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Sistemas de Control

EYAG

Modelos matemáticos de sistemas

físicos: Sistemas Hidráulicos

Sistemas Hidráulicos (01/17)

Modelado de un

tanque de nivel

Sistemas Hidráulicos: Modelo estático

del sistema de nivel (03/17)

Para determinar la velocidade de flujo que sale por una boquilla lisa y redonda como es mostrado en la figura, se aplica bernulli entre el punto de referencia en la superficie y el punto de referencia en la boquilla

Sistemas Hidráulicos: Modelo estático

del sistema de nivel (04/17)

Si se considera que la presión manométrica entre los puntos 1 y 2 son cero. Que m es la masa de las partículas de fluido entre el punto 1 y 2. Y que v es la velocidad de salida de la partícula 1 y 2. se tiene que. El flujo de salida del tanque para el caso de uma sección transversal S es:

mv  mgH

2

v  2 gH Q  Sv  S 2 gH

Sistemas Hidráulicos: Flujo por una

Válvula (06/17)

Se puede concluir que el flujo que pasa por la válvula es proporcional al área de abertura de la válvula en el caso que la diferencia de presión sea constante. De manera practica tomamos una válvula con un comportamiento inteligente, donde sea posible hacer una aproximación mas o menos lineal entre el flujo Qv y la abertura de la válvula. Vamos a suponer que el flujo de entrada Qe es proporcional a la abertura de la válvula de entrada considerando un suministro constante. Qs  K 2 a 2 2 gH 1 1 Q K a e 

Sistemas Hidráulicos: Modelo del

tanque (07/17)

Tanque controlado por la válvula de entrada, considerando a2 como perturbación Tanque controlado por la válvula de salida, considerando a1 como perturbación Área da base =0.5 [m^2] (tanque cilíndrico) Hmax del tanque 1m K1=0.05 [m^3/s] K2=0.015 [m^3/s] A10=0.6 (abertura de equilibrio de a1) A20=0.5 (abertura de equilibrio de a2) Use g=10 [m/s^2] para os cálculos

Sistemas Hidráulicos: Punto de

Equilibrio (09/17)

Es hacer el flujo de entrada igual al flujo de salida 𝑄𝑒=𝑄𝑠 𝐾 1 𝑎 1 =𝐾 2 𝑎 2 √ 2 𝑔 𝐻 𝑜 𝐻 𝑜 = ( 𝐾 1 𝑎 1 𝐾 2 𝑎 2 √ 2 𝑔 ) 2 𝐾 1 =0.05 𝑚 3 /𝑠 (^) 𝐾 2 =0.0^1 5 𝑚 3 / 𝑠 𝑎 1 =0.6 𝑎 2 =0. 5 𝐴=0. 5 𝑚 2 𝑔= 1 0 𝑚 2 / s 𝐻 𝑚𝑎𝑥 = 1 𝑚 𝐻𝑜=0.8 𝑚

Sistemas Hidráulicos: Linealizamos por

Taylor (a2 cte) (10/17)

Teniendo el punto de equilibrio. 𝑓 (^) ( 𝑎 1 , h (^) )= 𝐴 𝑑 h 𝑑𝑡 𝑓 (^) ( 𝑎 1 , h (^) ) ≈ 𝑓 (^) ( 𝑎 1 , h )+ 𝜕 𝑓 𝜕 𝑎 1 ∆ 𝑎 1 | ( 𝑎 1 ,h^ )

𝜕 𝑓 𝜕 h ∆ h | ( 𝑎 1 ,h^ ) ∆ 𝑎 1 =𝑎 1 − 𝑎 1 ∆ h = h− h 𝐴 𝑑 h 𝑑𝑡 =𝐾 1 𝑎 1 − 𝐾 2 𝑎 2 √ 2 𝑔 h

Sistemas Hidráulicos: (12/17)

𝐴 𝑑 h 𝑑𝑡 =𝐾 1 𝑎 1 − 𝐾 2 𝑎 2 √ 2 𝑔 h

𝑑 h 𝑑𝑡

𝑑 h 𝑑𝑡 | ( 𝑎 1 ,^ h^ )

1

1

𝐾 2 𝑎 2 √ 2 𝑔 (^2) √ h ∆ h 𝐴 𝑑 h 𝑑𝑡

𝑑 h 𝑑𝑡 | ( 𝑎 1 ,h^ )

1

1

𝐾 2 𝑎 2 √ 2 𝑔 (^2) √ h ∆ h

Sistemas Hidráulicos: (13/17)

𝑑 h 𝑑𝑡

𝑑 h 𝑑𝑡 | ( 𝑎 1 ,h^ )

1

1

2

2 √

(^2) √ h ∆ h

𝑑 ∆ h 𝑑𝑡

1

1

2

2 √

(^2) √ h Aplicamos transformada de Laplace a nuestro sistema ∆^ h 𝐴 𝑠 𝐻 ( 𝑠 )=𝐾 1

1

𝐾 2 𝑎 2 √ 2 𝑔 (^2) √ h

𝐻 (^ 𝑠) 𝑎 1 ( 𝑠) = 𝐾 1 𝐴𝑠+ 𝐾 2 𝑎 2 √ 2 𝑔 (^2) √ h 𝐻 ( 𝑠) 𝑎 1 (𝑠) =

𝑠 +0.