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Ejercicio 1
Supongamos que la funci´on de producci´on de cierta econom´ıa es lineal en el stock de capital:
Yt = AKt
- ¿Como se conoce a esta funci´on?; ¿Qu´e propiedades tiene? Discuta brevemente.
- Retome la ecuaci´on de acumulaci´on de capital vista en el modelo de Solow-Swan y utilice la funci´on de producci´on AK. Realice el an´alisis en t´erminos per c´apita. Derive anal´ıticamente la ley de evoluci´on del capital per c´apita. Exprese anal´ıtica y gr´aficamente la tasa de crecimiento del capital per c´apita. Compruebe que en este modelo la producci´on y el consumo per c´apita crecen todos a la misma tasa que el stock de capital per c´apita.
- ¿Cu´ales son las diferencias entre este modelo y el modelo de Solow-Swan?
- En la ´ultima d´ecada la brecha de ingreso entre las econom´ıas emergentes se ha reducido. ¿Esto estar´ıa en l´ınea con las predicciones del modelo AK?. Y, ¿con relaci´on al modelo de Solow?
Respuesta
- Propiedades:
a) Rendimientos constantes a escala.
Prueba: Y 0 = AK 0 , Y 1 = A · (λ)K 0 = (λ)Y 0
b) Rendimientos positivos pero no decrecientes del capital.
Prueba: P mg(K) = A > 0 La productividad marginal del capital es constante y positiva.
c) No satisface las condiciones de INADA.
l´ım K→ 0
P mg(K) = l´ım K→ 0
A = A 6 = 0
l´ım K→∞
P mg(K) = l´ım K→∞
A = A 6 = 0
- Recordamos los supuestos del modelo de Solow-Swan:
a) La tasa de ahorro de los agentes es constante e igual a s.
b) La poblaci´on crece a una tasa constante e igual a n. c) La tasa de depreciaci´on es constante e igual a δ. d ) Econom´ıa cerrada. No hay comercio con el exterior. e) No hay gasto p´ublico.
De los supuestos (d) y (e) sabemos que la identidad de contabilidad nacional queda como sigue:
Yt = Ct + It
La renta de los agentes se dedica a consumir o a ahorrar:
Yt = Ct + St
de lo que se deduce que en la econom´ıa descrita en este modelo la inversi´on es igual al ahorro:
It = St
Bajo los supuestos establecidos por el modelo de Solow-Swan la ecuaci´on (2) puede expresarse como:
Yt = (1 − s)Yt + K˙ + δKt
Despejando K˙ de la ecuaci´on anterior tenemos la ecuaci´on que describe el comportamiento din´amico del stock de capital:
K˙ = sYt − δKt
El estudio del crecimiento econ´omico nos interesa analizarlo en t´erminos per c´apita. Por ello expresaremos el modelo de Solow-Swan en t´erminos per c´apita.
Dividimos la expresi´on anterior por el n´umero de trabajadores:
K˙ L
sYt L
δKt L
Definimos el stock de capital per c´apita como: k =
K
L
k^ ˙ =
KL˙ − K L˙
LL
K˙
L
L
L
K
L
L^ ˙
L
K˙
L
− kn
b) Tasa de crecimiento del consumo per c´apita:
c = (1 − s)Ak c˙ = (1 − s)A k˙
γc =
c˙ c
(1 − s)A k˙ (1 − s)Ak
⇒ γc = sA − (δ + n) = γk
Calculamos ahora la tasa de crecimiento del stock de capital, producci´on y consumo en t´ermi- nos agregados:
a) Tasa de crecimiento del stock de capital agregado:
K˙ = sA − δK
γK =
K˙
K
= sA − δ
b) Tasa de crecimiento del PIB agregado:
Y = AK Y˙ = A K˙
γY =
Y˙
Y
A K˙
AK
= γY = sA − δ = γK
c) Tasa de crecimiento del consumo agregado:
C = (1 − s)AK C˙ = (1 − s)A K˙
γC =
C˙
C
(1 − s)A K˙ (1 − s)AK
= γC = sA − δ = γK
- Hay seis diferencias
a) En el modelo AK, el PIB per c´apita crece a una tasa positiva, sin necesidad de incluir el crecimiento tecnol´ogico ex´ogeno.
