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Formulario de Algebra
Semana 01: Expresiones Algebraicas y Polinomios
Grados:
Monomio: P
x , y
= 6 a
2
x
4
y
5
Grado relativo: Grado mayor (mayor exponente) de una variable
GR(x)=
GR(y)=
GR(a)=
Grado Absoluto: La suma de los exponentes de las variables
P
x , y
= 6 a
2
x
4
y
5
GA=GR ( x )+GR ( y )= 4 + 5 = 9
Polinomio: F
x , y , z
= 3 x
2
y
4
z
3
− 5 x
3
y
2
z+ 4 x
5
y z
2
Grado relativo: Grado mayor (mayor exponente) de una variable
GR(x)=
GR(y)=
GR(z)=
GR (5) =
Grado Absoluto: La mayor suma de los exponentes de las variables de cada termino
algebraico.
Expresiones
Algebraicas
E.A Racionales:
Exponente entero
E.A.R Entera:
exponente positivo
E.A.R Fraccionaria:
exponente negativo
E.A Irracionales:
exponente fraccion
F
x , y , z
= 3 x
2
y
4
z
3
− 5 x
3
y
2
z+ 4 x
5
y z
2
GA=
Grados en Operaciones:
Sea P(x) y Q(x): polinomios de grado m y n respectivamente; donde m>n
Sea: K un numero cualquiera
OPERACION PROCEDIMIENTO RESULTADO
P(x) + Q(x) Gana el de mayor grado m
P(x) - Q(x) Gana el de mayor grado m
P(x) x Q(x) Se suma los grados m+n
P(x) / Q(x) Se restan los grados m-n
P(x )
k
Se multiplica el grado por
K
mk
k
√
P(x)
Se divide el grado entre K m/k
Polinomios Especiales:
a) P. HOMOGENEO: cada termino algebraico tiene un grado absoluto igual
P
x , y
= 2 x y
4
− 3 x
3
y
2
5
b) P. ORDENADO: Cuando los exponentes están en orden ya se creciente o
decreciente
P
x , y
=x y
2
−x
3
y + x
4
esta ordenado creciente para x y decrecientemente para y
c) P. Completo: Cuando contiene todos los exponentes de una variable desde el
mayor hasta el exponente cero o independiente.
P
x
=− 2 x+ 3 x
2
3
d) P. Idénticamente Nulo: Cuando el Polinomio es igual a cero
P ( x )=a x
3
+bx+ c es identicamentenulo entonces :
a=b=c=…= 0
e) P. Mónico: Cuando el coeficiente de principal (el coeficiente de la variable
de mayor grado) es 1
P ( x )=x
2
Propiedades:
Suma de coeficientes: P (1)
Termino Independiente: P (0)
Suma 8
9 6
Semana03: División Algebraica
D ( x )=d ( x) q ( x ) + R ( x )
D ( x ) : Dividendo
d ( x ) :divisor
q ( x ) :cociente
R ( x ) :residuo
Métodos para dividir
Horner:
Ruffini:
Semana 04: Teorema del residuo:
P(x) se divide entre (ax+b); entonces para hallar el residuo:
1° Divisor (o sea (ax+b)) se igual a cero y se halla el valor de x
2° Ese valor de x se reemplaza en el Dividendo (o sea P(x))
Semana 05: Cocientes Notables:
Primer caso:
x
n
− y
n
x− y
genera un cociente notable para n par y n impar
OJO: su desarrollo tiene signos positivos
Segundo caso:
x
n
n
