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OPTIMIZACIÓN DINÁMICA. CURSO 07/08. CONTROL 1
Dispone de una hora para realizar el control. Recuerde que su nota de clase es el promedio de sus cuatro mejores calificaciones en controles. La solución se publicará próximamente en la web de la asignatura.
Pregunta. Tenemos tres zonas de venta, {1,2,3}, y tenemos que decidir cuántos vendedores asignamos a cada zona. Tenemos en total 5 vendedores y podemos asignar un máximo de dos vendedores a la misma zona (podríamos no asignar ninguno). Los ingresos de la zona i son: 2
S i qi E i qi
siendo qi el número de vendedores asignados a la zona i. Suponemos:
E 1 E 2 E 3
¿Cuál es la política de asignación que maximiza los ingresos totales? Pista: para k ={1,2,3}, la variable de estado, x ( k ), es el número de vendedores asignados a las zonas {0,1, …, k -1}, siendo x (1)=0; mientras que la variable de control, u ( k ), es el número de vendedores asignados a la zona k. La dinámica de estado es x ( k +1)= x ( k )+ u ( k ).
Solución.
Supongamos x(3) dado:
x(3) u*(3) J(x(3),3) 0 2 4 ȕ (^3) 1 2 4 ȕ (^3) 2 2 4 ȕ (^3) 3 2 4 ȕ (^3) 4 1 ȕ (^3)
Supongamos x(2) dado:
x(2)=2 Bcio pres Estado fut. Bcio fut Bcio Tot u(2)=0 0 2 4 ȕ 3 4 ȕ (^3) u(2)=1 ȕ 2 3 4 ȕ 3 ȕ 2 +4ȕ (^3) u(2)=2 4 ȕ 2 4 ȕ 3 4 ȕ 2 +ȕ (^3) x(2)= u(2)=0 0 1 4 ȕ 3 4 ȕ (^3) u(2)=1 ȕ 2 2 4 ȕ 3 ȕ 2 +4ȕ (^3) u(2)=2 4 ȕ 2 3 4 ȕ 3 4 ȕ 2 +4ȕ (^3) x(2)= u(2)=0 0 0 4 ȕ 3 4 ȕ (^3) u(2)=1 ȕ 2 1 4 ȕ 3 ȕ 2 +4ȕ (^3) u(2)=2 4 ȕ 2 2 4 ȕ 3 4 ȕ 2 +4ȕ (^3)
Por tanto:
x(2) J(x(2),2) 0 4 ȕ 2 +4ȕ (^3) 1 4 ȕ 2 +4ȕ (^3) 2 ȕ 2 +4ȕ (^3)
0 =x (1) x (2)
u (1) u (2) u (3)
x (3) x (4) 5
Zona 1 Zona 2 Zona 3
OPTIMIZACIÓN DINÁMICA. CURSO 08/09. CONTROL 1
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0 1 2 3 4
2 1
3
A
B
C
Suponga que hemos de atravesar 5 fronteras, representadas en el diagrama anterior por líneas verticales y denotadas por los números 0,…,4. Es decir, inicialmente estamos a la izquierda de la frontera 0 y hemos de acabar a la derecha de la 4. El viaje debe hacerse desde la frontera 0 hasta la 4. Cada frontera solamente se puede cruzar por uno de los puntos rojos, denotados por A, B y C. Solamente es posible viajar siguiendo las líneas azules, por ejemplo, desde el punto A de la frontera 0 puede viajarse al punto A ó B de la frontera 1, pero no al C. Los costes de viajar están representados en el triangulo inferior del diagrama anterior: viajar suroeste-nordeste tiene coste 2, viajar noroeste- sureste tiene coste 1 y viajar este-oeste tiene coste 3. No son posibles viajes norte-sur ni sur-norte. Encuentre la ruta óptima usando programación dinámica.
