Métodos Numéricos: El Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden, Apuntes de Métodos Numéricos

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE MEXICALI

Métodos numéricos Kennya Martínez Valle Mecatrónica Quiñones Mejía Andrés Israel 18490413 Proyecto Unidad IV A jueves, 4 de junio de 2020

INDICE

1. Introducción
2. Investigación
3. Manual
4. Conclusión

Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran una exactitud del procedimiento de una serie de Taylor, sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Probablemente uno de los procedimientos más difundidos, y a la vez más exactos, para obtener la solución numérica del problema de valor inicial: y´ = f (x, y), con y(x0) = y0, sea el método de Runge- Kutta de cuarto orden. Los métodos de Runge Kutta de cualquier orden se deducen mediante el desarrollo de la serie de Taylor de la función f(x,y). Existen muchas variaciones, las cuales tienen la forma: Notamos que los k son relaciones recursivas, es decir, para determinar k2, necesitamos k1; para determinar k3 se necesita k2, etc. El método Runge-Kutta de orden 4 es la forma de los métodos de Runge-Kutta de uso más común y así mismo más exactos para obtener soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales. La solución que ofrece este método, es una tabla de la función solución, con valores de “y” correspondientes a valores específicos de “x”.

Es por esto que uno de los requisitos para este método es especificar el intervalo de x. También se requiere de:

• Una ecuación diferencial de primer orden. y’= f(x,y) La condición inicial, es decir, el valor de y en un punto conocido x0. y(x0) = y0. Por la ecuación integral equivalente: y0ydy= x0xf(x, y(x)) dx→ y= y0+ x0xf(x,y(x))dx para proceder a aproximar esta última integral mediante un método numérico adecuado (recordemos que y(x) es desconocida). Si nuevamente planteamos el problema “paso a paso” tendremos: yn+1=yn+ xnxn+1f (x, y(x)) dx

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta usado

ampliamente es el de cuarto orden. Teniendo en cuenta la definición

anterior, el método RK4 para este problema está dado por la siguiente

ecuación.

yn+1= yn + 16(k1+2k2+2k3+ k4)

Donde

k1=f (xn, yn)

k2=f (xn+ 12h, yn+ 12k1h)

k3= f (xn+12h, yn+ 12k2h)

k4=f (xn + h, yn+ k3h)

Así, el siguiente valor yn+1 es determinado por el presente valor yn más

el producto del tamaño del intervalo h por una pendiente estimada. La

pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde k1 es la

pendiente al principio del intervalo, k2 es la pendiente en el punto medio

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.” Albert Einstein.