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PROBLEMAS 423
■ PRO BLEMAS
Un asterisco en el número del problema indica que al fi nal del libro se proporciona al menos una respuesta parcial.
10.2-1. Con si de re la siguiente red en la que cada nú me ro jun to a una trayectoria repre sen ta la dis tan cia real entre el par de nodos que conec- ta. El ob je tivo es en con trar la ru ta más cor ta del ori gen al desti no.
(origen) B (destino)
C
A
D
E
T
O^6
f * 3 ( D ) 6
f * 3 ( E ) 7
f * 2 ( C ) 13
f * 2 ( A ) 11
a ) ¿Cuáles son las etapas y los estados para la formulación de pro- gramación dinámica de este problema? b ) Uti li ce pro gra ma ción di ná mi ca pa ra re sol ver el pro ble ma, pe ro en lugar de emplear las tablas usuales muestre el traba jo en una grá fica (si mi lar a la figu ra 10.2). En par ti cu lar, comien ce con la red dada, en la que se propor cio nan los va lo res de f (^) n^ *( sn ) de cuatro de los nodos; después encuen tre f (^) 2 *( B ) y f (^) 1 *( O ). Dibuje una punta de fle cha pa ra indicar la trayectoria óptima que debe to mar se al
sa lir de es tos úl ti mos dos nodos. Por últi mo, iden ti fique la ruta óp ti ma con las fl e chas des de el nodo O has ta el no do T. c ) Utilice programación dinámica para resolver este problema; construya a mano las tablas usuales para n 5 3, n 5 2 y n 5 1. d ) Utilice el algoritmo de la ruta más corta que se presentó en la sección 9.3 para resolver este problema. Compare este enfoque con el de los incisos b ) y c ).
10.2-2. El gerente de ventas de una editorial de libros de texto uni- ver si ta rios tie ne seis agentes de ventas que puede asignar a tres regio- nes distintas del país. Ha deci di do que cada región debe tener por lo menos un agente y que cada uno de éstos debe quedar res trin gi do a una de estas regio nes, pe ro aho ra quie re de ter mi nar cuán tos agen tes de be asig nar a las respec tivas regio nes con el fin de maxi mi zar las ven tas. La tabla de la parte superior de la siguien te co lum na da el incre- men to es ti ma do de las ven tas en cada región (en las uni da des apro pia- das) si se le asignan di fe ren tes can ti da des de agentes:
Región
Agente de ventas 1 2 3
1 40 24 32 2 54 47 46 3 78 63 70 4 99 78 84
424 CAPÍTULO 10 PROGRAMACIÓN DINÁMICA
a ) Uti li ce pro gra ma ción di ná mi ca pa ra re sol ver es te pro ble ma. En lugar de usar las tablas nor ma les, mues tre su tra ba jo con una grá- fica de una red similar a la del problema 10.2-1. Haga lo mismo que en el proble ma 10.2-1 b pa ra ob te ner f (^) n^ *( sn ) de cada nodo (ex cep to el no do terminal) y escriba sus valores al lado. Di bu je una punta de fle cha pa ra in di car la ruta óptima (o rutas en el caso de em pa tes) que de be to mar se al salir de cada nodo. Por último, iden ti fique la ruta (o rutas) óptima(s) que obtuvo a través de la red y la solu ción (o so lu cio nes) óp ti ma(s) co rres pon dien te. b ) Utilice programación dinámica para resolver este problema; ela- bore las tablas normales con n 5 3, n 5 2 y n 5 l.
10.2-3. Considere la siguiente red de proyecto (como se describe en la sección 9.8), donde el número sobre el nodo es el tiempo que se requiere para la actividad correspondiente. Considere el problema de encontrar la trayectoria más larga (el mayor tiempo total) a través de esta red desde el inicio hasta su término, puesto que la trayectoria más larga es la ruta crítica.
