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Es una investigación de los Movimiento Rectilíneo y Curvilíneo
Tipo: Apuntes
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En el caso de un movimiento rectilíneo, el parámetro arco no es más que la distancia medida sobre la recta en que se desplaza la partícula, de forma que la posición, velocidad y aceleración en cualquier instante se pueden escribir como Puesto que la elección de ejes de coordenadas es arbitraria, si estamos estudiando el movimiento rectilíneo de una sola partícula, podemos tomar el eje X como la recta soporte del movimiento y reducir la descripción a una escalar 1.2.1. Desplazamiento, velocidad y aceleración. Desplazamiento Se define como el cambio en la posición de un objeto. Se puede definir de manera matemática con la siguiente ecuación. desplazamiento=Δx=xf− x 0 xf se refiere al valor de la posición inicial. x 0 se refiere al valor de la posición inicial. Δx es el símbolo que se usa para representar el desplazamiento. El desplazamiento es un vector. Esto significa que tiene tanto una dirección como una magnitud y se representa de manera visual como una flecha que apunta de la posición inicial a la posición final. Por ejemplo, considera a la profesora que camina en relación con el pizarrón en la Figura 1.
Figura 1: La posición inicial de la profesora es x0 =1,5 y su posición final es xf=3,5m. Entonces, su desplazamiento se puede encontrar como sigue: Δx=xf−x0=3,5 m−1,5 m=+2,0 m. En este sistema de coordenadas, el movimiento hacia la derecha es positivo, mientras que el movimiento hacia la izquierda es negativo.
Es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo. Se la representa por V. Sus dimensiones son L/T (Longitud/Tiempo). Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s.
Se define la velocidad media como el cociente entre el desplazamiento en un intervalo de tiempo y la duración de dicho intervalo
Matemáticamente, esto quiere decir que la velocidad instantánea es la derivada respecto al tiempo del vector de posición. En mecánica, una derivada respecto al tiempo suele representarse con un punto sobre la magnitud. De esta definición se deduce que: ➢ La velocidad instantánea es un vector: posee módulo, dirección y sentido. ➢ Las unidades de la velocidad instantánea son la de una distancia dividida por un tiempo, en el SI m/s, aunque otras unidades como km/h son de uso frecuente. ➢ La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto.
A diferencia de la velocidad, la aceleración puede formar un ángulo cualquiera con la trayectoria. Podemos escribir entonces el vector aceleración como suma de dos componentes, una en la dirección de movimiento, tangente a la velocidad, y un resto perpendicular a ella. Estas dos componentes se denominan aceleración tangencial y aceleración normal. Estas son las denominadas componentes intrínsecas de la aceleración. Hay que destacar que la aceleración tangencial y la normal son vectores, no cantidades escalares. No obstante, también se denominan usualmente de la misma manera a las componentes escalares, dado por supuesto la dirección y el sentido. Podemos obtener una expresión para la aceleración tangencial proyectando la aceleración sobre el vector tangente, unitario en la dirección de la velocidad Conocida la aceleración y calculada la aceleración tangencial, podemos hallar la aceleración normal simplemente restando
o bien directamente multiplicando vectorialmente dos veces por el vector velocidad
La celeridad es la cantidad que nos informa del ritmo con el que se recorre la trayectoria. En particular, cuando la trayectoria (cualquiera que ésta sea) se recorre con rapidez constante, el movimiento se denomina movimiento uniforme. Así, por ejemplo, un movimiento circular uniforme no es un movimiento a velocidad constante, ya que, aunque su módulo no varíe, su dirección y sentido cambian a lo largo de la trayectoria. Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando Otro caso particular de movimiento es el que tiene aceleración nula. En este caso En el caso de una velocidad constante, el movimiento resultante es siempre rectilíneo y uniforme.
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración
gráficamente. Un caso particular de movimiento rectilíneo es aquel en que la aceleración es una constante y sus ecuaciones son:
a =cte
Aceleración en caída libre Si en este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado. La aceleración instantánea debida sólo a la gravedad es independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer un coche y una pluma, ambos cuerpos tendrán la misma aceleración, que coincide con la aceleración de la gravedad (g). Cuando la caída libre tiene lugar en el seno de un fluido como el aire, hay que considerar las fuerzas viscosas que actúan sobre el cuerpo. Aunque técnicamente la caída ya no es libre, desarrollaremos en adelante las ecuaciones incluyendo el término aerodinámico excepto en los casos en los que no proceda (por ejemplo, espacio exterior). ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAÍDA LIBRE: Si la velocidad es diferente a cero: Vf² = Vo² + 2 • g • y Vf =Vo + g • y Y =Vo • t + g • t² / 2 Si la velocidad es igual a 0, las ecuaciones quedarían así: Vf² = 2 •g • y Vf = g • t Y = g • t² / 2
Para calcular la altura la cual se encuentra del suelo: Ys = Yo - Yf Vf = Velocidad final Vo = Velocidad inicial g = Gravedad (9.8 m/seg²) Y = Altura t = Tiempo Ys = Altura del suelo
Se deja caer un objeto desde un edificio de 300 m de altura. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad con que lo hace. Solución al ejercicio
Ejemplo 131. El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t 2
El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección normal un. Como vemos en la figura las componentes del vector unitario ut u son t Su derivada es El vector aceleración es Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente Esta última fórmula, la obtuvimos de una forma más simple para una partícula que describía un movimiento circular uniforme. Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez. ➢ Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial. ➢ Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal. ➢ Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal. 1.3.2. Movimiento de Proyectiles El movimiento del proyectil es la composición de dos movimientos, uniforme a lo largo del eje X, y uniformemente acelerado a lo largo del eje Y.
Descripción Conocidas las coordenadas del blanco x e y, y la velocidad de disparo v0, se despejará el ángulo de tiro q. Las componentes de la velocidad inicial son Las ecuaciones del movimiento del proyectil son Conocida la posición (x, y) del blanco, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y q. Eliminando t, y empleando la relación trigonométrica nos queda una ecuación de segundo grado en tanq La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, por tanto, dos ángulos de tiro dan en el blanco
o gráficamente, en la representación de ω en función de t. Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme. Movimiento circular uniformemente acelerado Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración α aceleración es constante. Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad angular ω - ω0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente. ω−ω0=α(t−t0)
Dada la velocidad angular ω en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento θ - θ0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando θ−θ0=ω0(t−t0)+1/2α(t−t0) Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. α=cte ω=ω0+α t θ=θ0+ω0t+1/2α t Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ−θ ω2=ω20+2α(θ−θ0)
