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Unidad 6. Números complejos
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REFLEXIONA Y RESUELVE
Extraer fuera de la raíz
■ Saca fuera de la raíz:
a) b)
a) = = 4 b) = 10
Potencias de
■ Calcula las sucesivas potencias de :
a) ( )^3 = ( )^2 ( ) = … b) ( )^4 c) ( )^5
a) ( )^3 = ( )^2 ( ) = (–1) · = –
b) ( )
) 2 ( )
c) ( )^5 = ( )^4 ·^ = 1 · =
¿Cómo se manejak ·?
■ Simplifica.
a) –2 + 11 – 8 –
b) 5 + 2 – 10 + 3
c) 8 + – –
a) –2 + 11 – 8 – = 0 · = 0
b) 5 + 2 – 10 + 3 = 0
c) 8 + – – = + – – = √–
)^ √–
√ –
√ –
NÚMEROS COMPLEJOS
Expresiones del tipo a +b ·
■ Simplifica las siguientes sumas:
a) (–3 + 5 ) + (2 – 4 ) – (6 )
b) (–5) (5 + ) – 2 (1 – 6 )
a) (–3 + 5 ) + (2 – 4 ) – (6 ) = –1 – 5
b) (–5)(5 + ) – 2(1 – 6 ) = –3 –
■ Efectúa las siguientes operaciones combinadas:
a) 3 (2 – 4 ) – 6 (4 + 7 )
b) 8(5 – 3 ) + 4(– 3 + 2 )
a) 3(2 – 4 ) – 6(4 + 7 ) = 6 – 12 – 24 – 42 = –18 – 54
b) 8(5 – 3 ) + 4(–3 + 2 ) = 40 – 24 – 12 + 8 = 28 – 16
Multiplicaciones
■ Efectúa las siguientes multiplicaciones:
a) (4 – 3 ) · b) (5 + 2 ) · 8
c) (5 + 2 ) (7 – 3 ) d) (5 + 2 ) (5 – 2 )
a) (4 – 3 ) · = 4 – 3( )^2 = 4 – 3 (–1) = 3 + 4
b) (5 + 2 ) · 8 = 40 + 16( )^2 = –16 + 40
c) (5 + 2 )(7 – 3 ) = 35 – 15 + 14 – 6( )^2 = 35 + 6 – = 41 –
d) (5 + 2 )(5 – 2 ) = 25 – 10 + 10 – 4( )^2 = 25 + 4 = 29
Ecuaciones de segundo grado
■ Resuelve:
a) x^2 + 10 x + 29 = 0 b) x^2 + 9 = 0
a) x^2 + 10 x + 29 = 0 8 x = = = =
b) x^2 + 9 = 0 8 x^2 = –9 8 x = ± = ±
x 1 = 3√
x 2 = –3√
x 1 = –5 + 2√
x 2 = –5 – 2√
–10 ± 4^ √–
–10 ±^ √–
–10 ±^ √100 – 116
√ –
Unidad 6. Números complejos
c) z^2 = –9 8 z = ± = ±3 i
z 1 = –3 i , z 2 = 3 i
d) z^2 = 9 8 z = ± z 1 = –3, z 2 = 3
3. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:
a) 3 – 5 i b) 5 + 2 i c) –1 – 2 i d) –2 + 3 i
e) 5 f) 0 g) 2 i h) –5 i
a) Opuesto: –3 + 5 i Conjugado: 3 + 5 i
b) Opuesto: –5 – 2 i Conjugado: 5 – 2 i
–5 – 2 i
5 + 2 i
5 – 2 i
–3 + 5 i 3 + 5 i
3 – 5 i
–3 3
3 i
–3 i
Unidad 6. Números complejos
c) Opuesto: 1 + 2 i Conjugado: –1 + 2 i
d) Opuesto: 2 – 3 i Conjugado: –2 – 3 i
e) Opuesto: – Conjugado: 5
f) Opuesto: 0 Conjugado: 0
g) Opuesto: –2 i Conjugado: –2 i
h) Opuesto: 5 i Conjugado: 5 i 5 i
–5 i
2 i
–2 i
0
–5 5
–2 + 3 i
–2 – 3 i 2 – 3 i
–1 – 2 i
–1 + 2 i 1 + 2 i
Unidad 6. Números complejos
UNIDAD 6
h) = = = =
= = – i = – i
i) = = = = =
= + i
j) = = = =
= = + i
k) = = = –4 i – 2 = –2 – 4 i
l) 6 – 3 (^) (5 + i ) = 6 – 15 + i = –9 + i
m) = = = =
= = + i = + i
2. Obtén polinomios cuyas raíces sean:
a) 2 + i y 2 – i b) – 3 i y 3 i c) 1 + 2 i y 3 – 4 i (Observa que solo cuando las dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales).