x+ y
genera un cociente notable para nimpar
OJO: los términos pares son negativos y los impares son positivos
Tercer Caso:
x
n
− y
n
x+ y
genera un cociente notable para n par
OJO: los términos pares son negativos y los impares son positivos
Cuarto Caso:
x
n
n
x− y
NO genera un cociente notable para n par y nimpar
Suponiendo que:
x
m
± y
p
x
q
± y
r
es cociente notable (CN )
Entonces la cantidad de terminos ( numeros terminos) =
m
q
p
r
Termino General:
T
k
=(signo )( x
q
¿ terminos−k
( y
r
k− 1
NOTA : signo se determina en el caso delcociente notable
Semana 07: Ecuación Cuadrática (Segundo Grado)
a x
2
+bx+ c= 0
Métodos de Resolución:
Aspa simple:
Formula General:
x
1,
−b ± √
b
2
− 4 ac
2 a
Discriminante:
D=∆=b
2
− 4 ac
Naturaleza De Raíces:
Si:
∆ > 0 , Raices diferentes y reales R
∆= 0 , Raicesiguales y reales R ( unica solucion)
∆ < 0 , Raices complejas C y conjugadas
Teorema de Cardano Viette:
Sea : a x
2
+bx+c= 0
(S)Suma de raíces (
x
1
2
−b
a
(P) Producto de raíces (
x
1
x
2
c
a
Propiedades Adicionales
x
1
2
2
2
=S
2
− 2 P
x
1
3
2
3
=S
3
− 3 SP
x
1
−x
2
√
S
2
− 4 P
Reconstrucción de una Ecuación Cuadrática:
Sabiendo las Raíces
x
1
y x
2
x
2
−Sx+ P= 0
Donde:
S: suma de raíces
P: Producto de raíces
Ecuación polinomial:
Sea un polinomio ordenado decrecientemente
P
x
=a
0
x
n
+a
1
x
n − 1
+a
2
x
n− 2
n
Formula :(− 1 )
n
a
n
a
0
Suma de 1 en 1 : osea n= 1
x
1
2
3
+…+ x
n
1
a
1
a
0
Suma de 2 en 2 : osea n=
x
1
x
2
3
x
4
5
x
6
…+ x
n− 1
x
n
2
a
2
a
0
Suma de n en n
x
1
x
2
x
3
… x
n
n
a
n
a
0
Inecuaciones:
Lineal:
Cuadrática:
a x
2
+bx+ c< 0
a x
2
+bx+ c> 0
a x
2
+bx+ c ≥ 0
a x
2
+bx+ c ≤ 0
Método Resolución:
1° Factorizar: (
x−x
1
x−x
2
2° Hallar puntos críticos
Igualando cada factor a cero
x−x
1
= 0 …. x=x
1
x−x
2
= 0 …. x=x
2
3° Ubicar en la recta de los reales de menor a mayor y trazar nubes (Verificar si x1 y x
son abiertos y cerrados)
4° poner los signos más y menos intercaladamente
5° Según el sentido de la desigualdad dar Solución
x + ∞
2
x
1
x
2
x
1
OJO: Si expresión cuadrática no se puede factorizar hallar el valor de la
discriminante; en caso de que la discriminante sea menor que cero; entonces
dicha expresión algebraica es mayor que cero para cualquier valor de X
Semana 09: Inecuación Polinómica – Fraccionaria -
Radicales
Polinómicas:
a
0
x
n
+a
1
x
n− 1
2
x
n− 2
+…+ a
n
Método Resolución:
1° Factorizar: (
x−x
1
x−x
2
x−x
n
2° Hallar puntos críticos
Igualando cada factor a cero
x−x
1
= 0 …. x=x
1
x−x
2
= 0 …. x=x
2
x−x
n
= 0 …. x=x
n
3° Ubicar en la recta de los reales de menor a mayor y trazar nubes (Verificar si x1 , x2,
