Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Módulo para la introducción de Matemáticas
Tipo: Diapositivas
1 / 169
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Compilador
Juan Lancioni
Juan Lancioni l Nilda Dumont
Estimados alumnos, bienvenidos a la Universidad Católica de Córdoba. Para comenzar esta nueva etapa de estudiantes universitarios, compartiremos estas clases donde vamos a recordar algunos conceptos de la matemática elemental para contar con herramientas que les permitan afrontar desafíos que se les presenten en el futuro.
Pretendemos acompañarlos en la recuperación de estos conocimientos previos y que descubran el para qué y porqué de los mismos, y su aplicabilidad en las diferentes áreas del conocimiento de la carrera universitaria que los formará como futuros profesionales de “Ciencia, Conciencia y Compromiso”.
Hemos elaborado estas clases comenzando desde un nivel elemental, el cual se irá complejizando a medida que avancemos. También hemos pensado en ayudarlos con algunos interrogantes para recordar conceptos y modos de trabajar, por lo que es fundamental que leamos con detenimiento y esmero cada una de las consignas y/o ejercicios.
Estamos seguros que abordando este material con responsabilidad y esfuerzo, se pueden resolver por cuenta propia las actividades de cada clase y así autoevaluarse con las respuestas correspondientes y reconocer las propias capacidades.
Lo importante es el trabajo individual para analizar y resolver los temas propuestos. Esto permitirá recuperar razonamiento lógico, hábitos de estudio, habilidad en el manejo de resolución de problemas y lenguaje apropiado. Puede suceder que la primera vez que se trate de resolver un ejercicio o problema, no se logre llegar al resultado correcto, no hay que desanimarse, sino comenzar de nuevo, y confiar en sí mismo.
El camino lo haremos juntos, ¡estamos para acompañarlos! Les compartimos un lindo pensamiento para que reflexionemos: “Si das pescado a un hombre hambriento, lo alimentas por un día. Si le enseñas a pescar lo alimentarás para toda la vida”. Lao Tsé (s. IV a.c.) Todo el equipo de docentes que los acompañará en estos días está inspirado en ese pensamiento.
Finalmente, queremos agradecer a todas aquellas personas que confiaron en nosotros para este desafío. En primer lugar a las autoridades de la Universidad y en particular a las autoridades de las Facultades correspondientes. Como conformamos un equipo de profesionales que nos guiaron y corrigieron este trabajo, para ellos también un merecido reconocimiento, como así para los docentes involucrados en esta labor por su apoyo incondicional.
¡¡¡Suerte chicos, y adelante que confiamos en sus capacidades!!!
NILDA ELSA DUMONT
- TITULOS - ∎ BIOQUÍMICA - 1975 Facultad de Ciencias Químicas. Universidad Nacional de Córdoba. ∎ MASTER BUSSINESS ADMINISTRATION - 2001 ESADE. España. - ACTIVIDADES ACADÉMICAS Y PUBLICACIONES - Docente de Matemática I y Matemática II, en la Facultad de Ciencias Químicas. U.N.C. 1973-1994.
Docente de Análisis Matemático I y Análisis Matemático II, en la Facultad Regional Córdoba. U.T.N. 1985-1998.
Docente de Análisis Matemático, en la Facultad de Ciencias Económicas y de Administración. U.C.C. 1975-Continuo.
Docente de Matemática I, Matemática II y Bioestadística, en la Facultad de Ciencias Químicas. U.C.C. 1995-Continuo.
Docente de Estadística en post grado, en la Maestría en Alimentos. Facultad de Ciencias Químicas. U.C.C. 1998-1999-2001.
Miembro de la Comisión de Autoevaluación para CONEAU. Facultad de Ciencias Químicas. U.C.C. 2004-2008-2014.
Coordinadora de Área Básica. Facultad de Ciencias Químicas. U.C.C.1998- hasta la actualidad.
Coordinadora Área Matemática. Facultad de Ciencias Económicas y de Administración. U.C.C. 1986-2001.
Miembro del consejo de Profesores. Facultad de Ciencias Económicas y de Administración. U.C.C. desde 2004- hasta la actualidad.
Autora del libro “Introducción a la Matemática. Aprendiendo a pensar”. 1ª Ed.