a) [ x – (2 + i )] [ x – (2 – i )] =
= [( x – 2) – i ] [( x – 2) + i ] = ( x – 2)^2 – ( i )
2
= x^2 – 4 x + 4 – 3 i^2 = x^2 – 4 x + 4 + 3 = x^2 – 4 x + 7
b) [ x – (–3 i )] [ x – 3 i ] = [ x + 3 i ] [ x – 3 i ] = x^2 – 9 i^2 = x^2 + 9
c) [ x – (1 + 2 i )] [ x – (3 – 4 i )] = [( x – 1) – 2 i ] [( x – 3) + 4 i ] = = ( x – 1) ( x – 3) + 4 ( x – 1) i – 2 ( x – 3) i – 8 i^2 = = x^2 – 4 x + 3 + (4 x – 4 – 2 x + 6) i + 8 = x^2 – 4 x + 11 + (2 x + 2) i = = x^2 – 4 x + 11 + 2 ix + 2 i = x^2 + (–4 + 2 i ) x + (11 + 2 i )
18 + 54 i 8
–18 + 54 i + 36 4 + 4
–18 + 18 i + 36 i – 36 i^2 4 – 4 i^2
(–9 + 18 i ) (2 – 2 i ) (2 + 2 i ) (2 – 2 i )
–9 + 18 i (2 + 2 i )
–9 (1 – 2 i ) (2 + 2 i )
9 i^2 (1 – 2 i ) (2 + 2 i )
(–3 i )^2 (1 – 2 i ) (2 + 2 i )
–4 i + 2 i^2 1
(4 – 2 i ) (– i ) i (– i )
4 – 2 i i
23 + 11 i 25
3 + 11 i + 20 9 + 16
3 – 4 i + 15 i – 20 i^2 9 – 16 i^2
(1 + 5 i ) (3 – 4 i ) (3 + 4 i ) (3 – 4 i )
1 + 5 i 3 + 4 i
–11 + 3 i 5
–10 + 3 i – 1 5
–10 + 5 i – 2 i + i^2 4 + 1
(5 + i ) (–2 + i ) (–2 – i ) (–2 + i )
5 + i –2 – i
8 – 32 i 34
–12 – 32 i + 20 9 + 25
–12 – 20 i – 12 i – 20 i^2 9 – 25 i^2
(4 + 4 i ) (–3 – 5 i ) (–3 + 5 i ) (–3 – 5 i )
4 + 4 i –3 + 5 i
Unidad 6. Números complejos
UNIDAD 6
3. ¿Cuánto debe valer x, real, para que (25 – xi ) 2 sea imaginario puro?