γK =
K˙
K
= sA − (δ + n)
b) Implicaciones del modelo AK respecto al crecimiento econ´omico:
El modelo AK nos dice algunas cosas interesantes respecto a cu´ales son los determinantes del crecimiento econ´omico. Seg´un este modelo las econom´ıas con mayor tasa de ahorro
van a crecer m´as a largo plazo. As´ı pues, seg´un este modelo, las pol´ıticas econ´omicas encaminadas a fomentar el ahorro tendr´an efectos positivos sobre el crecimiento a largo plazo de una econom´ıa. Igualmente, el modelo nos dice que econom´ıas con un nivel de desarrollo tecnol´ogico mayor (A) tender´an a crecer m´as a largo plazo que las econom´ıas con menor desarrollo tecnol´ogico. El tama˜no de la poblaci´on afecta negativamente a la tasa de crecimiento, luego, seg´un este modelo las pol´ıtica econ´omicas encaminadas a controlar la natalidad tendr´an efectos positivos sobre el crecimiento.
c) En este modelo la econom´ıa carece de transici´on hacia el estado estacionario. Las eco- nom´ıas crecen siempre a una misma tasa, y eso con independencia del stock de capital que tengan.
d ) Se observa tambi´en que en este modelo la tasa de crecimiento del PIB per c´apita no depende del stock de capital que tiene la econom´ıa. Ni depende tampoco del nivel de renta. Esto implica que el modelo AK no predice convergencia entre pa´ıses. Este modelo no nos dice, como lo hac´ıa el modelo de Solow-Swan, que los pa´ıses m´as ricos, (con m´as capital), crecen menos que los pa´ıses pobres (con menor capital).
e) El modelo AK predice que los efectos de una recesi´on temporal ser´an permanentes.
f ) Con la tecnolog´ıa AK, no puede haber demasiada inversi´on en el sentido de que la eco- nom´ıa no puede encontrarse en una zona din´amicamente ineficiente.
Demostraci´on:
Zona de ineficiencia din´amica:
r∗^ < γy∗
r = pmg(k) − δ, con la tecnolog´ıa AK, la productividad marginal del capital es igual a A. De tal forma que:
r = A − δ
y la tasa de crecimiento de la producci´on per c´apita es:
γy∗^ = sA − (δ + n)
Para que haya ineficiencia din´amica, es decir: r∗^ < γy∗^ , se tiene que cumplir que:
Ejercicio 2
Suponga ahora que la funci´on de producci´on incluye al capital p´ublico (carreteras por ejemplo) que aumentan la productividad del capital privado: Yt = AKtα G(1 t −α), donde K representa el stock de capital agregado, y G el capital p´ublico.
Suponga que el capital p´ublico es financiado mediante impuestos, es decir, Gt = T. Suponer adem´as que la recaudaci´on impositiva es un porcentaje de la producci´on, es decir, T = τ Y , donde τ es el tipo impositivo.
Se sabe que:
- Tasa de depreciaci´on igual al 1 %, (δ = 0, 01).
- Tasa de ahorro igual al 5 %, (s = 0, 05).
- Tasa de crecimiento de la poblaci´on igual al 10 %, (n = 0, 1).
- Participaci´on del capital en la funci´on de producci´on igual al 30 %, (α = 0, 3).
- Valor del ´ındice tecnol´ogico igual a 60, (A = 60).
- El tipo impositivo es igual al 10 %, (τ = 0, 1).
Se pide:
- Calcular las tasas de crecimiento del capital per c´apita, la producci´on per c´apita y el consumo per c´apita en funci´on de τ.