Solución. Cada frontera es una etapa, el estado es por que punto hemos cruzado la frontera actual y el control es el punto por el que vamos a cruzar la próxima. x Sea x (4) dado. No tenemos ninguna decisión que tomar, y además J ( x (4),4)=0. x Sea x (3) dado. Claramente x (3) pertenece a { A , B , C }. Si x (3)= A , la política óptima es ir a B de la frontera 4, lo que denotamos por u ( A ,3)= B , y es J ( A ,3)=1. Análogamente, tenemos: J ( B ,3)=1 y J ( C ,3)=2, siendo u ( B ,3)= C y u ( C ,3)= B. x Sea x (2) dado. De nuevo, x (2) pertenece a { A , B , C }.
x (2) u (2) Coste actual J ( x (3),3) Coste total A A 3 1 4 B 1 1 2 A 2 1 3 B 3 1 4
B
C 1 2 3
C B 2 1 3
C 3 2 5
En amarillo aparece la ruta óptima, por lo que es: J ( A ,2)=2, J ( B ,2)=3 y J ( C ,2)=3, siendo u ( A ,2)= B , u ( B ,2)= A ó C y u ( C ,2)= B.
x Sea x (1) dado. De nuevo, x (1) pertenece a { A , B , C }. Notemos que las tres primeras columnas de la siguiente tabla son iguales a las de la tabla anterior.
x (1) u (1) Coste actual J ( x (2),2) Coste total A A 3 2 5 B 1 3 4 A 2 2 4 B 3 3 6
B
C 1 3 4
C B^2 3
C 3 3 6
En amarillo aparece la ruta óptima, por lo que es: J ( A ,1)=4, J ( B ,1)=4 y J ( C ,1)=5, siendo u ( A ,1)= B , u ( B ,1)= A ó C y u ( C ,1)= B.
x Finalmente, consideremos x (0) dado. Podemos comenzar cruzando la frontera actual por A, B ó C, dando lugar a x (0) igual a A , B ó C , respectivamente.
x (0) u (0) Coste actual J ( x (1),1) Coste total A A 3 4 7 B 1 4 5 A 2 4 2 B 3 4 7
B
C^1 5
C B 2 4 6
C 3 5 8
OPTIMIZACIÓN DINÁMICA. CURSO 07/08. CONTROL 2
Dispone de una hora para realizar el control. Recuerde que su nota de clase es el promedio de sus cuatro mejores calificaciones en controles. La solución se publicará próximamente en la web de la asignatura.
Pregunta. Resuelva el siguiente problema usando control óptimo. 1 2 2
0
min u t dt x 1 1 s.a.: x t u t x t ; x 0 0
½ x
® ^ ^ ¾
¿Es óptimo x (1)>1?
Solución. Definimos el Hamiltoniano: 2 H u O u x
donde Ȝ es la variable de co-estado y omitimos el argumento temporal donde no haya lugar a la ambigüedad.
H t Ce t
x
O O O O
x w x
w
Además, la condición de transversalidad sobre el co-estado es: Ȝ(1)=2( x (1)-1).
Por otra parte:
^ `
min *
u 2
H u O
Sustituyendo u* en la dinámica de estado queda:
t
x x Ce
x
La solución general de la ecuación homogénea asociada es x ( t )= Be -t
Una solución particular de la completa es:
x t Ce^ t
Por tanto, la solución general de la ecuación (*) es:
t t
x t Be Ce
Usando la condición x (0)=0 para eliminar B de la anterior ecuación, ésta queda:
t t
x t C e e
Finalmente, usando la condición de transversalidad del co-estado para hallar el valor de C queda:
1 1
x Ce C e e C e e
O §¨^ ·¸
Notemos que: 1 1 1 3 1 e e x e e
Hemos de llevar el sistema desde el (0, x (0))=(0,0) hasta el punto (1, x (1))=(1,1). Dado que aumentar el valor de x es costoso, para cualquier desviación del sistema por encima de x (1)=1 existe una con el mismo coste final y “más barata”.
Solución del problema 1. Definimos el Hamiltoniano: 2 2 H x u O x u
donde Ȝ es la variable de co-estado y omitimos el argumento temporal donde no haya lugar a la ambigüedad.
H
x
x
O O O
x w x
w
Además, la condición de transversalidad sobre el co-estado es: Ȝ(1)=0.
Por otra parte:
^ `
min *
u 2
H u O
Sustituyendo u* en la dinámica de estado queda:
x x O
x
Podemos expresar conjuntamente () y (*):
1 1/ 2 2 1 A
x x
O
O
x
x
¨ ¸ §^ ·§^ ·
¨ ¸ ¨^ ¸¨^ ¸
que constituye la solución a la parte (1). El anterior es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, lineal y homogéneo. Su solución puede caracterizarse mediante los autovalores y autovectores asociados a la matriz A. Mas concretamente, si į es un autovalor de A y v es su autovector asociado, la función z ( t )= C e į t v es solución al sistema anterior, siendo C una constante arbitraria. Los autovalores de la matriz A son las soluciones de su ecuación característica:
A G I 0
siendo I la matriz identidad. Para la matriz dada, dichas soluciones son: G r 2. Para
cada autovalor į, el autovector asociado es una solución del sistema:
A G I v 0
Para los autovalores G 1 2 y G 2 2 , los correspondientes autovectores asociados
son, respectivamente:
1 2
v v
y la solución general del sistema es:
2 2 1 2
x t (^) C e t (^) C e t
O t
§ · §¨^ ·¸^ §¨^ ·¸
© ¹ ^
siendo C 1 y C 2 tales que se satisfacen las condiciones de contorno x (0)=1 y Ȝ(1)=0.
