Microeconomia libro para aprender desde lo más básico, Ejercicios de Economía

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Daniel Herrera Aráuz

MATEMÁTICA

FINANCIERA

Contiene:

 Teoría.

 251 Problemas Resueltos.

 247 Problemas Propuestos.

 29 Programas de cálculo en Excel.

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Dirección Nacional de Derecho de Autor

y Derechos Conexos

Certificado N" QUI-

Trámite N'

La Dirección Nacional de Derecho de Autor y Derechos Conexos, en atención a^ la^ solicitud presentada^ el 28 de mayo delaño 2015, EXPIDE elcertificado de^ registro:

AUTOR(es):

TITULAR(es):

CLASE DE OBRA:

TíTULo DE^ LA(s)^ oBRA(s):

HERRERAARAUZ, DANIEL EUGENIO

HERRERAARAUZ, DANIEL EUGENIO

LITERARIA (lnédita)

MATEMÁTICA FI NANCI ERA.

Quito, a 29 de mayo del año 2015

Delegada del Director Nacional de Derecho^ de^ Autor^ y^ Derechos Conexos,

med iante Resol^ ución^ N'^ 0A2-201 2-DN^ DAyDC-l^ EP^ I

Et presente^ ceftificado^ no^ prejuzga^ sobre^ la^ originalidad^ de.lo^ presentado^ para el registro,^ o^ su carácter

literario, attístico o^ científico,^ ni^ acerca de^ ta^ áutoría o^ titutaridad^ de^ /os^ derechos^ por^ parie^ de quien

solicita ta inscripción. solametnte^ da fe^ det^ hecho^ de su declaración^ y^ de^ la identidad^ del^ solicitante.

¿a

etñ.

AGRADECIMIENTOS

 Para Armando Mora Zambrano y Víctor Hugo Pro Zambrano,

catedráticos de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad

Central del Ecuador, por la revisión del texto y por sus recomendaciones,

siempre tan objetivas y oportunas.

 A Francisco Garzón Salazar, Decano de la Facultad de Ciencias

Administrativas de la Universidad Central del Ecuador, por la confianza

y apoyo brindados para el logro de este trabajo académico.

Dedicado a:

Mi madre, a mis hermanos, a mis sobrinos y a

Nilma Rúa; familia comprometida con La Verdad,

El Conocimiento, La Academia y El Arte.

A Genoveva, María Lorena y Esteban Daniel,

eternos y brillantes colaboradores; apoyo

fundamental en todos mis proyectos.