B (^) E
D
C A
0
3
INICIO
TERMINACIÓN
3 2
7
4 6
0
4
1
4 5
2
5
I
L
K
J
H
G
F
a ) ¿Cuáles son las etapas y los estados para formular la programa- ción dinámica de este problema? b ) Use pro gra ma ción di ná mi ca pa ra re sol ver es te proble ma, pe ro en lugar de emplear las tablas usuales, muestre su traba jo en una grá fica. En par ti cu lar, de ter mi ne los va lo res de las distin tas f * n ( s (^) n ) junto a los nodos corres pon dien tes y el arco óptimo que debe to- mar se al salir de cada nodo mediante una punta de fle cha cerca del inicio del arco. Después iden ti fique la trayec to ria óp ti ma (la trayectoria más larga) que siguen estas puntas de fle cha desde el nodo inicio hasta el de término. Si existe más de una trayec to ria óp ti ma, iden ti fí que las a to das. c ) Utilice programación dinámica para resolver el problema con las tablas usuales para n 5 4, n 5 3, n 5 2 y n 5 1.
10.2-4. Considere las siguientes afi rmaciones sobre la solución de problemas de programación dinámica. Diga si cada una es falsa o verdadera y después justifique su respuesta con referencia a afirma- ciones específi cas (con la cita de la página) dentro del capítulo. a ) El procedimiento de solución utiliza una relación recursiva que permite obtener la política óptima para la etapa ( n 1 1) dada la política óptima de la etapa n. b ) Después de comple tar el proce di mien to de so lu ción, si se to ma por error una deci sión no óp ti ma en al gu na eta pa, de be rá apli- carse de nuevo el procedimiento para determinar las nuevas de- ci sio nes óp ti mas (da da es ta de ci sión no óp ti ma) en las etapas sub se cuen tes. c ) Una vez que se ha encon tra do una po lí ti ca óp ti ma pa ra to do el pro ble ma, la in for ma ción ne ce sa ria pa ra es pe ci ficar la deci sión óptima en una etapa en particular es el estado de esa etapa y las de ci sio nes que se tomaron en las etapas an te rio res.
10.3-1. Lea el artículo de referencia que describe en su totalidad el estudio de investigación de operaciones que se resume en el recuadro de aplicación que se presentó en la sección 10.3. Describa de manera breve la forma como se aplicó la programación dinámica en dicho estudio. Después, elabore una lista de los beneficios financieros y de otro tipo que arrojó este estudio.
10.3-2.* El pro pie ta rio de una ca de na de tres su per mer ca dos com- pró cinco cargas de fresas frescas. La distri bu ción de proba bi li dad es ti ma da de las ven tas po ten cia les de las fresas antes de que se echen a perder difiere entre los tres super mer ca dos. El propie ta rio quie re sa- ber cómo debe asignar las cinco cargas a las tiendas pa ra ma xi mi zar la ganancia esperada. Por razones administrativas, no quiere dividir las cargas entre las tiendas. Sin embargo, está de acuerdo en asignar cero cargas a cual quie ra de ellas. En la siguiente tabla se proporciona la ganancia estimada de cada tienda al asignar distintas cantidades de cargas:
Número
Tienda
de carga 1 2 3
Utilice programación dinámica para determinar cuántas cargas debe asignarse a cada tienda para maximizar la ganancia total espe- rada.
10.3-3. Una estu dian te univer si ta ria cuenta con siete días para prepa- rar los exámenes fina les de cua tro cursos y quiere asignar su tiempo de es tu dio de la ma ne ra más eficien te po si ble. Ne ce si ta por lo me nos un día para cada curso y quiere concentrarse sólo en un curso cada día por lo que quie re asig nar uno, dos, tres o cua tro días a ca da curso. Como hace poco tomó un curso de investigación de opera cio nes, de ci- de aplicar progra ma ción di ná mi ca pa ra ha cer es tas asigna cio nes que ma xi mi cen el to tal de puntos obtenidos en los cuatro cursos. Es ti ma que las distin tas asig na cio nes en días de es tu dio le re di tua rán pun tos de cali fica ción según la si guien te ta bla:
Puntos de calificación estimados
Curso
Día de estudio
1 2 3 4
Resuelva este problema con programación dinámica.
