Periodo Introductorio Primera Unidad 1, Monografías, Ensayos de Cálculo

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Trabajo De

Investigación

Introducción

La lógica ha estado presente desde hace miles de años y sigue estando presente incluso en nuestro día a día ya que nuestras tomas de decisiones se basan en su mayoría en la lógica. Sin embargo, en este trabajo vamos a conocer como la lógica partiendo desde Aristóteles ha ido evolucionando a través de los años a la vez que de esta partieron, teorías, paradojas y diferentes ramas de la matemática. En el presente escrito nos centraremos en la lógica proposicional y de la teoría de conjuntos, conoceremos su historia y evolución, como a través de la epistemología esta sigue teniendo una concepción con la lógica y la filosofía, a la vez que aprenderemos sus características. y las operaciones que podemos hacer con las mismas.

El primer trabajo de Cantor sobre la teoría de conjuntos data de 1874. Además, cabe mencionar que mantuvo un frecuente intercambio de ideas con el matemático Richard Dedekind, quien contribuyó al estudio de los números naturales. El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más celebré la paradoja de Russell, la cual público en 1901 en un apéndice de su libro “Principios de las matemáticas” y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, muchos se preguntaron si las matemáticas en realidad eran consistentes, y sobre todo verdaderas, ya que cualquier suposición matemática podía basar en una teoría inconsistente. La primera propuesta para solucionar el problema de las paradojas vino del matemático holandés Brouwer, que propuso una redefinición de todas las matemáticas y prometió que esto sería la solución del conflicto. Por otro lado, Hilbert, se opuso a su propuesta y aunque no toleraba las paradojas no estaba dispuesto a ver las a las matemáticas mutiladas. En 1904 propuso la teoría de la prueba, la cual era una teoría de la lógica independiente del contexto y que podría utilizarse sin encontrar paradojas. En 1908 Ernst Zermelo propuesto la respuesta estas paradojas con la teoría axiomática del y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), Von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual. Epistemología de la lógica proposicional. Aristóteles quien se considera padre la lógica, sus propuestas para este campo, junto a las aportaciones de los estoicos han constituido prácticamente las bases de toda la lógica hasta el siglo XIX Hoy esa relación se trata bajo un punto de vista completamente diferente; su formalización simbólica ha demostrado una íntima relación con las matemáticas, y dio lugar a la lógica matemática o lógica proporcional. En el siglo XX la lógica ha pasado a ser principalmente la lógica simbólica, un cálculo definido por símbolos y reglas de inferencia, lo que ha permitido su aplicación a la informática. La lógica es la disciplina filosófica que tiene un carácter formal, ya que estudia la estructura o formas de pensamiento (tales como conceptos, proposiciones, razonamientos) con el objeto de establecer razonamientos o argumentos válidos o correctamente lógicos. Epistemología de la teoría de conjuntos. Cantor no era el único ni el primero en trabajar aspectos relacionados a los conjuntos. fue Bolzano uno de los matemáticos que realizó grandes contribuciones a la conceptualización del infinito matemático, especialmente en su obra Las

Paradojas del Infinito, la cual constituye la primera crítica directa a la concepción dominante del infinito potencial. La obra de Bolzano (1851) es la primera que se atreve a efectuar un tratamiento eminentemente matemático del infinito y donde es visto como el objeto central de un estudio, presentándose en este sentido un cambio de actitud frente a la tradición aristotélica del infinito. En este sentido, Cantor se ve influenciado por la obra de Bolzano, afirmando que en esta “se encuentra una discusión correcta en muchos aspectos sobre el infinito impropio matemático”. Aunque Cantor va más allá de las reflexiones de Bolzano, al tomar un conjunto infinito para especificar los conjuntos infinitos de puntos como un todo en un intervalo infinito, así el concepto de punto de acumulación se constituye en un soporte para la teoría de conjuntos Cantoriana. A partir de éste, Cantor definiría más adelante los conjuntos derivados; se puede decir, además, que el teorema de Bolzano-Weierstrass fue la clave para demostrar que R no es equipotente con N. Con esto, Cantor se aleja de la creencia, que había perdurado durante más de veinte siglos, y que establecía la existencia de un sólo infinito inalcanzable y virtual, y en este sentido desarrolló una teoría acerca del tamaño de las colecciones infinitas y una aritmética infinita, que de alguna manera sirviera como una generalización de la aritmética ordinaria. Así, la teoría de conjuntos de Cantor, como menciona Lavine, (1994), se generaliza de tal manera que incluye la totalidad de las matemáticas, volviéndose crucial para la filosofía de las matemáticas y las matemáticas. Definición y significado de la lógica proposicional. La lógica proposicional (o matemática), también denominada como lógica de las funciones de verdad, es la más antigua rama de la lógica matemática que estudia proposiciones, argumentos, oraciones o afirmaciones, métodos de relaciones mediante conectores lógicos y los enlaces y propiedades que resultan de esos procedimientos. La lógica proposicional admite el razonamiento, a través de un instrumento que primero evalúa problemas simples y luego problemas más complejos establecidos mediante el uso de conectivos proposicionales. Definición y significado de teoría de conjuntos. La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática. Características de la lógica proposicional. Se caracteriza partiendo del valor que le damos a unos números y del significado que tienen unas letras y signos, creando así unos sistemas donde se

Conjunción: la letra “ y ”, en este caso para que la proposición compuesta sea verdad las dos proposiciones simples deben ser verdaderas.