• UNIDAD 1.- DEFINICIONES BÁSICAS
  • 1.1. DEFINICIÓN DE MATEMÁTICA FINANCIERA
  • 1.2. EL DINERO................................................................................................................................
  • 1.3. USOS DEL DINERO
  • 1.4. INVERSIÓN
  • 1.5. EL TRIANGULO FINANCIERO
  • 1.6. EL CRÉDITO
  • 1.7. EL INTERÉS
  • 1.8. ELEMENTOS FINANCIEROS
  • 1.9. EL DINERO Y EL TIEMPO
• UNIDAD 2.- EL INTERÉS SIMPLE
  • 2.1. INTRODUCCIÓN
  • 2.2. ELEMENTOS FINANCIEROS Y CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE
  • 2.3. MONTO DE UNA TRANSACCIÓN A INTERÉS SIMPLE
  • 2.4. VALOR ACTUAL DE UNA TRANSACCIÓN A INTERÉS SIMPLE....................................................
  • 2.5. CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS
  • 2.6. CALCULO DEL TIEMPO
  • 2.7. ECUACIONES DE VALOR...........................................................................................................
  • 2.8. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
  • 2.9. PROBLEMAS RESUELTOS.
  • 2.10. PROBLEMAS PROPUESTOS
• UNIDAD 3.- DESCUENTO SIMPLE Y AMORTIZACIÓN SIMPLE
  • 3.1. DESCUENTO RACIONAL
  • 3.2. DESCUENTO BANCARIO O DESCUENTO SIMPLE
  • 3.3. VALOR DESCONTADO
  • 3.4. APLICACIÓN DEL DESCUENTO BANCARIO EN DOCUMENTOS FINANCIEROS
  • 3.5. RELACIÓN ENTRE LA TASA DE DESCUENTO Y LA TASA DE INTERÉS SIMPLE
  • 3.6. AMORTIZACIÓN SIMPLE
  • 3.6.1. AMORTIZACIÓN CON PAGOS IGUALES..................................................................................
  • 3.6.2. MÉTODO DE SALDOS DEUDORES
  • 3.6.3. TABLA DE AMORTIZACIÓN
  • 3.7. PROBLEMAS RESUELTOS
  • 3.8. PROBLEMAS PROPUESTOS
• UNIDAD 4.- INTERÉS COMPUESTO
  • 4.1. INTRODUCCIÓN
  • 4.2. ELEMENTOS FINANCIEROS DEL INTERÉS COMPUESTO.
  • 4.3. MONTO A INTERÉS COMPUESTO
  • 4.4. MONTO A INTERÉS COMPUESTO SI EL NÚMERO DE PERÍODOS ES FRACCIONARIO
  • 4.5. VALOR ACTUAL DE UNA TRANSACCIÓN A INTERÉS COMPUESTO
  • 4.6. VALOR ACTUAL EN PERÍODOS FRACCIONARIOS
  • 4.7. CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS Y DEL TIEMPO
  • 4.8. CÁLCULO DE LA TASA PERIÓDICA A INTERÉS COMPUESTO
  • 4.9. TASA EQUIVALENTE Y TASA EFECTIVA ANUAL
  • 4.10. CAPITALIZACIÓN CONTINUA
  • 4.11. PROBLEMAS RESUELTOS
  • 4.12. PROBLEMAS PROPUESTOS
• UNIDAD 5.- INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS ANUALIDADES
  • 5.1. DEFINICIÓN
  • 5.2. ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD
  • 5.3. CLASIFICACIÓN
  • 5.4. COMBINACIÓN DE LAS ANUALIDADES
• UNIDAD 6.- ANUALIDADES VENCIDAS
  • 6.1. DEFINICIÓN
  • 6.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
  • 6.3. VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
  • 6.4. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
  • 6.5. PAGO PERIÓDICO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
  • 6.6. DETERMINACIÓN DEL NÚMERO DE PERÍODOS
  • 6.7. CÁLCULO DE LA TASA PERIÓDICA
  • 6.8. PROBLEMAS RESUELTOS
  • 6.9. PROBLEMAS PROPUESTOS

Unidad 1.- Definiciones básicas Página 1

DEFINICIONES BÁSICAS

1.1. DEFINICIÓN DE MATEMÁTICA FINANCIERA

La Matemática Financiera es una serie de métodos, procesos y herramientas numéricas que permiten analizar y determinar las variaciones del dinero como elemento fundamental en las transacciones que se presentan en las actividades diarias, sean estas de tipo personal, comercial, o empresarial (http://www.monografias.com/trabajos29/matematicas-financieras, 2015).

La Matemática Financiera requiere de conocimientos básicos de álgebra y una calculadora; pudiendo también utilizarse algún programa informático, tal como la Hoja de cálculo Excel.

1.2. EL DINERO

El dinero es un bien convencionalmente aceptado como medio de pago en la compra de bienes y servicios de toda clase, permite realizar y llevar a buen término las operaciones de intercambio, entre compradores y vendedores; por otro lado, puede considerarse como definiciones del dinero las siguientes (http://www.economia.so/2013/10/dinero, 2013):

 Es el elemento comúnmente aceptado en el mercado de bienes y servicios.

 Cualquier bien, ampliamente aceptado, que sirve como medio de pago y como medida y reserva de valor.

1.3. USOS DEL DINERO

Como medio de pago , el dinero es aceptado a cambio de bienes y servicios, y da a su poseedor el poder de compra a su vez otros bienes y servicios.

Como medida de valor , el dinero permite la comparación entre todos los bienes y servicios, y relaciona cada uno de ellos con los demás.

1.4. INVERSIÓN

En términos generales la Inversión es el empleo productivo de bienes económicos, que da como resultado una magnitud de este mayor que la empleada; es decir: la inversión económica es el crecimiento del dinero, tomando a este como bien económico.