Código Matlab para obtener los autovalores y autovectores anteriores: [Vec Val]=eig(sym([1 -1/2; -2 -1])))
Solución del problema 2. Definimos el Hamiltoniano:
H ln u O rx a x u
La dinámica de co-estado es:
H
r a x
x
O O O
x
x w
w
con la condición terminal Ȝ( T )=0.
Por otra parte:
^ `
min *
u
H u
O
Derivando respecto al tiempo en la última igualdad se tiene:
2
1 u
u
u
O
O
O O
x x x x
y usando la última igualdad en la dinámica de co-estado es:
u
r a x
u
x
que es la función solicitada (notemos que el lado izquierdo es la tasa de variación de las capturas).
La intuición de la anterior ecuación es sencilla. La tasa de variación de las capturas es positiva (respectivamente negativa) si el stock es lo suficientemente pequeño (grande). Cuando el stock es pequeño, también lo es el nivel de capturas, lo que a su vez hace que tanto el stock como el nivel de capturas aumente en el tiempo. La situación contraria ocurre cuando el stock es grande.
Soluciones:
Pregunta 1. (a) Definimos el Hamiltoniano: 2
H : x u O x u
La dinámica de co-estado es:
1
H
x
O O O
x (^) w x w La solución general de la ecuación homogénea asociada a la anterior ecuación
diferencial es O Ce t^. Una solución particular de la ecuación completa es O 1. Por
tanto, la solución general de la ecuación anterior es O Ce ^ t 1. Utilizando la
condición de transversalidad sobre el co-estado O 1 2 tenemos:
O t 3 e^1 t^ 1
La condición de minimización del Hamiltoniano es:
^ `
min 1 3 1 1 2 2
t u H u e
O
y sustituyendo en la dinámica de estado, tenemos: (^1 1 ) 2
x^ x^ x e ^ t
La solución general de la ecuación homogénea asociada a la anterior ecuación
diferencial es x Ce t. Una solución particular de la ecuación completa es (^1 ) 2 4
x e ^ t.^ Por^ tanto,^ la^ solución^ general^ de^ la^ ecuación^ anterior^ es
(^1 ) 2 4
x Ce t^ e t. Utilizando la condición inicial sobre el estado tenemos:
(^1 3 3 1 ) 2 2 4 4
x t e t^ e t^^ e t
(b) el valor solicitado es O 0 3 e 1.
Pregunta 2. Definimos el Hamiltoniano: H : x D u O u La dinámica de co-estado es:
1
H
t A t x
O O O
x (^) w x w
imponiendo la condición de transversalidad sobre el co-estado O 1 0 , tenemos:
O t 1 t
Por tanto, la condición de minimización del Hamiltoniano es:
min u (^) ^ D 1 t u `
Distinguimos dos casos:
(i) D t 1 D 1 t t 0 t (^) > 0,1@ u t 0 t x t 1 t
(ii) D 0,1 ^ D 1 t t 0 t t 1 D`
En este último caso tenemos: 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 en otro caso en otro caso
t t u t x t
D t D
D
d d ® ® ¯ ¯
OPTIMIZACIÓN DINÁMICA. CURSO 08/09. CONTROL 4
Dispone de una hora y media para realizar el control. Recuerde que su nota de clase es el promedio de sus cuatro mejores calificaciones en controles. La solución se publicará próximamente en la web de la asignatura.
Pregunta 1. Resuelva el siguiente problema usando control óptimo: 2 2
0
min s.a.: ; 0 1
x t u t dt x t x t u t x
½ x
® ^ ¾
Junto con la condición terminal
x d e .
Pregunta 2. Resuelva el problema usando control óptimo.
2 , 0
min min s.a.: ; 0 1; 0
T
u T
x t u t dt x t u t x x T
½ x
donde el instante final, T , es una variable de elección.