- Calcular la tasa de crecimiento m´axima que se puede obtener usando la tasa impositiva τ como variable de control (grafiquelo). ¿Por qu´e tasas inferiores o superiores a esa generan menor crecimiento (¿cu´al es el trade-off que existe?, piense en el efecto que causa gasto y en el efecto que causan los impuestos)?
Respuesta
- Bajo los supuestos establecidos por el modelo de Solow y Swan, pero considerando la existen- cia de un gobierno que cobra impuestos, la ley de evoluci´on del capital per c´apita viene dada por la siguiente expresi´on:
k˙ = s(1 − τ ) · y − (δ + n) · k
La producci´on per c´apita es la siguiente:
y = A · kα^ · g(1−α)
donde g es el gasto p´ublico per c´apita.
Sabiendo que el presupuesto del gobierno es equilibrado, es decir que el gasto es igual al ingreso tenemos que:
g = τ y
Sustituyendo en la funci´on de producci´on per c´apita nos queda la siguiente expresi´on:
y = A^1 /ατ (1−α/α)^ · k
Si consideramos que A˜ = A^1 /ατ (1−α/α), vemos que la funci´on anterior corresponde a una funci´on de producci´on con tecnolog´ıa AK.
Sustituimos la expresi´on anterior en la ecuaci´on que describe el comportamiento del capital per c´apita:
k˙ = s(1 − τ ) · A^1 /ατ (1−α/α)^ · k − (δ + n) · k k^ ˙ k
= s(1 − τ ) · A^1 /ατ (1−α/α)^ − (δ + n)
k˙ k
= (0, 05)(1 − 0 , 1) · (60)^1 /^0 ,^3 (0, 1)(1−^0 ,^3 /^0 ,3)^ − (0, 01 + 0, 1) = 176, 5
Como k˙ k
y˙ y
c˙ c
k˙ k
y˙ y
c˙ c
- Intuit´ıvamente podemos ver que la tasa de crecimiento del capital per c´apita ser´a negativa en los casos en los cuales τ = 0 y τ = 1. Para encontrar la tasa de crecimiento m´axima debemos hacer que se cumpla la condici´on de primer orden.
δγk δτ = −sA^1 /ατ (1−α/α)^ + s(1 − τ )A^1 /α
1 − α α
τ (1−α/α)−^1
δγk δτ = 0 ⇔ sA^1 /ατ (1−α/α)^ = s(1 − τ )A^1 /α
1 − α α
τ (1−α/α)−^1
⇔ 1 = (1 − τ )
1 − α α
τ −^1 ⇔ τ = (1 − τ )
1 − α α
Ejercicio 3
Paul Romer (1986), introdujo una funci´on de producci´on con externalidades del capital. La intuici´on es la siguiente: cuando una empresa aumenta su stock de capital a trav´es de la inversi´on, no solo aumenta su propia producci´on, si no que aumenta tambi´en la producci´on de las empresas que le rodean. La raz´on apuntada por Romer es que las empresas que invierten adquieren experiencia o conocimientos (aprendizaje en la pr´actica). Estos conocimientos tambi´en pueden ser utilizados por las dem´as empresas y de ah´ı que el producto de estas tambi´en aumenta.
Una funci´on de producci´on que refleja estas externalidades que acabamos de describir es la siguiente:
Yt = A · Ktα · L^1 t −α· κηt
donde:
Yt : representa la producci´on agregada en t
Kt : representa el capital agregado en t
Lt : representa el trabajo agregado en t
κt : representa la externalidad en t
η : es un par´ametro que mide la importancia de la externalidad
Se pide
- ¿C´omo se puede aproximar κ seg´un Romer y seg´un Lucas?
- Siguiendo el supuesto de Lucas, ¿c´omo impactan en el comportamiento de la econom´ıa las externalidades? En particular ¿qu´e sucede bajo el supuesto de (η + α = 1)?
