Modelos Económicos con Variables Binarias: Modelo de Probabilidad Lineal (MPL), Diapositivas de Econometría

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Econom´ıa Aplicada

Modelos con variables dependiente binarias

Departamento de Econom´ıa Universidad Carlos III de Madrid Ver Stock y Watson (cap´ıtulo 11)

Modelos con variables dependiente binarias: ¿Cu´al es la

diferencia?

Hasta ahora, la variable dependiente (Y) era continua: calificaci´on promedio en una prueba tasa de mortalidad salarios ¿Qu´e pasa si ahora Y es binaria? Y ser o no aceptado en la universidad; X promedio en secundaria, selectividad, otros controles demogr´aficos Y si una persona fuma o no; X impuestos al tabaco, renta, otros controles demogr´aficos Y si se acepta o no una solicitud para una hipoteca; X raza, renta, caracter´ısticas de la vivienda, estado civil

Modelo de Probabilidad Lineal (MPL)

Un punto de partida natural es el modelo de regresi´on lineal con un ´unico regresor: Yi = β 0 + β 1 Xi + ui Pero: ¿Qu´e significa β 1 cuando Y es binaria? ¿Qu´e significa la l´ınea β 0 + β 1 X cuando Y es binaria? ¿Qu´e significa el valor predicho Ŷ cuando Y es binaria? Por ejemplo, ¿qu´e quiere decir Ŷ = 0.26?

Modelo de Probabilidad Lineal (MPL)

Cuando Y es binaria decimos que es una variable aleatoria Bernouilli:

E (Y |X ) = 1 ∗ Pr (Y = 1|X ) + 0 ∗ Pr (Y = 0|X ) = Pr (Y = 1|X ) Y bajo el supuesto, E (ui |Xi ) = 0:

E (Yi |Xi ) = E (β 0 + β 1 Xi + ui |Xi ) = β 0 + β 1 Xi , Entonces:

E (Y |X ) = Pr (Y = 1|X ) = β 0 + β 1 Xi En el MPL, el valor predicho de Y se interpreta como la probabilidad predicha de que Y = 1 y β 1 , es el cambio en la probabilidad producto de un cambio unitario en X.

Ejemplo: MPL, HMDA data

• Denegaci´on de hipoteca frente a proporci´on de los pagos asociados a la deuda respecto a los ingresos (ratio o relaci´on P/I), para una sub-muestra de los datos de HMDA (n = 127)

Ejemplo:MPL, HMDA data

denŷ i = β̂ 0 + β̂ 1 PIi + β̂ 2 blacki Model 1: OLS, using observations 1– Dependent variable: deny Heteroskedasticity-robust standard errors, variant HC Coefficient Std. Error t-ratio p-value const −0.0905136 0.0285996 −3.1649 0. pi rat 0.559195 0.0886663 6.3067 0. black 0.177428 0.0249463 7.1124 0. Mean dependent var 0.119748 S.D. dependent var 0. Sum squared resid 231.8047 S.E. of regression 0. R^2 0.076003 Adjusted R^2 0. F (2, 2377) 49.38650 P-value(F ) 9.67e– Log-likelihood −605.6108 Akaike criterion 1217. Schwarz criterion 1234.546 Hannan–Quinn 1223.

El MPL: Resumen

• Desventajas:
  • El MPL nos da un cambio en la probabilidad predicha para un determinado valor de X que es igual para todos los valores de X, pero esto no tiene sentido cuando la probabilidad de un evento est´a acotada. Piensa en el ejemplo anterior (HMDA)
  • Del mismo modo, en el MPL las probabilidades predichas pueden ser < 0 o > 1!
• Estas desventajas pueden ser resueltas por medio de modelos de probabilidad no lineales: probit y logit

Modelo probit y logit

• El problema con el MPL es que modela la probabilidad de que Y = 1 por medio de una funci´on lineal: Pr (Y = 1|X ) = β 0 + β 1 X
• sin embargo lo que queremos es que: i. Pr (Y = 1|X ) sea creciente en X para β 1 > 0, y ii. 0 ≤ Pr (Y = 1|X ) ≤ 1 para todos los valores de X
• Esto requiere una funci´on de distribuci´on acumulada, que garantiza que para cualquier valor de los par´ametros y de X define probabilidades, con valores en el intervalo [0,1].
• Una posibilidad es utilizar una con forma de ”S.”

Modelo Probit

• El modelo Probit modela la probabilidad de Y = 1 usando la funci´on de distribuci´on acumulada de una distribuci´on normal est´andar: Φ(z), evaluada en z = β 0 + β 1 X. El modelo Probit puede ser expresado como, Pr (Y = 1|X ) = Φ(β 0 + β 1 X )
• donde Φ(.) es la funci´on de densidad normal acumulada y z = β 0 + β 1 X es el z−valor o z − index de un modelo probit.
• Ejemplo: Supongamos β 0 = −2 , β 1 = 3, X = 0, 4, entonces Pr (Y = 1|X = .4) = Φ(−2 + 3 ∗ 0 , 4) = Φ(− 0 , 8) Pr (Y = 1|X = .4) = ´area bajo la funci´on de densidad a la izquierda de z = −.8, que es...

Modelo Probit

Modelo Logit

• Ejemplo: Supongamos β 0 = −2 , β 1 = 3, X = 0, 4, entonces Pr (Y = 1|X = .4) = (^) 1+e−(−^1 3+2∗ 0 .4) = 0. 0998 ¿Por qu´e preocuparnos del modelo logit si ya tenemos el probit?
  • La principal raz´on es hist´orica: el modelo logit es computacionalmente menos intensivo pero hoy en d´ıa estas ventajas son de menor importancia
  • En la practica, los modelos logit y probit son bastante similares y los resultados no dependen de la elecci´on entre uno de ellos.

Interpretaci´on de los coeficientes y pendientes

En contraste con el modelo lineal, en los modelos probit y logit los par´ametros no corresponden al efecto marginal sobre la variable dependiente de un cambio en una de las variables de control. En estos modelos el efecto ser´a:

• en el caso de que xj sea continua, ∂^ Pr ∂^ ( yx^ j=1) = f (β x) βj
• en caso de que xj sea discreta, ∆Pr (y = 1) = F (β x 1 ) − F (β x 0 )
• donde f (.) y F (.) son las funciones de densidad y de distribuci´on acumulada, respectivamente.

Estimaci´on e Inferencia en los modelos Logit y Probit

Nos centraremos en el modelo Probit: Pr (Y = 1|X ) = Φ(β 0 + β 1 X ) Podr´ıamos utilizar m´ınimos cuadrados no lineales. Sin embargo, un estimador m´as eficiente (menor varianza) es el estimador de M´axima Verosimilitud

El estimador de M´axima Verosimilitud de los coeficientes

en el modelo probit

• La funci´on de m´axima verosimilitud es la densidad condicional de Y 1 ,... , Yn dado X 1 ,... , Xn, como funci´on de los parametros desconocidos (β ’s)
• El estimador de m´axima verosimilitud es (EMV) es el valor de β ’s que maximiza la funci´on de m´axima verosimilitud.
• El EMV es el valor de β ’s que mejor describe la distribuci´on de los datos.
• En muestras grandes, el EMV es:
  • consistente
  • normalmente distribuido
  • eficiente (tiene la menor varianza entre todos los estimadores)