(25 – xi )^2 = 625 + x^2 i^2 – 50 xi = (625 – x^2 ) – 50 xi Para que sea imaginario puro: 625 – x^2 = 0 8 x^2 = 625 8 x = ± = ± Hay dos soluciones: x 1 = –25, x 2 = 25
4. Representa gráficamente z (^) 1 = 3 + 2 i, z (^) 2 = 2 + 5 i, z (^) 1 + z (^) 2. Comprueba que z (^) 1 + z (^) 2 es una diagonal del paralelogramo de lados z (^) 1 y z (^) 2.
z 1 + z 2 = 5 + 7 i
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1. Escribe en forma polar los siguientes números complejos:
a) 1 + i b) + i c) –1 + i d) 5 – 12 i e) 3 i f) –
a) 1 + i = 2 (^) 60° b) + i = 2 (^) 30° c) –1 + i = (^) 135°
d) 5 – 12 i = 13 (^) 292° 37' e) 3 i = 390° f) –5 = 5
2. Escribe en forma binómica los siguientes números complejos:
a) 5 (^) ( π /6) rad b) 2 (^) 135º c) 2 (^) 495º d) 3 (^) 240º e) 5 (^) 180º f) 4 (^) 90º
a) 5(π/6) = 5 (^) ( cos + i sen (^) ) = 5 (^) ( + i (^) ) = + i
b) 2 (^) 135° = 2( cos 135° + i sen 135°) = 2 (^) (– + i^ √^2 ) = – √ 2 + √ 2 i 2
π 6
π 6
7 i
i
5 i
z 1 + z 2
z 1
z 2
1 2 3 4 5
Unidad 6. Números complejos
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1. Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica:
a) 1 (^) 150º · 5 (^) 30º b) 6 (^) 45º : 3 (^) 15º c) 2 (^) 10º · 1 (^) 40º · 3 (^) 70º d) 5 (^) (2 π /3)rad : 1 (^) 60º e) (1 – i ) 5 f ) (3 + 2 i ) + (–3 + 2 i )
a) 1 (^) 150° · 530° = 5 (^) 180° = –
b) 645° : 315° = 2 (^) 30° = 2 ( cos 30° + i sen 30°) = 2 (^) ( + i (^) ) = + i
c) 2 (^) 10° · 140° · 370° = 6 (^) 120° = 6 ( cos 120° + i sen 120°) = 6 (^) (– + i (^) ) = –3 + 3 i
d) 5(2π/3)rad : 160° = 5 (^) 120° : 160° = 5 (^) 60° = 5 ( cos 60° + i sen 60°) =
= 5 (^) ( + i (^) ) = + i
e) (1 – i ) 5 = (2 (^) 300°)^5 = 321 500° = 3260° = 32 ( cos 60° + i sen 60°) =
= 32 (^) ( + i (^) ) = 16 + 16 i
f) 4 i = 490º
2. Compara los resultados en cada caso:
a) (230°)^3 , (2150°)^3 , (2270°)^3 b) (2 (^) 60°)^4 , (2150°)^4 , (2270°)^4 , (2330°)^4
a) (230º )^3 = 2 (^3) 3 · 30º = 8 (^) 90º (2150º )^3 = 2 (^3) 3 · 150º = 8 (^) 450º = 8 (^) 90º (2270º )^3 = 8 (^) 3 · 270º = 8 (^) 810º = 8 (^) 90º
b) (260º )^4 = 2 (^4) 4 · 60º = 16240º (2150º )^4 = 16600º = 16240º (2270º )^4 = 161 080º = 160º (2330º )^4 = 161 320º = 16240º
3. Dados los complejos z = 5 (^) 45º , w = 2 (^) 15º , t = 4 i , obtén en forma polar:
a) z · t, b) c) d)
z = 545° w = 2 (^) 15° t = 4 i = 4 (^) 90°
z · w^3 t
z^3 w · t^2
z w^2
Unidad 6. Números complejos
a) z · w = 1060°
b) = = = (^) ( ) 15°
c) = = (^) ( ) –60°
= (^) ( ) 300°
d) = = 100° = 10
4. Expresa cos 3 a y sen 3 a en función de sen a y cos a utilizando la fórmula de Moivre. Ten en cuenta que: ( a + b ) 3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3
(1a)^3 = 1 ( cos a + i sen a)^3 =
= cos^3 a + i 3 cos^2 a sen a + 3 i^2 cos a sen^2 a + i^3 sen^3 a =
= cos^3 a + 3 cos^2 a sen a i – 3 cos a sen^2 a – i sen^3 a =
= ( cos^3 a – 3 cos a sen^2 a) + (3 cos^2 a sen a – sen^3 a) i
Por otra parte: (1a)^3 = 1 (^3) a = cos 3 a + i sen 3 a
Por tanto: cos 3 a = cos^3 a – 3 cos a sen^2 a
sen 3 a = 3 cos^2 a sen a – sen^3 a
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1. Halla las seis raíces sextas de 1. Represéntalas y exprésalas en forma binómica.
