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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN
DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS
Y DE LAS INGENIERÍAS
INGENIERÍA MECÁNICA-ELÉCTRICA
APUNTES
ÁLGEBRA
POLINOMIOS
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
x
y
-4 -3 - 2 -1 0 1^2 3 4 5 6 7 8
3
4
1
2
5
6
7
8
-8 -7-6-5 -
**-
-**
y = P(x)^ = x -22x +170x -177x -1039x - 432x +1260^6 5 4 3 2
POLINOMIOS
El presente trabajo obviamente no pretende sustituir al tema
relacionado a los polinomios, contenidos en publicaciones tan
prestigiadas relacionadas con las matemáticas.
Surge de la necesidad de que el alumno de ingeniería puede
utilizarlo como una herramienta de apoyo para el estudio de la materia
de Álgebra en el TEMA III, denominado “POLINOMIOS” del programa
actual, así como de materias afines.
Cumple con el objetivo de dicho tema en lo referente al manejo
de los conceptos del álgebra de los polinomios y sus propiedades para
la obtención de raíces.
Por lo que si se quiere profundizar en el tema de polinomios,
es necesario consultar bibliografía especializada para tener una
información más amplia y con mayor profundidad que la que aquí se
presenta, ya que solamente esto es una guía.
ATENTAMENTE
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
,2008.
Ing. Francisco Raúl Ortíz González.
POLINOMIOS ii
CONTENIDO
- INTRODUCCIÓN Pág
- DEFINICIÓN
- 2.1. CLASIFICACIÓN
- 2.2. EL GRADO
- FUNCIONES POLINOMIALES
- 3.1. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE
- 3.1.1. OPERACIONES ARITMÉTICAS
- 3.1.1.1. SUMA o ADICIÓN
- 3.1.1.2. RESTA o SUSTRACCIÓN
- 3.1.1.3. MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO
- 3.1.1.4. DIVISIÓN o COCIENTE
- TEOREMAS
- 4.1. TEOREMA DEL RESIDUO
- 4.2. TEOREMA DEL FACTOR
- 4.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
- GRÁFICA DE UN POLINOMIO
- COEFICIENTES DEL POLINOMIO
- RAÍCES DE UN POLINOMIO
- 7.1. NATURALEZA DE LAS POSIBLES RAÍCES
- 7.1.1 REGLA DE LOS SIGNOS DE DECARTES
- 7.1.2 RAÍCES RACIONALES
- EJERCICIOS
- BIBLIOGRAFÍA
POLINOMIOS 1
1. INTRODUCCIÓN
Los tipos más simples de función se construyen mediante la aplicación repetida de las operaciones elementales de: potencias, multiplicación, división, adición y, sustracción. Por ejemplo:
2 x^4 − 3 x^6 + x −
y^3 + y
3 3 4 2 5 2 2
− z + z − z + + z
A cada una de estas expresiones que son llamadas “ términos algebraicos ” indican sumas y sustracción de monomios, las cuales forman polinomios. Estas expresiones algebraicas cuyos elementos están separados por los signos + o -, se forman por constantes y variables como se indica a continuación.
a) Coeficientes numéricos:
b) Variables:
x^4 , x^6 , x , x^0 y^3 , y z , z^3 , z^4 , z^0 , z^2.
Los cuales al asociarse respectivamente se crean los siguientes monomios:
2 x^4 ,− 3 x^6 , x −
y^3 ,− y
, 3 3 ,^4 , 2 , 5 2 2
− z z − z z
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
POLINOMIOS 3
2.2. EL GRADO
El grado de un polinomio es la potencia entera positiva mayor de una variable. Por ejemplo:
a) (^3) x^5 + 4 x^2 + 7 es un trinomio de grado 5. Porque el grado máximo de los tres monomios es 5.
b) 7 x^2 y^8 − 3 xy es un binomio de grado 10, c) 3 x + 2 y − xy es un trinomio de grado 2, y d) 18 x^2 y^3 − 12 x^7 y^2 + 3 x^9 y^3 − 3 es un polinomio de grado 12.
