Metodo gauss y montante, Diapositivas de Álgebra Lineal

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Métodos de eliminación

Gaussiano y montante

OPERACIONES ELEMENTALES

SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

• 2 - 4 6 - 2

Forma escalonada

Esta matriz ira transformándose paulatinamente a una matriz que posee

ciertas propiedades. Lo que haremos primeramente es definir estas. Una

matriz se dice matriz escalonada si cumple:

1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la parte

inferior de la matriz.

2. El elemento delantero de cada renglón no cero (después del

primer renglón) se encuentra a la derecha del elemento delantero del

renglón anterior. Y se llama matriz escalonada reducida si es escalonada

y además cumple:

3. El elemento delantero de cualquier renglón no cero es 1.

4. Todos los elementos arriba y abajo de un 1 delantero son cero.

ALGORITMO DE ELIMINACION GAUSSIANA

1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero.

2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un

renglón que no tenga cero.

3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos

adecuados a los renglones debajo de el.

4. Cubra el renglón y la columna de trabajo y repita el proceso

comenzando en el paso 1. Al termino del ciclo entre el paso 1 al 4 (es

decir cuando se han barrido todos los renglones), la matriz deberá tener

forma de escalón.

5. Comenzando con el ultimo renglón no cero avance hacia arriba para

que en cada renglón tenga un 1 delantero y arriba de el queden solo

ceros. Para ello deberá sumar múltiplos adecuados del renglón a los

renglones correspondientes.

EJEMPLO DE ELIMINACION GAUSSIANA SOLUCION el siguiente paso es hacer 1 cada pivote y posteriormente hacer cero arriba de cada uno de ellos. Hagamos 1 el elemento (3; 3): El elemento (1; 1) será usado como pivote para hacer ceros debajo de el; para ello debemos sumar múltiplos adecuados del renglón pivote a los renglones inferiores En vista que elemento (2; 2) es cero debemos buscar en la parte inferior de la columna 2 un elemento diferente de cero y realizar un intercambio de renglones:

0 0 2 2 f3 * 0 1 - 2 1 f ============ 0 1 0 3 f2  f2+f3* 0 0 9 9 f3 * 3 6 - 9 3 f ============ 3 6 0 12 f1 f1+f3* X1+ 2X2-3X3 = X2-2X3 = X3= 1 X2-2 (1) = X2=1+2 =3 X2= X1+2X2 - 3X3 = X1 +2(3) - 3(1) = 1 X1 +6 - 3= 1 X1= 1-3 = - 2 sol(-2,3,1) 0 0 2 2 f3 * 0 1 - 2 1 f ============ 0 1 0 3 f2  f2+f3* 0 - 6 0 - 18 f2 - 6 3 6 0 12 f ============ 3 0 0 - 6 f1 f1+f3 3 0 0 - 6 f1/a 0 1 0 3 0 0 1 1

x

- 3x

+ 3x

+ 2x

- 3x

+4x

+ 9x

+ 5x

- x

- 3x

+ 4x

5x

- 2x

+ 3x

- 5x

**_- 3 0 9 5x 4 = 10

• x 2 - 3x 3 + 4x 4 = 17 5x 1 - 2x 2 + 3x 3 - 5x 4 = - 12_**

a 11 a 12 a 13 a 14 b

a 21 a 22 a 23 a 24 b

Pivote = a11 = 1

• (a 11 * a 21 )/ a 11 --(1*-3)/1= 3

F1  - a 21 / a 11

3 - 9 9 6 6 f1f1*

• 3 4 9 5 10 f

____________