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Escuela Profesional: Ingeniería Civil
Mg. Lic. Fís Elmer Walmer Vásquez Bustamante DINÁMICA
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PRÁCTICA CALIFICADA G
APELLIDOS Y NOMBRES: ……………………………………………………………………………………………….…
Fecha: 14 de julio de 2017
1. Dos bolas de masa m 1 = 18 kg y m 2 = 4 kg, se encuentran
unidas por una cuerda imponderable, de modo que la porción de cuerda de longitud “ l ” que sostiene a m 1 siempre forma con la vertical un ángulo 𝜃. ¿Cuál es la velocidad angular de rotación del péndulo cónico formado?
SOLUCIÓN
De la figura:
𝑇 = 𝑚 2 𝑔 (1) 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚 1 𝑔 (2)
Reemplazamos (1) en (2): 𝑚 2 𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚 1 𝑔
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
( 3 )
T
T
𝜽
𝑻𝒄𝒐𝒔𝜽
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De la figura observamos que la fuerza resultante que actúa sobre la partícula es centrípeta, entonces:
𝐹𝑐 𝑚𝑔
𝑚𝜔^2 𝑟 = 𝑚𝑔. 𝑇𝑎𝑛𝜃
𝑚𝜔^2. 𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑔.
𝜔^2 =
𝜔 = √^
𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 (^4 )
Reemplazamos (3) en (4) y los datos, se tiene:
𝐿 𝑚𝑚^1
2
𝐿. 𝑚 1 =^
(5 𝑚)(18 𝑘𝑔) =^ 𝟎, 𝟔𝟔 𝒓𝒂𝒅 𝒔
2. Del sistema de poleas que se indica, ¿con qué rapidez se mueve el bloque, si la esfera
baja con una rapidez constante de 0,2 m/s?
𝜽
𝜽 𝒎𝒈
𝑻
𝑭𝒄
𝜽
𝑳
𝒓
𝑯
𝑨
𝑩
𝑨
𝑶
𝑶 𝑩
Del triángulo rectángulo AOB, se tiene: 𝑟 = 𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃
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=========================================================================================== SOLUCIÓN
Para que el cilindro suba por el ladrillo, la fuerza de contacto entre el cilindro y el ladrillo debe ser nula.
𝑚𝜔^2 𝑟′
4. Durante un corto tiempo, el engranaje A del
motor de arranque de un automóvil gira con una aceleración angular de 𝛼𝐴 = (50𝜔^1 ⁄^2 ) 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 2 , donde 𝜔 está en rad/s. Determine la velocidad angular del engrane B después de que el engranaje A ha realizado 50 revoluciones, a partir del punto de reposo. Los radios de los engranajes A y B son 10 mm y 25 mm, respectivamente. SOLUCIÓN
𝑡
0
𝜔𝐴
0
50 𝜔𝐴^1 /^2
𝜔𝐴
0
𝑡| 0 𝑡^ =
. 2. 𝜔𝐴^1 /^2 | 0 𝜔𝐴
1 / 2
𝜃𝐴
0
𝑡
0
𝜃𝐴
0
= ∫( 625 𝑡^2 )
𝑡
0
𝜽
𝜽
𝑹
𝑭𝒄
𝒎𝒈
𝑪 𝑪 𝜽
𝟐 𝒄𝒎
𝟖 (^) 𝒄𝒎
𝟔 𝒄𝒎
𝜃 = 𝑇𝑎𝑛−^1 (^68 ) 𝜃 = 37°
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=========================================================================================== 𝝎𝑨 = 𝟔𝟐𝟓𝒕𝟐^ 𝒓𝒂𝒅/𝒔 (^) 𝜃 𝐴| 0
𝜽𝑨 = 𝟐𝟎𝟖, 𝟑𝟑𝟑𝒕𝟑^ 𝒓𝒂𝒅
Por dato del problema:
𝜃𝐴 = 50 𝑟𝑒𝑣 (
1 𝑟𝑒𝑣 )^ =^100 𝜋^ 𝑟𝑎𝑑
Calculamos en tiempo que demora el engranaje A en dar las 50 rev: 208 , 333 𝑡^3 = 100 𝜋
3 = 1 , 147 𝑠
Calculamos luego la velocidad angular del engranaje A en t = 1,147 s 𝜔𝐴 = 625 ( 1 , 147 )^2 𝜔𝐴 = 822 , 256 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Por transmisión de movimientos: 𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 ⇒ 𝜔𝐴𝑅𝐴 = 𝜔𝐵𝑅𝐵
𝝎𝑩 = 𝜔𝐴 (
5. Si en un principio el operador impulsa los pedales
a 20 rev/min y luego inicia una aceleración angular de 30 rev/min^2 , determine la velocidad angular del volante F cuando t = 3 s. Observe que el brazo del pedal está conectado al plato de la cadena A , la cual al girar impulsa la polea acanalada B mediante un engrane de acoplamiento D. La banda se enrolla alrededor de la polea acanalada y luego impulsa la polea E y el volante fijo. SOLUCIÓN 𝜔 = 𝜔𝑂 + 𝛼𝑐𝑡
𝜔𝐴 = 20 + 30 (
Transmisión de movimientos
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=========================================================================================== PRÁCTICA CALIFICADA G
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Fecha: 14 de julio de 2017
- Un péndulo cónico doble gira alrededor de un eje vertical de manera que los dos hilos se encuentran siempre en un mismo plano, y forman con la vertical ángulos constantes 𝛼 = 30° 𝑦 𝛽 = 37°. Las longitudes de los hilos son las mismas e iguales a l = 33 cm. Calcule la velocidad angular de rotación del péndulo.