= = 1 (^) (360° · k )/6 = 1 (^) 60° · k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
(^1) 0° = 1 (^1) 60° = + i (^1) 120° = – + i
(^1) 180° = –1 (^1) 240° = – – i (^1) 300° = – i
Representación:
1
6
6
z · w^3 t
z^3 w · t^2
z (^4) 30º
z w^2
Unidad 6. Números complejos
UNIDAD 6
c) = = 5 (^) (180° + 360° k )/2 = 5 (^) 90° + 180° k ; k = 0, 1
Las dos raíces son: (^5) 90° = 5 i ; (^5) 270° = –5 i
d)
3
3 = = (^) (75° + 360° k )/3 = (^) 25° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son: (^) 25°; (^) 145°; (^) 265°
4. Resuelve las ecuaciones:
a) z^4 + 1 = 0 b) z^6 + 64 = 0
a) z^4 + 1 = 0 8 z = = = 1 (^) (180° + 360° k )/2 = 1 (^) 45° + 90° k ; k = 0, 1, 2, 3
Las cuatro raíces son:
(^1) 45° = + i ; (^1) 135° = – + i ; (^1) 225° = – – i ; (^1) 315° = – i
b) z^6 + 64 = 0 8 z = = = 2(180° + 360° k )/6 = 230° + 60° k ; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Las seis raíces son:
(^2) 30° = 2 (^) ( + i (^) ) = + 1 (^2) 90° = 2 i
(^2) 150° = 2 (^) (– + i (^) ) = – + i (^2) 210° = 2 (^) (– – i (^) ) = – – i
(^2) 270° = –2 i (^2) 330° = 2 (^) ( – i (^) ) = – i
5. Comprueba que si z y w son dos raíces sextas de 1, entonces también lo son los resultados de las siguientes operaciones: z · w , z / w , z^2 , z^3
z y w raíces sextas de 1 8 z^6 = 1, w^6 = 1 ( z · w )^6 = z^6 · w^6 = 1 · 1 = 1 8 z · w es raíz sexta de 1.
( )
6 = = = 1 8 es raíz sexta de 1.
z^2 = ( z^2 )^6 = z^12 = ( z^4 )^3 = 1 3 = 1 8 z^2 es raíz sexta de 1.
z^3 = ( z^3 )^6 = z^18 = z^16 · z^2 = ( z^4 )^4 · z^2 = 1 4 · 1^2 = 1 · 1 = 1 8 z^3 es raíz sexta de 1.