Autora del libro “Introducción a la Matemática. Aprendiendo a pensar”. 2ª Ed. 2010. Córdoba. Editorial Universidad Católica de Córdoba, 2011.ISBN: 978-987-626-006-0.
Importante
Texto de profundización
Actividad
Bibliografía
Para pensar y reflexionar
Actividad individual
Unir conceptos
Relacionar
Sobre la utilización de este material.
Programa de Ingreso - UCC 10
Iniciemos la clase 1 recordando qué es un conjunto: “es una colección de objetos, cada uno de los cuales recibe el nombre de elemento del conjunto”. Si esos elementos son números, entonces se los denomina “conjuntos numéricos”. Los números reales 0, 1, 2, 3, etc. se denominan números naturales N. Son los que habitualmente usamos para contar. Para su representación gráfica se utiliza una recta donde se considera un punto cualquiera como el origen 0 (cero) y se utiliza un segmento arbitrario como unidad.
0 1 2 3
Cabe aclarar que algunos autores no consideran el cero (0) dentro del conjunto de los números naturales y otros sí, lo incluyen. Nosotros adoptamos la segunda posición, es decir, incluir el cero (0) dentro del conjunto de los números naturales: “Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cualesquiera, el resultado siempre es otro número natural. Por ej:
En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre es un número natural. Por ej:
son números naturales, pero:
no dan como resultado un número natural”. (Arya -Larder, 2009)
Para salvar esta dificultad se extiende el sistema de los números naturales al sistema de los números enteros Z , en donde se les agrega a los naturales los enteros negativos , es decir, los naturales precedidos por el signo menos. Si utilizamos la misma recta anterior, y teniendo en cuenta que cada número negativo equidista del origen, respecto de su correspondiente número natural, podemos representarlos de la siguiente manera:
9 3 27
8 5 13
⋅ =
9 3 3
8 3 5
÷ =
− =
5 8
2 7
− =
÷ =
...
...
Conjuntos numéricos
los números reales
Programa de Ingreso - UCC 11
-2 -1 0 1 2
Si bien con esto se resuelve que la suma, multiplicación o resta de dos enteros cualesquiera es otro entero, ¿qué ocurre con la división?. Por ejemplo:
Esta limitación la podemos salvar incorporando nuevos números como los números racionales Q. Se definen a los números racionales como fracciones periódicas o no periódicas; o también como el cociente de dos números enteros, a/b, en donde: “a” y “b” siendo enteros, representan el numerador y el denominador de esa fracción. Por ejemplo:
Pero cuidado, ¡“b” debe ser siempre distinto de cero! Cuando en las divisiones de números enteros, el dividendo no es múltiplo del divisor, surge este nuevo conjunto. Un número fraccionario también puede escribirse como una expresión decimal. Ésta puede ser finita o infinita. Esto es:
Expresión decimal finita.
Expresión decimal infinita.
Estos números fraccionarios pueden representarse sobre la recta, construyendo las fracciones sobre la misma, como se muestra a continuación.
Recordemos que el numerador de la fracción indica la cantidad de unidades que debe tomar sobre la recta y el denominador la cantidad de particiones que se debe realizar sobre ese segmento:
“Estos números son muy usados a la hora de medir longitudes, pesos, voltajes, etc. ¿Sirven los números racionales para medir todas las magnitudes? La respuesta es, no. Este sorprendente hecho fue descubierto por los antiguos
9 7
÷ − = − ÷ =...
;. 3
;^1 9
;^2 3
;^8 4
(^3) − − etc
1 4
= 0 25,
1 3
= 0 333, ...
Programa de Ingreso - UCC 13
En algunas ecuaciones de segundo grado suelen presentarse estos números complejos como raíces de la ecuación cuando el discriminante de la fórmula correspondiente es negativo. ¡Este tema que abordaremos más adelante!
Ahora la pregunta es: ¿todos estos conjuntos numéricos son importantes en Matemática? Si la respuesta es sí, es que nos estamos amigando con esta ciencia formal y de hecho, ¡haremos uso de ellos en todo momento, si hacemos camino en alguna carrera de Ingeniería o de Ciencias Económicas! ¿Vamos por más?
OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS
Se entiende por operaciones básicas: la suma, la sustracción, el producto y el cociente, aunque no son las únicas. Lo que debe tener presente en cada caso son las reglas de los signos correspondientes, que se detallan y especifican a continuación:
∎ Un signo (+) que precede a un paréntesis, corchete o llave, no cambia los signos interiores. Por ej:
∎ Un signo (-) que antecede a un paréntesis, corchete o llave, cambia los signos interiores. Por ej:
El siguiente ejercicio plantea las operaciones básicas (suma y resta) con el conjunto de los números enteros:
Observemos cómo fue resuelto:
− 6 −{ 2 +[− 9 + 4 −( − 7 + 1 )− 2 ] }+ 5 =
Programa de Ingreso - UCC 14
También podemos calcular el resultado parcial de los elementos encerrados en el paréntesis, respetando el signo que lo antecede, y así sucesivamente con el corchete y llave. Observemos el ejemplo:
Para resolver los siguientes ejercicios elegiremos la manera con la que nos sintamos más seguros. Usaremos las respuestas para la autoevaluación.
En el caso del producto, se cumple:
Por ejemplo:
Programa de Ingreso - UCC 16
Analicemos a continuación varios ejemplos válidos y no válidos:
En estos ejercicios conviene separar en términos a la hora operar matemáticamente:
o bien: es lo mismo que:
pero no vale hacer:
Observemos detenidamente el siguiente ejemplo y nuevamente notaremos la importancia del uso de paréntesis y/o corchetes. Recordemos que no se debe escribir dos signos seguidos. Estos deben estar separados por alguna de estas herramientas: paréntesis, corchetes, etc.
Los siguientes ejercicios combinan todas las operaciones elementales con los conjuntos de números presentados hasta ahora.
No olvidemos respetar todos los conceptos anteriores para lograr el resultado correcto. Como en los ejercicios anteriores, usaremos las respuestas para autoevaluarnos.
( (^ ))
2 4 6 2 10 20 3 2 4 6 4 2
⋅ + = ⋅ = ⋅ − + = − + = −
( ) 6 4 2
8 2 4
3 2
− = 8 2 3 2
− = ⋅ 4
2 1 3
7 3
= 2 1 7 3
≠ ⋅ 3
72 18: (^) [ + −( 2 3 ). (^) ] − (^) [ 4. ( − 5 ) − 9 3: ]=
72 18: (^) [ − (^6) ] − −[ 20 − (^3) ]=
[ 72 12:^ ]^ − −[ 23 ]= 6 + 23 = 29
Programa de Ingreso - UCC 17
Hemos avanzado hasta esta instancia; nos podemos formular otra pregunta: ¿existen otras operaciones básicas del álgebra elemental que se pueden realizar con los conjuntos numéricos? Si la respuesta es afirmativa, ¡podemos seguir avanzando!
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Las operaciones de bastante relevancia usando números reales tienen que ver con raíces y potencias. En general algunas de las propiedades más usadas son:
m n n
m
m n mn
a a
a
a a a −
=
⋅ = (^ )
n
n n
m n mn
a a
a
a a 1 1 =
=
= −
1
.
(^0) =
= ⋅
a
a bn an bn
0 0 = ind. matematica
n (^) a b ⋅ = n (^) a ⋅ nb a b
a b
n
n = n
Programa de Ingreso - UCC 19
En base a los ejemplos brindados en el párrafo anterior, resolveremos los siguientes ejercicios. Las respuestas las utilizaremos para autoevaluarnos.
SÍMBOLOS DE COMPARACIÓN
Con estos símbolos se forman desigualdades y tienen mucho uso para realizar comparaciones. Básicamente estos símbolos son cuatro: > mayor; < menor; > mayor e igual; < menor e igual.
Por ejemplo:
Más adelante trabajaremos con desigualdades al solo efecto de comparar un miembro con otro de la desigualdad. En un curso de Matemática del grado, es decir, en primer año de nuestra carrera nos propondrán transponer elementos de un miembro a otro de una desigualdad y para ello nos ofrecerán las reglas pertinentes.
4 = 2
Programa de Ingreso - UCC 20
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN
MÚLTIPLO
En los conceptos de M.C.D. y m.c.m., se utiliza la descomposición de números en sus factores primos. Las definiciones en cada caso son: M.C.D.: es el producto de los factores primos comunes elevados al mínimo exponente. m.c.m.: es el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al máximo exponente.
A modo de ejemplo, se pide calcular el M.C.D. y el m.c.m. entre los números: 48, 280 y 720.