- Siga ahora el supuesto de Romer. Calcule la funci´on de producci´on en t´erminos per c´apita.
- Encuentre la tasa de crecimiento del capital per c´apita.
- ¿De qu´e depende la tasa de crecimiento de la econom´ıa? Discuta el posible problema con este resultado.
Respuesta
- Seg´un Romer, la variable κ es el capital agregado de la econom´ıa, Kt , dado que la inversi´on de cualquier empresa ayuda a aumentar el stock de conocimientos de todas las empresas.
Seg´un Lucas, esta variable es el capital per c´apita.
- Siguiendo a Lucas (1989) la funci´on de producci´on es la siguiente:
Yt = A · Ktα · L^1 t −α· κηt
⇒ Yt = A · Ktα · L^1 t −α· Kt Lt
η
Si expresamos la funci´on de producci´on en t´erminos per c´apita, tenemos la siguiente expresi´on:
Yt Lt
= A ·
Kαt+η Lαt+η
L^1 t−(α+η) L^1 t−(α+η)
⇒
Yt Lt = yt = A · kαt+η
Posteriormente, sustitu´ımos la anterior funci´on de producci´on en la ley de evoluci´on del ca- pital:
k˙ = s · y − (δ + n) · k
⇒ k˙ = s · A · ktα +η− (δ + n) · k
Con dicha funci´on definida, podemos encontrar la expresi´on de la tasa de variaci´on del capital:
γk = k˙ k
= s · A · k tα +η−^1 − (δ + n)
As´ı, encontramos que el comportamiento de la econom´ıa depender´a del valor de la suma de α + η − 1. En particular, nos interesa si dicha expresi´on es positiva, negativa o igual a 0. El valor de dicha expresi´on es, a su vez, equivalente a analizar si α+η es mayor, menor o igual a 1.
Por lo tanto, analizaremos los tres casos:
Caso 1: α + η < 1
Consideramos el caso en que hay externalidades, por eso que η > 0, pero ´estas no son muy importantes, de tal forma que α + η < 1.
En este caso, la curva de ahorro (s · A · kt^1 −α+η) ser´a una funci´on decreciente con el stock de capital. Para alg´un k∗^ la funci´on de ahorro cortar´a a la recta (δ + n), y ese k∗^ ser´a el stock de capital de estado estacionario. El PIB per c´apita crecer´a a una tasa nula en estado estacionario. Obtendremos por tanto los mismos resultados que obtuvimos con la funci´on de
En este caso la curva de ahorro es creciente y habr´a un stock de capital (k∼) para el cual la econom´ıa a largo plazo crecer´a a un ritmo constante. Para niveles de capital per c´apita mayo- res a k∼, la econom´ıa crecer´a indefinidamente. Sin embargo, para niveles de capital inferiores a k∼^ el crecimiento ser´a negativo ya que la econom´ıa destruir´a capital de forma progresiva.
El inter´es del modelo de Romer es que la existencia de externalidades es una manera de ar- gumentar que la tecnolog´ıa de nuestra econom´ıa podr´ıa tener una forma AK. El problema principal observado es que para que la tecnolog´ıa se convierta en AK, hace falta que existan externalidades que sean lo suficientemente fuertes y adem´as que sean tales que la suma de los componentes que miden el peso del capital en la econom´ıa m´as la importancia de la exter- nalidad sean igual a la unidad. Esto significa que el tama˜no de la externalidad debe ser tan grande como la suma de las rentas de todos los trabajadores de la econom´ıa, supuesto que parece poco razonable.