Por otro lado, la Inversión es:

En el contexto empresarial, la inversión es el acto mediante el cual se invierten ciertos bienes con el ánimo de obtener unos ingresos o rentas a lo largo del tiempo; la inversión se refiere al empleo de un capital en algún tipo de actividad o negocio, con el objetivo de incrementarlo.

Dicho de otra manera, consiste en renunciar a un consumo actual y cierto, a cambio de obtener unos beneficios futuros y distribuidos en el tiempo. (MASSÉ, 1963).

1

Unidad 1.- Definiciones básicas Página 3

 CAPITAL O PRINCIPAL

Es la cantidad de dinero en juego, es el valor del préstamo solicitado por el prestatario o deudor al dueño del dinero.

 PLAZO

Es el tiempo en el cual el deudor se compromete a retribuir o devolver el capital junto con sus intereses al dueño del dinero; este plazo se expresa en unidades de tiempo: años, meses, días.

 RÉDITO

Conocido también como Tasa de Interés, es el valor que norma o regula la situación legal del crédito; se lo expresa en porcentaje, es decir en unidades monetarias por cada cien unidades del Principal; está normado por las situaciones propias del mercado.

La tasa de interés, conocida como tasa nominal, es un porcentaje de dinero expresado en unidades de tiempo; por ejemplo; 5% trimestral, 8% mensual, etc. si la unidad de tiempo no está registrada se asume que es anual.

1.9. EL DINERO Y EL TIEMPO

Se definió a la Matemática Financiera como una serie de procesos, normas y maneras de calcular la variación del dinero con respecto al tiempo; el dinero y el tiempo son dos variables intrínsecamente relacionadas, de la variación de estas dos variables se determinan algunas definiciones tales como: el Valor Actual y el Valor Futuro de una inversión.

El dinero, representado como el capital o principal de una transacción, varía conforme varía el tiempo, no es lo mismo, por ejemplo: disponer ahora de $ 1000 que la misma cantidad dentro de un año.

La variación del dinero en función del tiempo responde a dos tipos de factores:

 Factores internos : Representado por la propia tasa de interés o rédito de la transacción, no olvide que esta tasa de interés se expresa como un porcentaje, acompañado por una unidad de tiempo.

 Factores Externos : El más importante: La Inflación, que es un fenómeno económico cuyo efecto produce la desvalorización del dinero, es decir la pérdida del proceso adquisitivo del mismo.

Las definiciones registradas en este capítulo, serán herramientas cotidianas en el estudio de la Matemática Financiera y de sus aplicaciones en el mundo de los negocios y la administración de recursos como también, en la toma de decisiones empresariales de carácter financiero.

Unidad 2.- Interés Simple Página 4

EL INTERÉS SIMPLE

2.1. INTRODUCCIÓN

El Interés simple, es una transacción financiera en la cual, el Capital o Principal es prestado o invertido en un plazo relativamente corto, normalmente menor a un año. En este tipo de transacciones financieras, el costo del dinero en inversión o en préstamo, es decir el interés, se lo paga al dueño del mismo, una sola vez. En la mayoría de las ocasiones, al final del plazo, o en algunos casos, al inicio del mismo.

2.2. ELEMENTOS FINANCIEROS Y CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE

El valor del interés, en este tipo de transacciones, está en función del capital en juego, del plazo o tiempo de la transacción, y de la tasa de interés vigente en el mercado financiero.

Sean:

𝐼: Interés simple. 𝐶: Capital. 𝑟: Tasa de interés o rédito. 𝑡: Tiempo o plazo de la inversión.

Entonces, el Interés simple es: 𝑰 = 𝑪𝒓𝒕

El tiempo de la transacción o plazo, se expresa normalmente en años o fracción de año; es decir: en meses o días; Cuando está expresado en días, se debe establecer previamente si el año es comercial o exacto; el año comercial se considera de 360 días; mientras que, el año exacto es de 365 o 366 días, si el año es bisiesto (CISSELL, CISSELL, & FLASPOHLER, 1996).

Si el plazo de la transacción financiera está expresado entre dos fechas, es necesario determinar el número exacto de días que existe entre fecha y fecha; el número de días entre fecha y fecha se lo puede calcular de dos maneras:

 Tabla de cálculo entre fecha y fecha.