Si los exponentes de la variable de un polinomio con una variable disminuyen al ir de izquierda a derecha, se dice que aparecen en orden descendente. Si aumentan al avanzar de izquierda a derecha, se dice que aparecen en orden ascendente.
Ejemplo:
Escribir los exponentes de 7 x^2 − 5 x^4 + 3 x + 2 x^3 − 1 en:
a) Orden descendente, y b) Orden ascendente.
Solución:
a) − 5 x^4 + 2 x^3 + 7 x^2 + 3 x − 1 b) − 1 + 3 x + 7 x^2 + 2 x^3 − 5 x^4
3. FUNCIONES POLINOMIALES
Para nombrar un polinomio se utiliza la expresión del tipo P ( x ). Donde P
representa a la función polinomial, la cual puede ser cualquier letra, y x la indeterminada correspondencia llamada variable del polinomio. Así se pueden escribir los siguientes polinomios:
P ( x )= 2 x^4 − 3 x^6 + x −
Q ( y )= 4 y^3 + 2 y
R z z 3 z z 2 5 z 3
( )=− +^5 −^2 + +
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POLINOMIOS 4
Donde cada uno de los sumandos o monomios que forman a cada polinomio, es un término del mismo. A éstas expresiones se les llama funciones polinomiales.
Para evaluar una función polinomial en valores específicos de su variable, por
ejemplo P ( x )= x^6 + 4 x^5 − 3 x^2 + x − 2 cuando x = 1 , sustituimos a x por el valor de 1 y
simplificamos:
P ( x )= x^6 + 4 x^5 − 3 x^2 + x − 2 P ( 1 )=( 1 )^6 + 4 ( 1 )^5 − 3 ( 1 )^2 +( 1 )− 2 P ( 1 )= 1 + 4 − 3 + 1 − 2 P ( 1 )= 1
Como se puede ver, a cada número de (^) x corresponde un sólo valor de (^) P ( x ).
Si se aplican estas operaciones a una variable independiente (^) x y a un conjunto
de números reales a 1 (^) , a 2 , a 3 ,..., an se obtiene el polinomio general expresado de la
siguiente manera:
y = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + ... + an xn
El polinomio más simple, es la función lineal: y = ax + b , la cual se representa
gráficamente por medio de una línea recta. Otro caso es el de la función
cuadrática: y = ax^2 + bx + c , que representa una parábola.
3.1. POLINOMIOS DE UNA VARIABLE
En términos generales la representación de un polinomio con sólo una variable es la siguiente:
1 0 1
2 2
2 2
1 P ( x ) a x a 1 x a x ... ax ax aox n n
n n
n = (^) n + + + + + + − −
− −
Pero: (^) a (^) 1 x^1 = a 1 x y (^) a (^) 0 x^0 = a 0 ( 1 )= a 0 , recordando que (^) x^0^ = 1 , por lo tanto:
P ( x )= an xn + an − 1 xn −^1 + an − 2 x^ n −^2 + ... + a (^) 2 x^2 + a 1 x + ao
Este polinomio es la suma de varios términos algebraicos cuyas variables tiene exponentes enteros, donde: P ( x ) es la variable dependiente, x es la variable
independiente, a (^) n , an − 1 , an − 2 , an − 3 ,..., a 2 , a 1 , a 0 son los números reales, a 0 es el término
independiente; y, n es la potencia o exponente entero máximo.
