Números complejos (números imaginarios), Diapositivas de Álgebra Lineal

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Numeros complejos.

Ing. David Mercado García

Los números complejos surgen al resolver

ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular

raíces cuadradas de números negativos.

Por ejemplo:

Si las soluciones son: 3, -

Pero:

Si las soluciones son: ?,?

Las soluciones de esta ecuación están en R

Las soluciones de esta ecuación están en R

Los cuadrados de números reales nunca son negativos

Los cuadrados de números reales nunca son negativos

Para resolver la última ecuación, se necesita el sistema de números complejos C, que contiene tanto a R como a los números cuyos cuadrados son negativos

Nota^ Nota

R es el conjunto de los números reales y C es el conjunto de los números complejos

R es el conjunto de los números reales y C es el conjunto de los números complejos

Se puede pensar que:

Lo cual es incorrecto

Para evitar dificultades:

Lo cual es correcto

El signo radical debe usarse con precaución cuando el radicando sea negativo; por ejemplo, la fórmula:

que se cumple para números reales positivos, no es cierta cuando a y b son ambos negativos

2

   i i  i 

a b  ab

Un número complejo dado en forma

rectangular se expresa como:

a + bi

bi es la parte imaginaria

a es la parte real

Ejemplo

Este ejemplo muestra una gráfica con diferentes números complejos, y fue realizado en Mathcad, preste atención a la forma de escritura y graficación de los números complejos que se presentan.

Operaciones algebraicas con números

complejos

a + bi^ a + bi^ c + dic + di

(a  c)+(b  d)i

(a  c)+(b  d)i

a + bi^ a + bi^ c + dic + di^ (ac - bd) + (ad + bc)i(ac - bd) + (ad + bc)i

Importante^ Importante^

i i i i i

i i

i i i i i

i

  

   

    

 

1

( ) ( 1 ) 1

( 1 )

1 ,

5 4

4 2 2 2

3 2

2

Ejercicios

Exprese en función de i

Represente las expresiones dadas algebraica y gráficamente

Efectúe cada una de las operaciones indicadas y simplifique

) 4 81 3 36 4 25 2

a ) 2  49 b ) ^4 ^ ^4 c    

d ) ( 3  2 i )( 2  3 i ) e ) ( 2  i )( 4  5 i )

i

i i i i k i i

j i

i i

f i g h i i

2 3 4

2

Definición de valor absoluto de un número

complejo

Si z = a + bi es un número complejo, entonces su valor absoluto, denotado por |a + bi|, es

El valor absoluto de un número complejo es la distancia entre el origen de un plano complejo y el punto (a,b) que corresponde a z = a + bi