Disyunción débil: la letra “o ”, para que la proposición compuesta sea verdad

una de las dos proposiciones será verdadera o las dos, la proposición compuesta sólo será falsa si las dos proposiciones simples que la componen son falsas. Disyunción fuerte: con la combinación “o.…o.… ” como en la frase “ o comes carne o comes pescado ”; en este caso para que la proposición compuesta sea verdadera una de las dos simples que la componen debe ser verdadera y la otra falsa, si las dos fueran verdaderas o las dos falsas la proposición compuesta sería falsa. Condicional: por la expresión “ sí … entonces ... ”: la primera proposición simple es el antecedente y el segundo consecuente. En este caso la proposición será verdadera salvo que la primera sea verdadera y la segunda falsa, en cuyo caso la compuesta será falsa.

Bicondicional: por la expresión “ sí y sólo sí ”, como en la frase “ el animal ladra sí

y sólo sí es un perro ”: en este caso la proposición compuesta es verdadera si las dos simples son, a la vez, verdaderas o las dos falsas, si una fuera verdadera y la otra falsa la compuesta sería falsa. Negación: puede ser con la expresión “ no ” o “ no es cierto que ”, para que la compuesta sea verdadera al menos una de las dos que la componen ha de ser falsa.

Tipos de conjuntos. Conjunto finito: es un conjunto en el que sus elementos son numerables. Ejemplos de conjuntos finitos son las letras del abecedario español, las vocales del castellano, los planetas del sistema Solar entre otros. A el número de elementos de un conjunto finito se le llama su cardinalidad. Conjunto infinito: se entiende por conjunto infinito todo aquel que el número de sus elementos es incontable, ya que sin importar lo grande que pueda ser el número de sus elementos siempre es posible encontrar más elementos. Un ejemplo de conjunto infinito es el conjunto de los números naturales N, el cual en forma extensiva se expresa de la siguiente manera: N = {1, 2, 3, 4, 5, …} es claramente un conjunto infinito, ya que no importa lo grande que pueda ser un número natural, siempre puede encontrarse el siguiente mayor, en un proceso sin fin. Claramente la cardinalidad de un conjunto infinito es ∞. Conjunto vacío: es el conjunto que no contiene elemento alguno. El conjunto vacío V se denota por Ø o mediante un par de llaves sin elementos en su interior: V = { } = Ø. El conjunto vacío es único, por lo tanto, debe es incorrecto decir “un conjunto vacío”, la forma correcta es decir “el conjunto vacío”. Entre las propiedades del conjunto vacío se tiene que el mismo es subconjunto de cualquier conjunto: Ø ⊂ A Además, si un conjunto es subconjunto del conjunto vacío, entonces necesariamente dicho conjunto será el vacío: A ⊂ Ø ⇔ A = Ø Conjunto unitario : se llama conjunto unitario todo conjunto que contenga un solo elemento. Por ejemplo, el conjunto de los satélites naturales de la Tierra es un conjunto unitario, cuyo único elemento es la Luna. El conjunto B de los números enteros menores que 2 y mayores que cero solo tiene el elemento 1 por lo tanto es un conjunto unitario. Conjunto binario : un conjunto es binario si solo posee dos elementos. Por ejemplo, el conjunto X, tal que x sea un número real solución de x^2 = 2. Este conjunto por extensión se escribe así:

Conclusión

Una vez finalizado el trabajo podemos destacar como la filosofía ha logrado ser la base toda ciencia y como a través de esta podemos realizar operaciones hoy en día.

Bibliografía

https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_l%C3%B3gica#:~:text=Los%20fil %C3%B3sofos%20estoicos%20introdujeron%20el,pero%20no%20tuvo%20mucho %20desarrollo.&text=Hasta%20el%20siglo%20XIX%2C%20la,eran%20formales %2C%20no%20eran%20formalistas. https://webs.ucm.es/info/pslogica/teoriaconjuntos.pdf https://www.studocu.com/latam/document/universidad-autonoma-de-santo- domingo/matematica-discr-para-computac/apuntes/historia-de-la-teoria-de-los- conjuntos/7261813/view http://funes.uniandes.edu.co/8566/ https://www.gestiopolis.com/que-es-logica-proposicional/ https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos https://www.webyempresas.com/logica-proposicional/ https://www.lifeder.com/teoria-de-conjuntos/ https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional https://www.sdelsol.com/glosario/logica-proposicional/