10.3-4. Una cam pa ña po lí ti ca se en cuen tra en su úl ti ma eta pa y las pre li mi na res in di can que las preferencias electorales se encuentran
426 CAPÍTULO 10 PROGRAMACIÓN DINÁMICA
La proba bi li dad de que el siste ma fun cio ne es el produc to de las pro ba bi li da des de que los com po nen tes res pec tivos fun cio nen. En la siguiente tabla se presenta el costo (en cientos de dólares) de instalar una, dos o tres unidades paralelas en los componentes (indicados como componente 1, 2, 3 y 4) respectivos:
Unidades
Costo
paralelas
Componente 1
Componente 2
Componente 3
Componente 4
1 2 3
2 4 5
1 3 4
2 3 4
1 2 3
Dadas las limitaciones de presupuesto, se puede gastar un máximo de 1 000 dólares. Use progra ma ción di ná mi ca pa ra de ter mi nar cuán tas uni da des pa ra le las debe ins ta lar en cada uno de los cua tro compo nen tes pa ra ma xi mi zar la proba bi li dad de que el siste ma fun cio ne.
10.3-9. Con si de re el si guien te pro ble ma de pro gra ma ción no lineal en te ra.
Maximizar Z 3 x^21 x^31 5 x^22 x^32 ,
sujeta a
x 1 2 x 2 4
y
x 1 0, x 2 0 x 1 , x 2 son enteros.
Use programación dinámica para resolver este problema.
10.3-10. Considere el siguiente problema de programación no lineal entera.
Maximizar Z 32 x 1 2 x^21 30 x 2 20 x 3 ,
sujeta a
3 x 1 7 x 2 5 x 3 20
y
x 1 , x 2 , x 3 son enteros no negativos.
Use programación dinámica para resolver el problema.
10.3-11.* Con si de re el si guien te pro ble ma de pro gra ma ción no li- neal.
Maximizar Z 36 x 1 9 x^21 6 x^31 36 x 2 3 x^32 ,
sujeta a
x 1 x 2 3
y
x 1 0, x 2 0.
Use programación dinámica para resolver el problema.
10.3-12. Re suel va el pro ble ma de pro gra ma ción del nivel de em plea- dos de Local Job Shop (ejem plo 4) ba jo el su pues to de que el costo to- tal de cambiar el nivel de empleados de una temporada a la siguien te es de $100 multi pli ca do por el cua dra do de la di fe ren cia de nive les.
10.3-13. Con si de re el si guien te pro ble ma de progra ma ción no li- neal.
Maximizar Z 2 x^21 2 x 2 4 x 3 x^23 sujeta a 2 x 1 x 2 x 3 4 y x 1 0, x 2 0, x 3 0.
Use programación dinámica para resolver el problema.
10.3-14. Con si de re el si guien te pro ble ma de progra ma ción no li- neal.
Minimizar Z x^41 2 x^22
sujeta a x^21 x^22 2.
(Sin restricciones de no negatividad.) Utilice programación dinámica pa ra re sol ver es te pro ble ma.
10.3-15. Con si de re el si guien te pro ble ma de progra ma ción no li- neal.
Maximizar Z x^31 4 x^22 16 x 3 ,
sujeta a
x 1 x 2 x 3 4
y
x 1 1, x 2 1, x 3 1.
a ) Uti li ce pro gra ma ción di ná mi ca pa ra re sol ver es te pro ble ma cuan- do, además de las restric cio nes da das, se requie re que todas las va ria bles sean en te ras. b ) Uti li ce pro gra ma ción di ná mi ca pa ra re sol ver el pro ble ma co mo se esta ble ció (va ria bles con ti nuas).