SOLUCIÓN
Reemplazando datos, se tiene:
𝜔 = √^
𝑻
𝑚𝑔
𝑇𝑐𝑜𝑠𝛽
𝜷 𝑙𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑙𝑠𝑒𝑛𝛼
𝐹𝑐 = 𝑚𝜔^2 𝑟
𝑇𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑚𝜔^2 (𝑙𝑠𝑒𝑛𝛽 + 𝑙𝑠𝑒𝑛𝛼) ( 2 )
Dividiendo (2) entre (1)
𝑇𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑇𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑚𝜔^2 (𝑙𝑠𝑒𝑛𝛽 + 𝑙𝑠𝑒𝑛𝛼)
𝜔^2 (𝑙𝑠𝑒𝑛𝛽 + 𝑙𝑠𝑒𝑛𝛼)^ = 𝑔. 𝑡𝑎𝑛𝛽
𝜔 = √^
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- Del sistema de poleas se sabe que la polea 1 presenta una rapidez angular de 3 rad/s. En 5 s, ¿cuánto recorre la esfera? (r = 24 cm)
SOLUCIÓN
El recorrido de la esfera es: 𝑑𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝑣𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎(5)^ (∗) Del gráfico: v(5) = v(esfera)
𝑣 1 = 𝑣 2 𝜔 1 𝑅 1 = 𝜔 2 𝑅 2
6 r
4 r
r
r
2 r
𝝎𝟏 = 𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔
(𝟏)
(𝟐)
(𝟑)
(𝟒)
(𝟓)
𝒗𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂
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=========================================================================================== Para que el cilindro suba por el ladrillo, la fuerza de contacto entre el cilindro y el ladrillo debe ser nula.
𝑚𝜔^2 𝑟′
𝑚𝑔 ⇒^ 𝜔 = √
- Durante un corto tiempo, el engranaje A del motor de arranque de un automóvil gira con una aceleración angular de 𝛼𝐴 = (450𝑡^2 + 60) 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 2 , donde t está en segundos. Determine la velocidad y desplazamientos angulares del engranaje B cuando t = 2 s, a partir del punto de reposo. Los radios de los engranajes A y B son 10 mm y 25 mm, respectivamente. SOLUCIÓN
𝜔𝐴
0
𝑡
0
= ∫ ( 450 𝑡^2 + 60 )𝑑𝑡
𝜔𝐴
0 𝜔𝐴| 0 𝜔𝐴^ = ( 150 𝑡^3 + 60 𝑡)| 0 𝑡 𝜔𝐴 = ( 150 𝑡^3 + 60 𝑡) 𝑟𝑎𝑑/𝑠 t = 2s 𝜔𝐴 = ( 150 ( 2 )^3 + 60 ( 2 )) 𝜔𝐴 = 1 320 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝜃𝐴
0
𝑡
0
𝜃𝐴
0
= ∫( 150 𝑡^3 + 60 𝑡)
𝑡
0
𝜃𝐴| 0 𝜃𝐴^ = 37 , 5 𝑡^4 + 30 𝑡^2 | 0 𝑡
𝜃𝐴 = ( 37 , 5 𝑡^4 + 30 𝑡^2 ) 𝑟𝑎𝑑
t = 2s 𝜃𝐴 = ( 37 , 5 ( 2 )^4 + 30 ( 2 )^2 ) 𝜃𝐴 = 720 𝑟𝑎𝑑
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=========================================================================================== Por transmisión de movimientos:
𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 ⇒ 𝜔𝐴𝑅𝐴 = 𝜔𝐵𝑅𝐵
𝝎𝑩 = 𝜔𝐴 (
𝑅𝐵^ ) =^ 1 320 (
0,025) =^ 𝟓𝟐𝟖 𝒓𝒂𝒅/𝒔
𝑅𝐵^ ) = 720 (
- Si en un principio el operador impulsa los pedales a 12 rev/min y luego inicia una aceleración angular de 8 rev/min^2 , determine la velocidad angular del volante F después que el pedal ha girado 2 revoluciones. Observe que el brazo del pedal está conectado al plato de la cadena A , la cual al girar impulsa la polea acanalada B mediante un engrane de acoplamiento D. La banda se enrolla alrededor de la polea acanalada y luego impulsa la polea E y el volante fijo. SOLUCIÓN 𝜔^2 = 𝜔𝑜^2 + 2𝛼𝑐(𝜃𝑓 − 𝜃𝑜)
𝜔^2 = (12)^2 + 2(8)(2 − 0) 𝜔 = √144 + 32 = 13,266 𝑟𝑒𝑣/𝑚𝑖𝑛
Transmisión de movimientos
𝑣𝐴 = 𝑣𝐷 𝜔𝐴𝑟𝐴 = 𝜔𝐷𝑟𝐷
𝜔𝐷 = 𝜔𝐴
𝑟𝐷^ =^13 ,^266
