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UNSA UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DIFERENCIACION NUMERICA QUNSA La derivada de una función fen xo, esta definido de la siguiente manera: fx, +h)- f(x,) h f'(x,)= lim Para valores pequeños de h, podemos aproximar la derivada de f en xp de la siguiente manera: Fx, +h)- f(x,) TS , f'(x,)= hx=0 “UNS IDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN Pendiente f(x) Pendiente aproximada DS Pendiente aproximada endiente f(x) Diferencia Finita Progresiva Diferencia Finita Regresiva Pendiente fix) Pendiente aproximada Diferencia Finita Centrada + Xo Xo+h UNSA [Segunda Derivada Y] RR Formula de f(x,)= f(x.) -2$(x, +h) + f(x, +2h) diferencias h” fimitas | pay y 21080) 5Í 30 +1) +4S(x) +20) — S(x, +3h) . 2 progresivas h Formula de f(x) = (X= MH-2f (x,)+ f(x, +A) diferencias h* finitas mr y 8% —2M)+1 6, —h) 30/04, 341 6f(x, +1) (2, 42h) PR) AAA A 2H A AKÁ centradas 12% Oh Formula de fx) f(x, -2h)- 24% -h)+ f(x,) diferencias h finitas f(x) = LC +4 (9% 21) SS a, +20) . 2 regresivas h Tercera Derivada regresivas 2 Formula de fx) > = f(x )+3/f(x, +%)- ASS + 2h)+ f(x, +3h) Oh diferencias h fi P. _ e. initas | fx)= SOJA, +24 Vx, A +31) -3/(x, +4) Or? progresivas Formula de f(x) = = f(x, -2h)+2/(x, —h) 246% +h)+ f(x, +2h) Om diferencias 8h finitas FU) NASA YA) A FO +1)+8/0, +2), +39) On centradas 5] Formula de PU) 7 FU, 3043 (x, — 21) -3 f(x, -h)+f (x,) Oh diferencias h finitas f(x) — 287 4h) -1 YO 3) +24 (x, -2h)-1 AT —h)+5f (4) Oh? a UNIVERS! D NAC: DE SAN AGUSTÍN IDAD NACIONAL Aproximar la primera derivada de la función f(x) = e” con todas las formulas que se encuentran en las tablas para un xy = 1.1 con un tamaño de paso h = 0.1. Use el hecho que f'(1.1) = 18.050 para determinar el error absoluto y relativo producido por cada ] formula. ] . Xo= 1,1 Formulo D. t e (Dos pu Solucion (oq | Po9 fm -100) 2% (x)= € (10:72 MH Ñ (11) =/99%16 oca dd Plus HU mo” pol Tres Puntos | AA El10> 300-168) = 197694 pa AS == > tmtas Tres Puntos TZ sm 2 050 . 050 -17 19 | progresivas '(x,) = 2400 +4/(% +h) — f(x, +24) y Ea= |S, Ñ Y ? 2h En- 1,9 16 e En - 0,280 Y/ En: LUENO% Ep. 02804100 IX ¡00 =10,2% 1X,0SO A En - HSS Y Poma de Py FG += FM o ( | diferencias 2h A finitas fx 2-8 (x,—M)+8/(x, + f(x, +2M) | |, 9) PIE [€ ¡acc [Formula de fr). f(x), — h) | | diferencias Ñ he h A peri y 7 y = L (6027440 +00) —-2h)- e -h)+3f(x,) regresivas CEN TLADAS ODE 0,005 % Y O ECLESI0N 2) 9,377. O 1% / Ahora usando las diferencias finitas regresivas, se requieren los siguientes valores fco- 2h): f(0.9) = 6.050 Híxo-h) : f(1.0) = 7.389 fix) : fMU.1)=9.025 Ea = |18.050-16.360/| = 1.69 025-7389 Ex = 1.69 / 18.050 x 100% fa) 2D 3 - 16360 Kk XxX o 0.1 9.363% 7 Ea = |18.050-17.845| = 0.205 st 6.050 — 4(7.389) + 39.025) _ ¡> 845 Ep = 0.002 / 18050 x 100% 20.1 E 11360% e”) fUx,)= Iva, también el bsolut lati tl regresiva, tambicn €l Error abSOMULO Y FEIAUVO EN Calla CASO I. Si f(x) = e?, calcular la derivada en zy = U con h = 1 | T Evaluar la derivada de f (x)=cos(x) en x = 7 tomando h =0.01 3x—1| y. —18+501+181* — 181* En X=1; h=0.1 fr) = > 7 >f o +3 (q? +3) x a* +12 fm) == > f (1) = ———G =9. h= =n— ar 2; 102 43 f(x) = ln M-a* => f (a) = A X=0. h=0.2 312 INTEGRACIÓN NUMÉRICA: SIMPSON UNSA UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUST Método de Simpson: proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado. y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas. bajo la curva f(X) en la fig. 2. se aproxima mediante el área sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos: » | roa= [fx + 4f (x, - 2 (x, ) +4 f(x, )+ 2 lx4)+--- + 2 (2 +4 Fx. + Ax, )] Gí. Yi) Oíi-1. Yi+-1) QXi-2. Yi+2) Y = MX) GUNSA Práctica: Integración Numérica = A 1. Aplique la regla compuesta del trapecio con los valores indicados de » para aproximar las siguientes integrales. a) [ xlnxdx. n=4 b) IN e 'sin3xdx. n=8 2 "dx, n=4 d . n=8 c) Pa edi n ) [2 2 a e n=6 D | dx, n=8 ) [= x ÓN b 7 » lr /8 g) Ñ x“cosxdx, n=6 h) M tanxdx, n=8 | 2. Aplique la regla compuesta de Simpson para aproximar las integrales del ejercicio j . z 2 2 E 3. Aproxime [e e”* dx por medio de h=0.25 Ñ a) Aplique la regla compuesta de Simpson. b) Aplique la regla compuesta del Trapecio. 4. Suponga que f(0.25)=(0.75)=«. Obtenga « si la regla compuesta del trapecio loo, con 7 = 2 da el valor 2 para Í, F(x)jdx y con n=4 da el valor de 1.75.