10.3-16. Con si de re el si guien te pro ble ma de progra ma ción no li- neal.
Maximizar Z x 1 (1 x 2 ) x 3 ,
sujeta a
x 1 x 2 x 3 1
y
x 1 0, x 2 0, x 3 0.
Use programación dinámica para resolver el problema.
10.3-17. Considere el siguiente problema de programación lineal.
Maximizar Z 15 x 1 10 x 2 ,
PROBLEMAS 427
sujeta a
x 1 2 x 2 6 3 x 1 x 2 8
y
x 1 0, x 2 0.
Use programación dinámica para resolver el problema.
10.3-18. Considere el siguiente problema de “costo fijo”.
Maximizar Z 3 x 1 7 x 2 6 f ( x 3 ),
sujeta a
x 1 3 x 2 2 x 3 6 x 1 x 2 2 x 3 5
y
x 1 0, x 2 0, x 3 0,
donde
f ( x 3 )
si x 3 0 si x 3 0.
1 x 3
Use programación dinámica para resolver el problema.
10.4-1. Un aficio na do al backgamon jugará tres encuen tros con se cu- tivos con sus ami gos. En ca da juego ten drá la oportu ni dad de apos tar; la canti dad apos ta da pue de as cen der a cual quier can ti dad en tre ce ro y la canti dad de dinero que le quede después de las apuestas en los juegos an te rio res. En cada en cuen tro, la pro ba bi li dad de que ga ne el juego y, por lo tanto, la apuesta, es 12 , mientras que tiene una proba bi li- dad de 12 de perder y, por tanto, perder la apuesta. Comen za rá con $ y su meta es tener $100 al fina li zar los tres juegos. (No inten ta aca bar con más de $100 porque se trata de un encuentro amistoso.) El juga- dor quie re en con trar la po lí ti ca óp ti ma de apuesta —in clui dos to dos los em pa tes— que ma xi mi ce la pro ba bi li dad de te ner exac ta men te $100 des pués de los tres juegos. Utilice programación dinámica para resolver este problema.
10.4-2. Ima gi ne que tiene $10 000 para invertir y que tendrá la opor- tu ni dad de ha cer lo en cua les quie ra de dos inver sio nes ( A o B ) al prin- ci pio de cada uno de los próximos tres años. Existe in cer ti dumbre res- pecto del rendi mien to de am bas inver sio nes. Si invier te en A , puede per der to do el dine ro u (con pro ba bi li dad más alta) ob te ner $20 000 (una ganancia de $10 000) al final del año. Si invier te en B , pue de ob te ner los mis mos $10 000 o (con proba bi li dad más ba ja) $20 000 al terminar el año. Las proba bi li da des pa ra que su ce dan es tos even tos son las siguien tes:
Cantidad Inversión obtenida ($) Probabilidad
A 0 0. 20 000 0. B 10 000 0. 20 000 0.
Se le permi te ha cer (a lo su mo) una inversión al año y sólo puede inver tir $10 000 cada vez. (Cual quier canti dad adi cio nal de di ne ro acu mu la da es inútil.)
