^ la curva de distribución no es simétrica con respecto a la velocidad mas probable por que la velocidad mas baja debe ser cero, mientras que no existe un limite clásico para la velocidad mas alta que una molecula pueda tener.
• (^) Velocidad media (v) : la velocidad media es mas grande que la velocidad probable.
• Velocidad cuadrática (vrms.) : la velocidad media cuadrática que involucra a la media de los cuadrados es aun mas grande.

¿Que sucede macroscópicamente?

• (^) Al aumentar la temperatura, aumentan las velocidades conforme a nuestra interpretación macroscópica de la temperatura.
• (^) Puesto que el área bajo la curva de distribución (que es el numero total de moléculas) no se altera, la distribución debe aplanarse cuando la temperatura aumenta. DATOS CURIOSOS:
• (^) Esto explica el aumento de reacciones químicas o ciertas reacciones nucleares al aumentar T.
• (^) Cuanto mas pequeña sea la masa, mayor será la proporción de moleculas de alta velocidad a cualquier temperatura.
• (^) De aquí que el hidrogeno pueda escapar con mas probabilidad de la atmosfera a grandes altitudes que el