Al final del texto se incluye el Anexo N° 1 “Numeración de días de un año”; en esta tabla se ha asignado en forma secuencial un número a cada día del año, de manera que para establecer el número de días entre dos fechas, se determinará el número correspondiente a cada fecha y la diferencia entre estos dos números será el número de días entre dos fechas

 Programa de cálculo de días entre fechas.

En la Hoja electrónica Excel se puede calcular el número de días entre dos fechas; el usuario deberá ingresar en cada celda las fechas y luego, con una operación de resta o sustracción, en forma inmediata el programa entregará como resultado los días transcurridos entre dos fechas.

2

Unidad 2.- Interés Simple Página 6

En el gráfico, el lector puede observar:

La Fecha Focal se ha ubicado al final del plazo de la transacción; se define a la Fecha Focal como el punto en la recta de tiempos (o fuera de ella) al cual convergen todos los elementos financieros, conocidos o desconocidos que intervienen en el problema.

El capital (𝑪) se ubica al inicio de la transacción, luego, este capital se desplaza hacia la derecha, hasta

la fecha focal convirtiéndose, teóricamente, en Monto.

El Valor Actual de la transacción, en un tiempo 𝒌, se calcula con la expresión indicada en el párrafo

anterior; tomando en cuenta que el tiempo que se debe utilizar, es el que falta para finalizar la

transacción, es decir: 𝒕 = 𝒏 − 𝒌.

2.5. CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS

La tasa de interés o rendimiento del dinero puede calcularse con las siguientes expresiones:

 Cuando el rendimiento o rédito está en función del Interés:

Cuando el rendimiento o rédito está en función del Monto:

𝑴 𝑪 ) − 𝟏 𝒕

En ambos casos, el valor obtenido deberá multiplicarse por 100 para expresarlo como porcentaje.

2.6. CALCULO DEL TIEMPO

Para el cálculo del tiempo en una transacción a interés simple se pueden utilizar estas dos expresiones:

 Cuando el tiempo está en función del Interés:

 Cuando el tiempo está en función del Monto:

Unidad 2.- Interés Simple Página 7

Tomar en cuenta:

 La unidad de tiempo es la misma en la cual está expresada la tasa de interés.

 Mientras no se diga lo contrario, se considera que el año tiene 360 días y se lo denomina como Año Comercial.

 El año calendario, cuando así se lo indique, tiene 365 días o 366 días, si es año bisiesto.

 Cuando el plazo de la transacción está dado entre fechas el tiempo (en días) se lo determina restando de la fecha final, la fecha inicial.

2.7. ECUACIONES DE VALOR

Muchos problemas de Matemática Financiera, pueden resolverse fácilmente planteando una Ecuación de Valor, esta ecuación tiene la siguiente estructura matemática:

Deudas = pagos

Pueden presentarse los siguientes casos:

 Un compromiso financiero (deuda, inversión) se cumpla con un solo pago.  Un compromiso financiero se cumpla con varios pagos.  Varias deudas se cumplan con un solo pago, denominado pago único.  Varias deudas se cumplan con varios pagos.

Metodología:

Trace una recta y en ella ubique el tiempo que transcurre entre los diferentes elementos financieros que intervienen en el problema, esta recta se denomina Recta de Tiempos.

Ubique la Fecha Focal, para el caso de problemas de interés simple, la fecha focal está dada por las condiciones del problema; en la mayoría de los casos esta fecha focal se ubica al final del plazo de la transacción; en caso del Interés Compuesto, debido a la periodicidad de la capitalización de intereses, la Fecha Focal puede ubicarse en cualquier punto de la Recta de Tiempos, inclusive fuera de ella, el resultado siempre será el mismo.

Ubique los valores financieros del problema de manera que los pagos y las deudas se coloquen en cada lado de la recta de tiempo; ejemplo: las deudas en la parte superior de la recta y los pagos en la parte inferior de la misma, los valores desconocidos se representan con la letra 𝑿.