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
POLINOMIOS 6
Al ordenar los polinomios en forma descendente, resulta lo siguiente:
3 x^4 + 2 x^2 − x + 2
- (^) x^5 − 2 x^4 + x^3 − 4 x + 3
- (^2) x^5 + 5 x^4 − x^3 − 2 x^2 + 4 x − 3
cuya operación da como resultado:
3 x^5 + 6 x^4 − x + 2
Por lo que: P ( x )+ Q ( x )+ R ( x )= 3 x^5 + 6 x^4 − x + 2
3.1.1.2. RESTA o SUSTRACCIÓN
Con las dos expresiones de los polinomios P ( x )y Q ( x )del inciso 3.1.1.1. , realizar:
P ( x )− Q ( x ) =
Que al ser sustituidos en la expresión resulta lo siguiente:
P ( x )− Q ( x ) =( a (^) n xn + an − 1 xn −^1 + an − 2 xn −^2 +... + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 )-
- ( b (^) n xn + bn − 1 xn −^1 + bn − 2 xn −^2 +... + b 2 x^2 + b 1 x + b 0 )
Donde al restar y agrupar términos se obtiene lo siguiente:
= ( an − bn ) x n +( an − 1 − bn − 1 ) xn −^1 +( an − 2 − bn − 2 ) x^ n −^2 +...+( a (^) 2 − b 2 ) x^2 +( a 1 − b 1 ) x +( a 0 − b 0 )
Dando como resultado otro polinomio con una sola variable, pero con diferente valor en los coeficientes y el término independiente.
Ejemplo:
Sea: P ( x )= 3 x^4 − 2 x^3 + x^2 + x − 2 y Q ( x )= x^4 + x^3 − 3 x + 2. Obtener: P ( x )− Q ( x )
Solución:
P ( x )+ Q ( x )= = (^) ( 3 x^4^ − 2 x^3 + x^2 + x − 2 )- (^) ( x^4 + x^3 − 3 x + 2 )= = (^3) x^4 − x^4 − 2 x^3 − x^3 + x^2 + x + 3 x − 2 − 2 = (^2) x^4 − 3 x^3 + x^2 + 4 x − 4
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
POLINOMIOS 7
3.1.1.3. MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO
Sean: P ( x )= am xm + am − 1 xm −^1 + an − 2 xn −^2 ++ a 2 x^2 + a 1 x + a 0
y Q ( x )= bn xn + bn − 1 xn −^1 + bn − 2 x^ n −^2 +... + b 2 (^) x^2 + b 1 x + bo .Efectuar: P ( x ) Q ( x )
Sustituyendo en la expresión, resulta lo siguiente:
P ( x ) Q ( x )= = ( a (^) m xm + am − 1 xm −^1 + am − 2 xm −^2 + + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 ) ( b (^) n xn + bn − 1 xn −^1 + bn − 2 xn −^2 +... + b 2 x^2 + b 1 x + b 0 ) = ( am xm )( b (^) n xn + bn − 1 xn −^1 + bn − 2 xn −^2 +... + b 2 x^2 + b 1 x + b 0 )+
( a (^) m − 1 x^ m^ −^1 )( b (^) n xn + bn − 1 xn −^1 + bn − 2 xn −^2 +... + b 2 x^2 + b 1 x + b 0 )+
(^) ( am (^) − 2 x^ m^ −^2 )( b (^) (^) n xn + bn − 1 xn −^1 + bn − 2 xn −^2 +... + b 2 x^2 + b 1 x + b 0 )+
…………………………………………………………………….. +
( a 2 (^) x^2 )( b (^) n xn + bn − 1 xn −^1 + bn − 2 xn −^2 +... + b 2 x^2 + b 1 x + b 0 )+
(^) ( a 1 (^) x )( b (^) (^) n xn + bn − 1 xn −^1 + bn − 2 xn −^2 +... + b 2 x^2 + b 1 x + b 0 )+
( a 0 )( b (^) n xn + bn − 1 xn −^1 + bn − 2 xn −^2 +... + b 2 x^2 + b 1 x + b 0 )
Lo que da como resultado otro polinomio pero de grado m + n , siendo la primera m el grado del primer polinomio y la siguiente n , el grado del segundo polinomio.
Ejemplo:
Sean: P ( x )= 3 x^3 + x^2 − 3 y Q ( x )= 2 x^2 − 2
Calcular (^) P ( x ) Q ( x )
Solución:
P ( x ) Q ( x )= ( 3 x^3 + x^2 − 3 ) ( 2 x^2 − 2 )= = ( 3 x^3 )( 2 x^2 − 2 )+ ( x^2 )( 2 x^2 − 2 )+ (− 3 )( 2 x^2 − 2 )= = 6 x^5 − 6 x^3 + 2 x^4 − 2 x^2 − 6 x^2 + 6 = = 6 x^5 − 6 x^3 + 2 x^4 − 8 x^2 + 6
3.1.1.4. DIVISIÓN o COCIENTE
Sean: P ( x )= x^4 − 16 y Q ( x )= x^2 + 3 x + 1. Efectuar la siguiente operación (división):
Q x
Px
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POLINOMIOS 9
2 5 0 -2 -
2 - 1 3
2 5 0 -2 -
2 - 1 3 -11 25
-3 - 6^3 - 9^33
obsérvese que no debe omitirse el coeficiente cero de x^2.