- Yt = A · Ktα · L^1 t −α· Ktη = A · (Ktα · Ktη ) · L^1 t −α= A · Ktα +η· L^1 t−α
Yt Lt = yt = A ·
Ktα+η Lαt+η
L^1 t−α L^1 t−(α+η)
= A ·
Ktα+η Lαt+η
L^1 t−α L^1 t−α
L( t−η)
⇒ yt = A · kαt +η· Lηt
- k˙ = s · y − (δ + n) · k
⇒ k˙ = s · A · kαt +η· Lηt − (δ + n) · k : Ley de evoluci´on del stock de capital
γk = k˙ k = s · A · k( tα +η)−^1 · Lηt − (δ + n) : Tasa de variaci´on del capital
- El comportamiento de la econom´ıa depende del valor de la expresi´on α + η.
a) En el caso en el que α + η = 1, la tasa de crecimiento del stock de capital per c´apita vendr´a dada por la expresi´on siguiente: γk = s · A · Lηt − (δ + n) Es m´as, si suponemos que la poblaci´on no crece (n = 0): γk = s · A · Lηt − (δ) En este caso el capital crece a una tasa constante, que ser´a tanto mayor cuanto mayor sea el tama˜no de la poblaci´on. Si cada una de las econom´ıas del mundo se pudiera describir con este modelo la predicci´on ser´ıa que los pa´ıses con mayor poblaci´on como China e India deber´ıan crecer a tasas mayores con los pa´ıses con menor poblaci´on. La tasa de crecimiento tambi´en nos indica porque hemos supuesto que la poblaci´on es constante. Si la poblaci´on no creciese a un ritmo constante entonces las tasa de creci- miento de la poblaci´on ser´ıa cada vez mayor, lo cual no parece concordar con los datos seg´un los cuales la tasa de crecimiento de la poblaci´on a largo plazo es mas o menos constante.
b) En el caso en el que α + η < 1, la tasa de crecimiento del stock de capital per c´apita vendr´a dada por la expresi´on siguiente: γk = s · A · k tα +η−^1 · Lηt − (δ + n) En consecuencia, el stock de capital per c´apita de estado estacionario ser´ıa:
Si γk = 0 ⇒ k∗^ =
s · A · Lηt (δ + n)
) 1 / 1 −(α+η)
Si suponemos que la poblaci´on no crece (n = 0): k∗^ =
s · A · Lηt (δ)
) 1 / 1 −(α+η)
Observamos que el stock de capital per c´apita de estado estacionario depende del tama˜no de la poblaci´on. Ello significa que el PIB per c´apita, y consumo per c´apita a largo plazo dependen del tama˜no de la poblaci´on. As´ı, este modelo predice que pa´ıses con mas poblaci´on tipo, China y la India, deber´an ser m´as ricos que pa´ıses con menor poblaci´on, tipo B´elgica, Dinamarca o Suiza. El hecho que el stock de capital per c´apita por persona de estado estacionario sea una funci´on positiva de L, tambi´en nos muestra que si dejamos que la poblaci´on crezca a un ritmo constante el crecimiento de la poblaci´on har´a crecer las variables per c´apita lo cual no pasaba en el modelo neocl´asico. En resumen, la existencia de externalidades de capital agregado introduce efectos de escala que tienden a no ser validados por los datos.