Solución a la pregunta 1. Definimos el Hamiltoniano:
: 2 1 2
H x u O x u
la dinámica de co-estado es: 1 1 2
H
x
O O O
w x^ x w la solución de la anterior ecuación diferencial es:
O t 2 Ce t / 2
donde C es una constante a determinar. En particular, tenemos:
O 2 2 Ce ^1
La condición de minimización del Hamiltoniano da lugar a: (^1 1 1) / 2 4 2 4
u t O t Ce ^ t
Sustituyendo en la dinámica de estado tenemos: (^1 1 1) / 2 2 4 8
x^ x^ x Ce ^ t
La solución de la anterior ecuación diferencial es:
/ 2 1 1 / 2 2 8
x t Be^ t Ce t
donde el primer término del lado derecho es la solución general de la homogénea asociada y B es una nueva constante a determinar. Imponiendo la condición inicial del estado tenemos: 1 1 3 1 0 1 1 2 8 2 8
x B C B C
y, sustituyendo en la anterior condición para el estado tenemos: (^3) / 2 1 1 / 2 / 2 2 2 8
x t e^ t e t^ et C
por lo que:
2 3 1 1 1 2 2 8
x e e e C
Aplicamos ahora la condición de transversalidad final. Dado que la función de valor residual es cero, dicha condición puede expresarse: 3 1 2 2 0 2 2
O y x d y d e
Por tanto, hay dos casos posibles:
a)
2 y 2 2
x e O 2 t 0
tenemos: 3 1 2 0 2 2
x e C O 2 0
donde la primera implicación sale de la solución del estado y la segunda de la solución del co-estado, por lo que este caso no es posible.
b)
2 y 2 2
x d e O 2 0
tenemos:
OPTIMIZACIÓN DINÁMICA. CURSO 07/08. CONTROL 5
Dispone de una hora para realizar el control. Recuerde que su nota de clase es el promedio de sus cuatro mejores calificaciones en controles. La solución se publicará próximamente en la web de la asignatura.
Pregunta 1. Resuelva: 1 2 0
min x t D u t dt s.a.: x t u t ; x 0 1; x 1 1/ 2
½ x
® ^ ¾ d
³
Discuta cómo varía el estado final óptimo dependiendo de los posibles valores de Į.
Pregunta 2. Considere el ejercicio anterior tomando el tiempo final, T , libre y fijando x ( T )=1/2. Se pide: (i) escribir una ecuación algebraica que caracterice T óptimo en función de Į; (ii) resolver de dicha ecuación para Į=1/2.
Solución a la pregunta 1. Definimos el Hamiltoniano:
H x D u^2 O u
La dinámica de co-estado es:
1
H
t A t x
O O O
w x^ x w La condición de minimización del Hamiltoniano es:
^ `
min u (^) 2 2 H u u t A t
O
D D
Sustituyendo en la dinámica de estado, resolviendo la ecuación diferencial resultante e imponiendo x (0)=1, tenemos:
1 1 1 2 2 4
x t At t
D D
La condición sobre el estado final (para un problema de minimización) es
S ' x * T O T y x * T t 0 y Y
siendo Y el conjunto de estados finales factibles. Aplicado a nuestro problema, dicha condición queda:
O 1 y x * 1 d 0 y d1/ 2
Hay dos posibilidades para que se satisfaga esta última desigualdad junto con x (1)1/2:
(i) O 1 0 y x 1 1/ 2
tenemos que:
O A x
D
, por lo que x 1 1/ 2 D 1/ 2
(ii) O 1 t 0 y x 1 1/ 2
tenemos que:
x A D O D , por lo que O 1 t 0 Dt1/ 2
Por tanto, para Į<1/2 se verifica x (1)<1/2 mientras que para Į 1/2 se verifica x (1)=1/2.
Solución a la pregunta 2. El Hamiltoniano no cambia, por lo que tenemos los mismos valores del co-estado, control y estado. Es decir:
; 1 ; 1 1 1 2 2 2 4
O t A t u t A t x t At t
D D D
donde en el estado hemos impuesto x (0)=1. Imponiendo además x ( T )=1/2 en el estado tenemos: 1 2
A T
T
D
La condición de tiempo final óptimo es: 2
T 2 4 2
H x T u T T u T T
T
D D O D
la última ecuación es la ecuación algebraica que se solicita. Tomando Į=1/2 dicha ecuación tiene dos soluciones reales positivas (el tiempo inicial es 0 y el tiempo final no puede ser menor), que son:
T 2 r 1