El proceso de operación se realiza de la siguiente manera: bajar el primer término del dividendo.
Multiplicar éste por − 3 , colocándolo debajo del siguiente coeficiente para efectuar la adición.
Repetir el paso anterior, ahora con el nuevo coeficiente obtenido.
Se continúa con el proceso hasta que se hayan utilizado todos los coeficientes, obteniendo el siguiente resultado:
Coeficientes del cociente residuo
2 5 0 -2 -
2 5 0 -2 -
2 - 1
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POLINOMIOS 10
1 8 -29 44
1 - 3 4 0
Como se está dividiendo un polinomio de grado 4 con respecto a uno de grado 1 , el cociente debe ser de grado 3 con su término independiente. Si se observa el resultado existen 5 coeficientes, pero el valor de 25 se llama residuo ; el cual cuando es igual a cero la división es exacta, en caso contrario la división es no exacta , por lo que: .
− x
x x x x
x x x x r
Px
es una división no exacta.
Ejercicio:
Sea el siguiente polinomio P ( x )= x^3 + 8 x^2 − 29 x + 44 , dividirlo con respecto a Q ( x )= x + 11 , por ambos métodos.
Solución:
a) División algebraica ordinaria
x^2 − 3 x + 4 cociente
x + 11 x^3 + 8 x^2 − 29 x + 44 − x^3 − 11 x^2
− 3 x^2 − 29 x + 44 3 x^2 + 33 x
4 x + 44 − 4 x − 44
0 residuo
b) División sintética
Coeficientes del cociente residuo
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
POLINOMIOS 12
4.2. TEOREMA DEL FACTOR
Si r es una raíz de P ( x )= 0 , se deduce, por definición de raíz, que P ( x )= 0 ,
entonces x − r es un factor del polinomio P ( x ), y viceversa.
Ejemplo:
Por medio del teorema del factor, demostrar que x − 5 es un factor dado de P ( x )= x^3 − 8 x^2 + 19 x − 20.
Solución:
x − 5 será factor de P ( x )si P ( 5 )= 0.
Por lo que: P ( 5 )=( 5 )^3 − 8 ( 5 )^2 + 19 ( 5 )− 20 = 0
Esto indica que si x = 5 este factor es una raíz de dicho polinomio.
4.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
El teorema fundamental del Álgebra dice: un polinomio P ( x )= 0 tiene por lo
menos una raíz, ya sea real o compleja ; y, que al utilizar el siguiente teorema que indica: una ecuación entera P ( x )= 0 , de grado n , tiene exactamente n raíces.
Sea el siguiente polinomio: P ( x )= an xn + an − 1 xn −^1 + an − 2 xn −^2 +....+ a 2 x^2 + a 1 x + a 0 = 0.
Donde a 0 (^) ≠ 0 , al emplearse el teorema fundamental, dicho polinomio tiene por lo
menos una raíz ( r 1 ). Por tanto, por el teorema del factor, ( x − r 1 ) es un factor de P ( x ), y
se puede escribir:
P ( x )≡ ( x − r 1 ) Q 1 ( x ), siendo Q 1 (^) ( x ) un polinomio de grado n − 1 con coeficiente
principal an.
Así mismo, al seguir empleando el teorema fundamental donde Q 1 (^) ( x )= 0 posee
por lo menos una raíz, es decir r 2. Por tanto, por el teorema del factor, x − r 2 es un
factor de Q 1 (^) ( x ), con lo que P ( x )= ( x − r 1 )( x − r 2 ) Q 2 ( x )= 0 , en donde Q 2 (^) ( x ) es un
polinomio de grado (^) n − 2 con coeficiente principal a (^) n.