c)
δYt δKt = A + (α) · B · K tα −^1 · L^1 t −α> 0 : Rendimientos positivos del capital
δ^2 Yt δ^2 Kt = (α − 1)(α) · B · Kα t −^2 · L^1 t −α< 0 : Rendimientos decrecientes del capital
- Cumplimiento de condiciones de INADA:
l´ım L→∞
δY δL
l´ım L→∞
δY δL
= (1 − α) · B · Ktα · L−t α= 0
Se cumple condici´on
l´ım L→ 0
δY δL
l´ım L→ 0
δY δL = (1 − α) · B · Ktα · L−t α= ∞
Se cumple condici´on
l´ım K→∞
δY δK
l´ım K→∞
δY δK
= A + (α) · B · K tα −^1 · L^1 t −α= A 6 = 0
NO se cumple condici´on
l´ım K→ 0
δY δK
l´ım K→ 0
δY δK
= A + (α) · B · K tα −^1 · L^1 t −α= ∞
Se cumple condici´on
- Yt = A · Kt + B · Ktα · L^1 t−α
Yt Lt
= A ·
Kt Lt
+ B ·
Ktα Lαt
L^1 t−α L^1 t−α
yt = A · kt + B · kαt
⇒ k˙ = s · y − (δ + n) · k = s(A · k + B · kα) − (δ + n)k
⇒ k˙ k = s(A + B · k tα −^1 ) − (δ + n) = s · A + s · B · kα t −^1 − (δ + n)
- En estado estacionario:
k˙ k = 0 ⇔ s · A + s · B · k∗α−^1 − (δ + n) = 0
⇔ s · B · k∗α−^1 = (δ + n) − s · A
Por lo tanto, el comportamiento de la econom´ıa estar´a determinado por la expresi´on (δ + n) − s · A.
Caso 1: (δ + n) > s · A
k∗α−^1 = (δ + n) s · B
A
B
k∗^ =
(δ + n) s · B
A
B
) 1 /α− 1
k∗^ =
δ + n − s · A s · B
) 1 /α− 1
k∗^ =
s · B δ + n − s · A
) 1 / 1 −α
Si el stock de capital es inferior a k∗, entonces k∗ k
= γk > 0
Si el stock de capital es superior a k∗, entonces
k∗ k = γk < 0
En los dos casos la econom´ıa converge al estado estacionario.
Caso 2: (δ + n) < s · A
k^ ˙ k
= s · A + s · B · k∗α−^1 − (δ + n) > 0
Ejercicio 5
Considere la siguiente funci´on de producci´on CES:
Y = A · [(α) · (b · K)ψ^ + (1 − α) · ((1 − b) · L)ψ]^1 /ψ
0 < α < 1 0 < b < 1 − ∞ < ψ < 1
Ley de evoluci´on del capital per c´apita:
k˙t = s · y − (δ + n) · kt
- Calcule la funci´on de producci´on per c´apita.
- Deduzca la ecuaci´on que describe el comportamiento del capital per c´apita y la tasa de crecimiento del capital per c´apita. ¿Qu´e sucede con la tasa de crecimiento del capital?
Respuesta
- y =
Y
L
L
· A · [(α) · (b · K)ψ^ + (1 − α) · ((1 − b) · L)ψ]^1 /ψ
y = A · [
Lψ^
· (α) · (b · K)ψ^ + (1 − α) · ((1 − b) · L)ψ]^1 /ψ
y = A · [(α) · (b ·
K
L
)ψ^ + (1 − α) · ((1 − b) ·
L
L
)ψ]^1 /ψ
y = A · [(α) · (b · k)ψ^ + (1 − α) · (1 − b)ψ]^1 /ψ
- k˙ = s · A · [(α) · (b · k)ψ^ + (1 − α) · (1 − b)ψ]^1 /ψ^ − (δ + n) · k
k^ ˙ k
k
· s · A · [(α) · (b · k)ψ^ + (1 − α) · (1 − b)ψ]^1 /ψ^ −
k
· (δ + n) · k
k^ ˙ k
= s · A · [k−ψ^ · (α) · (b · k)ψ^ + k−ψ^ · (1 − α) · (1 − b)ψ]^1 /ψ^ − ·(δ + n)
k˙ k = s · A · [(α) · bψ^ + k−ψ^ · (1 − α) · (1 − b)ψ]^1 /ψ^ − ·(δ + n)
l´ım k→∞
k^ ˙ k
= s · A · [(α) · bψ^ + k−ψ^ · (1 − α) · (1 − b)ψ]^1 /ψ^ − ·(δ + n) = s · A · α^1 /ψ^ · b
Con una funci´on de producci´on CES, el stock de capital crecer´a a una tasa constante cuando el stock de capital sea muy grande.