z w
z^6 w^6
z w
6
6
4
4
6
6
6
6
6
3 √√
— (^2) 75° √
√ (^2) 60°
–2 + 2 i 1 + (^) √
3 i
Unidad 6. Números complejos
UNIDAD 6
6. El número 4 + 3 i es la raíz cuarta de un cierto número complejo, z****. Halla las otras tres raíces cuartas de z****. 4 + 3 i = 5 (^) 36° 52'
Las otras tres raíces cuartas de z serán: (^5) 36° 52' + 90° = 5 (^) 126° 52' = –3 + 4 i
(^5) 36° 52' + 180° = 5 (^) 216° 52' = –4 – 3 i
(^5) 36° 52' + 270° = 5 (^) 306° 52' = 3 – 4 i
7. Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones:
a) b) c)
d) e) f )
a) = = 3 (^) (180° + 360° k )/2 = 3 (^) 90° + 180° k ; k = 0, 1
Las dos raíces son: (^3) 90° = 3 i ; (^3) 270° = –3 i
b) = = 3 (^) (180° + 360° k )/3 = 3 (^) 60° + 120° k ; k = 0, 1, 2
Las tres raíces son:
z 1 = 3 (^) 60° = 3 ( cos 60° + i sen 60°) = 3 (^) ( + i (^) ) = + i
z 2 = 3 (^) 180° = –
z 3 = 3 (^) 300° = 3 ( cos 300° + i sen 300°) = 3 (^) ( – i (^) ) = – i
z 1
z 2
z 3
3
3
–3 i
3 i
3
√ 8 i
√ i
(^3) 1 – i √ 1 + i
3
√ 2 – 2 i
3
3
Unidad 6. Números complejos
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LENGUAJE MATEMÁTICO
1. Pon la ecuación o inecuación que caracteriza los siguientes recintos o líneas:
Describe con palabras cada una de las familias (“son los números complejos cuya parte real vale …”) y da un representante de cada una de ellas. a) Re z = 3 b) –1 Ì Im z < 3 c) | z | = 3 d) | z | > 2 e) Arg z = 90°
2. Representa:
a) Re z = –3 b) Im z = 0 c) 3 < Re z ≤ 5 d) | z | ≥ 4 e) Arg z = 180°
a) b)
c) d)
e)
a) b) c) d) e)
Unidad 6. Números complejos
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Números complejos en forma binómica
1 Calcula:
a) (3 + 2 i ) (2 – i ) – (1 – i ) (2 – 3 i ) b) 3 + 2 i (–1 + i ) – (5 – 4 i )
c) –2 i – (4 – i )5 i d) (4 – 3 i ) (4 + 3 i ) – (4 – 3 i ) 2
a) (3 + 2 i ) (2 – i ) – (1 – i ) (2 – 3 i ) = 6 – 3 i + 4 i – 2 i^2 – 2 + 3 i + 2 i – 3 i^2 = = 6 – 3 i + 4 i + 2 – 2 + 3 i + 2 i + 3 = 9 + 6 i
b) 3 + 2 i (–1 + i ) – (5 – 4 i ) = 3 – 2 i + 2 i^2 – 5 + 4 i = 3 – 2 i – 2 – 5 + 4 i = –4 + 2 i
c) –2 i – (4 – i )5 i = –2 i – 20 i + 5 i^2 = –22 i – 5 = –5 – 22 i
d) (4 – 3 i ) (4 + 3 i ) – (4 – 3 i ) 2 = 16 – (3 i )^2 – 16 – 9 i^2 + 24 i = = 16 + 9 – 16 + 9 + 24 i = 18 + 24 i
2 Calcula en forma binómica:
a) b)
c) (1 – i ) d) +
a) = = = =
= = = 3 + 6 i
b) = = = =
= = = = – i
c) (1 – i ) = = = =
= = = + 23 i 13
15 + 23 i 13
21 + 14 i + 9 i – 6 9 + 4
(7 + 3 i ) (3 + 2 i ) (3 – 2 i ) (3 + 2 i )