Continuando con este proceso n veces, se obtienen n factores lineales y un último cociente que será simplemente el coeficiente principal an. Por tanto, P ( x )se
puede escribir en la forma siguiente:
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
POLINOMIOS 13
2 2 6 8 4 1 3 4 2 0
1 1 -2 -6 -
P ( x )≡ an ( x − rn )( x − rn − 1 )( x − r 0 )
Donde rn , rn − 1 , rn − 2 ,, r 0 , son n raíces de la ecuación o polinomio P ( x ).
Ejemplo:
Construir el siguiente polinomio que tiene las siguientes raíces: 1 , − 3 , 2 y 2.
Solución:
El primer miembro del polinomio buscado tiene los factores:
x − 1 , x + 3 , x − 2 yx − 2.
Por tanto: ( x − 1 )( x + 3 )( x − 2 )( x − 2 )= 0
Al efectuar los tres productos resulta el siguiente polinomio o ecuación.
x^4 − 2 x^3 − 7 x^2 + 20 x − 12 = 0
que es de grado 4, con coeficientes:
a 4 = 1 , a 3 =− 2 , a 2 =− 7 , a 1 = 20 ya 0 =− 12
Siendo a 0 (^) =− 12 el término independiente.
Ejemplo:
Comprobar que x − 2 = 0 es una raíz de la ecuación x^4 + x^3 − 2 x^2 − 6 x − 4 = 0 , y hallar las raíces restantes.
Solución:
Primeramente se comprobará que 2 es una raíz usando para ello el método de la división sintética:
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
POLINOMIOS 15
Todo punto cuyas coordenadas satisfacen al polinomio se dice que pertenecen al lugar geométrico de y = P ( x ). Esto es, si las coordenadas de un punto satisfacen un
polinomio entonces ese punto pertenece al lugar geométrico del polinomio, y recíprocamente, si un punto pertenece al lugar geométrico de un polinomio o ecuación sus coordenadas satisfacen al polinomio.
Ya que las coordenadas de los puntos de un lugar geométrico están restringidas a satisfacer al polinomio, entonces, en general, dichos puntos quedarán localizados en posiciones que determinan una trayectoria definida llamada curva , gráfica o lugar geométrico.
Ejemplo:
Construir la gráfica del polinomio
P ( x )= x^4 − x^3 − 12 x^2 + 8 x + 24 y localizar las raíces reales de la ecuación P ( x )= 0.
Solución:
Primeramente se obtendrán las coordenadas de un número adecuado de puntos de la gráfica. Las ordenadas se calculan por sustitución en P ( x ) de los valores
asignados a x. Sin embargo, en muchos casos pueden obtenerse con menos esfuerzo utilizando la división sintética.
Generalmente conviene empezar con los valores de x : 0 ,± 1 ,± 2 ,± 3 ,± 4 ,etc.,
continuando mientras de información útil acerca de las raíces reales.
Donde se observa que si: x = 2 , y = P ( 2 )= 0 cuya pareja ordenada es ( x , y )=( 2 , 0 ).
Ahora bien, si: x =− 3 , y = P ( − 3 )= 0 , esto significa que: ( x , y )=(− 3 , 0 )
Siendo x = 2 , y x =− 3 , las primeras dos raíces reales del polinomio que al
aplicarlas como elemento de P ( x )= x^4 − x^3 − 12 x^2 + 8 x + 24 resulta lo siguiente en la
división sintética:
x P(x)
0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -
24 20 0 -6 56 6 -16 0 120
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
POLINOMIOS 16
1 1 -10 -12 -
1 -2 -4 0
-3 6 12
Dando como resultado el siguiente polinomio: x^3^ + x^2 − 10 x − 12 = 0 , el cual al ser
dividido por − 3
se obtiene el polinomio: x^2 − 2 x − 4 = 0. Gráficamente se indica su representación:
1 -1 -12 8 24
1 1 -10 -12 0
2 2 -20 24
2
x
y = P (x)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
10
20
30
40
50
60
0
Ing. Francisco Raúl Ortíz González