a ) Uti li ce pro gra ma ción di ná mi ca pa ra en con trar la po lí ti ca de inver- sión que maxi mi ce la can ti dad de di ne ro que es pe ra ten er des pués de los tres años. b ) Uti li ce pro gra ma ción di ná mi ca pa ra en con trar la po lí ti ca de inver sión que ma xi mi ce la pro ba bi li dad de tener por lo menos $20 000 des pués de los 3 años. 10.4-3.* Suponga que la situa ción del pro ble ma de la Hit-and-Miss Ma nu fac tu ring Com pany (ejemplo 6) ha cambia do li ge ra men te. Des- pués de un análi sis más cui da do so, se es ti ma que ca da ar tí cu lo pro- du ci do tie ne una proba bi li dad de 23 , de ser acepta ble, en lugar de 12 , de ma ne ra que la pro ba bi li dad de pro du cir ce ro artículos acepta bles en un lote de tama ño L es (^13 ) L^. Aún más, ahora sólo se tiene tiempo para ha cer dos co rri das de pro duc ción. Uti li ce pro gra ma ción di ná mi ca pa- ra deter mi nar la nueva po lí ti ca óp ti ma pa ra ma ne jar es te pro ble ma. 10.4-4. Re con si de re el ejemplo 7. Suponga que se cambia la apuesta a “si comienza con dos fichas, ella no tendrá cinco fichas des pués de cinco jugadas”. Sin perder de vis ta los resul ta dos que ob tu vo an tes, efectúe los cálcu los adi cio na les pa ra de ter mi nar cuál es la nueva po lí- ti ca óp ti ma pa ra la joven ex per ta en es ta dís ti ca. 10.4-5. El producto más importante de la Profit & Gambit Co., ha per di do di ne ro por un de cre men to de sus ven tas. De he cho, duran te el tri mes tre ac tual las ven tas es ta rán 4 mi llo nes de uni da des aba jo del pun to de equi li brio. Debido a que el ren di mien to margi nal por ca da unidad vendida es $5 mayor que el costo marginal, la empre sa su fri rá una pér di da de $20 mi llo nes en el tri mes tre. La ad mi nis tra ción de be to mar me di das ex pe di tas pa ra rec ti ficar esta situa ción. Se tie ne en con si de ra ción dos al ter na tivas. Una consiste en abando nar el pro duc- to de inmediato, con lo que se incurriría en un costo de $20 millones por cierre. La otra es empren der una campa ña pu bli ci ta ria in ten siva pa ra au men tar las ven tas y des pués abandonar el producto (a un cos- to de $20 millo nes) só lo si la campa ña no tie ne el éxi to su ficien te. Se formu la ron y anali za ron pla nes ten ta tivos para esta campa ña que se ex ten de ría a los próxi mos tres tri mes tres —su je ta a cance la ción en cual quier mo men to—, cu yo cos to se ría de $30 mi llo nes por tri- mes tre. Se estima que el aumen to apro xi ma do en ven tas se ría de 3 mi llo nes de uni da des en el primer tri mes tre, otros 2 mi llo nes en el segundo y otro millón en el tercer trimes tre. Sin em bargo, por algu- nas va ria bles im pre de ci bles del mer ca do, exis te gran incer ti dum bre en cuanto al efecto real que tendrá la cam pa ña: un aná li sis cui da do so indica que la esti ma ción de cada trimes tre pue de es tar equivo ca da has ta en 2 mi llo nes de uni da des en cual quier direc ción. (Para cuan- ti ficar la incertidumbre, suponga que los aumen tos adi cio na les de ventas de los tres trimes tres son va ria bles alea to rias in de pen dien tes con distri bu ción uni for me en tre 1 y 5 mi llo nes, en tre 0 y 4 mi llo nes y entre –1 y 3 millo nes, res pec tiva men te.) Si los aumen tos rea les son de ma sia do pe que ños, se puede in te rrum pir la campa ña pu bli ci ta ria y dis con ti nuar el produc to al final de cualquiera de los dos próxi mos tri mes tres. Si se emprende la campa ña pu bli ci ta ria in ten siva y se con ti núa has ta ter mi nar, se esti ma que las ven tas segui rán en au men to por al gún tiem po al mismo nivel que en el tercer trimes tre (el úl ti mo) de la campa ña. Por tan to, si las ven tas en ese tri mes tre to davía es tán por de ba jo del pun to de equilibrio, el produc to de be rá de jar de pro du cir- se. De otra manera, se estima que la ganancia descontada esperada en adelante será de $40 por cada unidad vendida que esté más arriba del pun to de equi li brio en el ter cer trimes tre. Uti li ce pro gra ma ción di ná mi ca pa ra de ter mi nar la polí ti ca óp ti ma que maximice la ganancia esperada.