7 + 3 i 3 – 2 i
2 – 2 i + 5 i + 5 3 – 2 i
2 + 5 i 3 – 2 i
9 – 7 i 20
18 – 14 i 40
12 + 4 i – 18 i + 6 36 + 4
(–2 + 3 i ) (–6 – 2 i ) (–6 + 2 i ) (–6 – 2 i )
–2 + 3 i –6 + 2 i
–2 + 3 i –4 + 4 i – 2 i – 2
–2 + 3 i (4 + 2 i ) (–1 + i )
24 + 48 i 8
36 + 36 i + 12 i – 12 4 + 4
(18 + 6 i ) (2 + 2 i ) (2 – 2 i ) (2 + 2 i )
18 + 6 i 2 – 2 i
12 – 6 i + 12 i – 6 i^2 2 – 2 i
(3 + 3 i ) (4 – 2 i ) 2 – 2 i
–3 – 2 i 1 + 3 i
1 + i 2 – i
2 + 5 i 3 – 2 i
–2 + 3 i (4 + 2 i ) (–1 + i )
(3 + 3 i ) (4 – 2 i ) 2 – 2 i
PARA PRACTICAR
Unidad 6. Números complejos
UNIDAD 6
4 Calcula: a) i^37 b) i^126 c) i –7^ d) i^64 e) i –
a) i^37 = i^1 = i b) i^126 = i^2 = –
c) i –7^ = = = i d) i^64 = i^0 = 1
e) i –216^ = = = = 1
5 Dado el número complejo z = –^ + i , prueba que:
a) 1 + z + z^2 = 0 b) = z^2
a) z^2 = (^) (– + i )
2 = + i^2 – i = – – i =
= – – i = – – i
1 + z + z^2 = 1 + (^) (– + i ) + (^) (– + i ) = 1 – + i – – i = 0
b) = = = = =
= = = = – – i
z^2 = – – i (lo habíamos calculado en a)
Por tanto: = z^2
Igualdad de números complejos
6 Calcula m y n para que se verifique la igualdad (2 + mi ) + ( n + 5 i ) = 7 – 2 i****.
(2 + mi ) + ( n + 5 i ) = 7 – 2 i
(2 + n ) + ( m + 5) i = 7 – 2 i 8 n^ = 5 m = –
2 + n = 7 m + 5 = –
z
–1 – √ 3 i
2 (–1 – √ 3 i ) 4
2 (–1 – √ 3 i ) 1 + 3
2 (–1 – √ 3 i ) (–1 + √
3 i ) (–1 – √
3 i )
3 i
3 i ———–— 2
z
z
i^0
i^216
–i
i^7
Unidad 6. Números complejos
UNIDAD 6
7 Determina k para que el cociente sea igual a 2 – i****.
= (^) ( ) + (^) ( ) i = 2 – i 8
Por tanto, k = 3.
8 Calcula a y b de modo que se verifique:
( a + bi ) 2 = 3 + 4 i ☛ Desarrolla el cuadrado; iguala la parte real a 3, y la parte imaginaria a 4.
( a + bi )^2 = 3 + 4 i a^2 + bi^2 + 2 abi = 3 + 4 i
a^2 – b^2 + 2 abi = 3 + 4 i 8
b = =
a^2 – (^) ( )
2 = 3 8 a^2 – = 3 8 a^4 – 4 = 3 a^2 8 a^4 – 3 a^2 – 4 = 0
a^2 = =
a = –2 8 b = – a = 2 8 b = 1
9 Dados los complejos 2 – ai y 3 – bi , halla a y b para que su producto sea igual a 8 + 4 i****.
(2 – ai ) (3 – bi ) = 8 + 4 i 6 – 2 bi – 3 ai + abi^2 = 8 + 4 i 6 – 2 bi – 3 ai – ab = 8 + 4 i (6 – ab ) + (–2 b – 3 a ) i = 8 + 4 i
b = 4 + 3 a
6 – ab = 8 –2 b – 3 a = 4
a^2 = 4 8 a = ± a^2 = –1 (no vale)
a^2
a
a
2 a
a^2 – b^2 = 3 2 ab = 4
1 – k 2
k + 1 2
( k + 1) + (1 – k ) i 2
k – ki + i + 1 1 + 1
( k + i ) (1 – i ) (1 + i ) (1 – i )
k + i 1 + i
k + i 1 + i
Unidad 6. Números complejos
= 2 8 k = 3
= –1 8 k = 3 1 – k 2
k + 1 2