…Xn son abiertos y cerrados)
4° poner los signos más y menos intercaladamente
x
n
… x
2
x
1
a
f (x)
≥ a
g (x)
a
f (x)
≤a
g (x)
a
f (x)
<a
g (x)
a
f (x)
a
g (x)
Caso 1 : a>
Caso 2: 0<a<
Valor absoluto:
|x|=
{
Si x ≥ 0 ;|x|=x
Si x < 0 ;|x|=−x
}
EJEMPLOS
PROPIEDAD:
n
√
f (x)
n
Si n : par ;
n
√
f (x)
n
|
f ( x) |
Sin :impar ;
n
√
f ( x )
n
=f ( x)
f ( x ) ≥ g ( x )
f ( x ) ≤ g ( x )
f ( x ) < g ( x )
f ( x ) > g ( x )
a
f (x)
≥ a
g (x)
a
f (x)
≤a
g (x)
a
f (x)
<a
g (x)
a
f (x)
a
g (x)
f ( x ) ≤ g ( x )
f ( x ) ≥ g ( x )
f ( x ) > g ( x )
f ( x ) < g ( x )
a
f (x)
≥ a
g (x)
a
f (x)
≤a
g (x)
a
f (x)
<a
g (x)
a
f (x)
a
g (x)
| 3 −√ 2 |+|√ 2 − 9 |+| 2 √ 2 − 6 |
PROPIEDAD
|kf ( x)|=k|f (x)|;cualquier valor de k
| 3 −√ 2
|
| √ 2 − 9
| − 2
| 3 −√ 2
| =−
| 3 −√ 2
|
| √ 2 − 9
|
√
Semana 11: Inecuación de valor absoluto – máximo entero
y logarítmicas
Inecuación Valor Absoluto:
Caso 1 :
|f ( x )|< g ( x ) ↔ g ( x )> 0 ∩ [
−g ( x ) < f ( x) <g ( x ) ]
|f ( x )|≤ g ( x ) ↔ g ( x ) > 0 ∩ [
−g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) ]
Caso 2:
|f ( x)|>g ( x ) ↔ f ( x ) >g ( x ) ∪ f ( x ) ← g( x )
|f ( x)|≥ g ( x) ↔ f ( x ) ≥ g ( x) ∪ f ( x ) ≤−g ( x)
Máximo entero
⟦ x ⟧ =n ; para n entero
Ecuaciones : ⟦ f (x)⟧=k , para k entero entonces k ≤ f ( x)<k + 1
Inecuaciones
Caso 1:
⟦
f ( x ) ⟧
≤ k ↔ f ( x ) <k + 1
Caso 2 :
⟦
f ( x ) ⟧
<k ↔ f ( x ) <k
Caso 3:
⟦
f ( x ) ⟧
≥ k ↔ f ( x ) ≥ k
Caso 4:
⟦ f ( x )⟧> k ↔ f ( x ) ≥ k+ 1
Propiedades:
E=x−⟦ x ⟧ los valores de E son ¿
⟦
⟦ x ⟧
⟧
=⟦ x ⟧
⟦ x +n⟧ =⟦ x ⟧ + n ; para n entero
Logaritmos
log
b
N =x ↔ N =b
x
; N > 0 ∩ b> 0
Cologaritmo :
colog
b
N=−log
b
N
Antilogaritmo: antilog
b
N=b
N
Propiedades:
log
b
A+log
b
B=log
b
AB
log
b
A−log
b
B=log
b
A /B
log
b
A
n
=n log
b
A
log
b
log
b
b= 1
log
b
N
log
b
A
=log
A
N
log
b
A=
log
A
b
Inecuaciones Logarítmicas
Caso 1:
log
b
f ( x ) > g ( x ) ↔
Sib > 1 , f ( x ) >b
g ( x)
Si 0 <b< 1 , f ( x ) <b
g ( x)
log
b
f ( x ) ≥ g ( x ) ↔
Si b> 1 , f ( x ) ≥ b
g (x )
Si 0 <b< 1 , f ( x ) ≤ b
g ( x)
log
b
f ( x ) < g ( x ) ↔
Sib > 1 , f ( x ) <b
g ( x)
Si 0 <b< 1 , f ( x ) >b
g ( x)
log
b
f ( x ) ≤ g ( x ) ↔
Si b> 1 , f ( x ) ≤ b
g (x )
Si 0 <b< 1 , f ( x ) ≥ b
g ( x)
Caso 2:
log
b
f ( x)> log
b
g ( x)↔
Sib> 1 , f ( x ) >g ( x )
Si 0 <b < 1 , f
x
< g(x )
log
b
f ( x)≥ log
b
g (x) ↔
Sib > 1 , f ( x ) ≥ g ( x )
Si 0 < b< 1 , f
x
≤ g ( x)
log
b
f ( x ) < log
b
g (x)↔
Sib> 1 , f ( x ) <g ( x )
Si 0 <b< 1 , f ( x ) > g( x )
log
b
f ( x)≤ log
b
g (x) ↔
Sib > 1 , f ( x ) ≤ g ( x )
Si 0 <b< 1 , f ( x ) ≥ g (x)