Traslade todos los valores financieros, (conocidos y desconocidos) hasta la fecha focal, tomando en cuenta que si el traslado es hacia la derecha de la fecha focal; entonces este valor financiero se convierte en Monto; si el traslado es hacia la izquierda de la fecha focal, este valor financiero se convierte en Valor Actual.

El tiempo que interviene en el cálculo de los valores financieros, que se han convertido en Monto o en Valor Actual, es aquel que transcurre entre la fecha de ubicación en la recta de tiempo y la fecha focal;

Unidad 2.- Interés Simple Página 9

2.9. PROBLEMAS RESUELTOS.

1. Una Cooperativa paga el 5% sobre los depósitos a plazos. Determinar el pago anual por interés sobre un depósito de $18000.

Datos:

𝑡 = 1 𝑎ñ𝑜 𝐼 =?

Solución:

𝐼 = 18000 ×

× 1

2. Un Banco obtiene fondos al costo de 12% y presta a los microempresarios al 18.6% anual, ganándose así el 6.6% bruto. Si los ingresos anuales que obtuvo de esta forma fueron de $5000, cuánto dinero prestó?

Datos:

𝑡 = 1 año 𝐶 =?

Solución:

6. 6 100 ×^1

3. Una entidad financiera invirtió $ 250000 al 11.6% en hipotecas locales y ganó $ 22000, determinar el tiempo que estuvo invertido el dinero.

Datos:

Solución:

250000 ×

11. 6 100

𝑡 = 0. 758 𝑎ñ𝑜𝑠 ≈ 9. 10 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝑡 = 9 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠, 3 𝑑 í 𝑎𝑠

Unidad 2.- Interés Simple Página 10

4. Si una empresa hipotecaria tiene invertido $ 300000 durante 2.5 años; - largo plazo, factible a interés simple - y obtiene en total $ 46250 de ingresos, cuál es la tasa de interés?

Datos:

𝑡 = 2. 5 𝑎 ñ 𝑜𝑠 𝑟 =?

Solución:

300000 × 2. 5

5. Una persona deposita $2500, en una cuenta de ahorros al 9% anual, cuánto tendrá después de 8 meses?

Datos:

C = 2500

Solución:

×

6. Un empleado recibe $ 12800 por concepto de liquidación de su trabajo, los deposita en una libreta de ahorros en un banco al 4.7% anual. Calcular cuánto tendrá al final de 150 días.

Datos:

C = 12800

𝑡 = 150 𝑑 í 𝑎𝑠 𝑀 =?

Solución:

×

Unidad 2.- Interés Simple Página 12

9. Hallar el interés al 8%, y el monto sobre un documento de $ 5000, fechado el 15 de noviembre de 2011, con vencimiento el 18 marzo de 2012.

Cálculo del tiempo:

15-nov-2011 (día 319) 31-dic-2011 (día 365) 18-mar-2012 (día 78) (2012 año bisiesto) 𝑡 = 365 − 319 + 78 = 124 𝑑 í 𝑎𝑠

Cálculo del Interés:

𝐼 = 5000 ×

×

Cálculo del Monto:

10. Se debe cubrir una deuda de $4500 en nueve meses; cual es el pago que se debe realizar si esta deuda se cancela: a) hoy, b) en tres meses, c) en 6 meses, d) en un año; considerando que el dinero se negocia al 7%.

a. Pago el día de hoy Sea 𝑋 el pago a realizar:

7 100 ×^

9 12 )

b. Pago en tres meses Sea 𝑋 el pago a realizar:

7 100 ×^

6 12 )

0 9 meses

𝑓𝑓^ 𝑉𝐴

0 9 meses

𝑓𝑓^ 𝑉𝐴

Unidad 2.- Interés Simple Página 13

c. Pago en 6 meses Sea 𝑋 el pago a realizar:

7 100 ×^

3 12 )

d. Pago en un año Sea 𝑋 el pago a realizar:

×

11. El 15 de enero se contrae una deuda por $ 5000 a pagarse dentro de 215 días con un interés del 5%; el 26 de abril del mismo año se realiza un pago de $ 2000; cuál debe ser el valor del pago adicional que liquide la deuda si este pago se realiza el 29 de octubre del mismo año.

×

0 9 meses

15-ene (15)

18-ago

12 meses