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Probabilidad total
Comencemos por recordar lo que es una partición. Una partición de un conjunto es una forma de dividirlo en una determinada cantidad de subconjuntos denominados partes, tales que esas partes son todas disjuntas, y a la vez la unión de todas ellas forman el conjunto original. Por ejemplo ilustremos una posible partición de un determinado conjunto E:
Vemos en el dibujo que se cumplen las dos condiciones que enunciamos sobre las partes:
- E= ¿ i= 1
n pi
(la unión de las partes es el conjunto)
- pi ∩ pj = ∅ para i≠j (todas las partes son disjuntas entre sí)
Por otro lado, recordemos que si un determinado conjunto A está incluído en otro conjunto E, entonces por propiedades de conjuntos sabemos que
A ∩ E = A Usando dicho resultado, podemos decir que si el conjunto E es el espacio muestral de un experimento y A es un suceso (o sea un subconjunto de ese espacio muestral), entonces: P(A) = P(A ∩ E) (porque como A ⊂ E, A ∩ E = A)
Luego podemos, por ejemplo, crear una partición del conjunto E, subdividiéndolo en n
partes pi, y luego por la primera propiedad de las particiones, E= ¿ i= 1
n pi
Es decir, podemos escribir E como la unionatoria de las partes, y entonces:
P(A ∩ E) = P(A ∩ ¿ i= 1
n pi ) = P(A ∩ (p 1 ∪ p 2 ∪ ... ∪ pn))
Luego se puede aplicar la propiedad distributiva de conjuntos, y se obtiene: P(A ∩ (p 1 ∪ p 2 ∪ ... ∪ pn)) = P((A ∩ p 1 ) ∪ (A ∩ p 2 ) ∪ ... ∪ (A ∩ pn))
Notemos ahora que como las pi son disjuntas, entonces los (A ∩ pi) también son todos disjuntos. En consecuencia, por el tercer axioma podemos escribir la probabilidad de esa suma como la suma de las probabilidades, y nos queda: P((A ∩ p 1 ) ∪ (A ∩ p 2 ) ∪ ... ∪ (A ∩ pn)) = P(A ∩ p 1 ) + P(A ∩ p 2 ) + ... + P(A ∩ pn) =
i= 1
n P A∩ p i
Entonces, en resumen, llegamos a lo que se conoce como fórmula de la probabilidad total:
P A =∑
i= 1
n P A∩ p i
Es decir, la probabilidad de A es la suma de las probabilidades de las intersecciones de A con cada parte del espacio muestral. Esto es útil porque a menudo se quiere calcular la probabilidad de un determinado suceso compuesto por diversos resultados y resulta muy fácil y práctico (y a veces casi obligatorio) encontrar una partición del espacio muestral y calcular la probabilidad del suceso mediante la fórmula de la probabilidad total.
Otro resultado que es útil y constituye un caso particular de probabilidad total es la de un suceso y su complemento. Dado un espacio muestral E y un suceso cualquiera D, como se estudió al comienzo de este capítulo D y DC^ forman una partición de E porque D ∪ DC^ =
E y D ∩ DC^ = ∅. D y DC^ son entonces las pi, y podemos calcular la probabilidad de otro suceso A con la probabilidad total:
P A =∑
i= 1
n P A∩ p i = P A∩D P A∩DC^
Vemos ahí justificada de otra forma la expresión que utilizamos antes para resolver problemas. En el fondo estábamos usando probabilidad total.
Pero volvamos a la fórmula de la probabilidad total. Si hacemos un paso más y le
aplicamos la definición de probabilidad condicional a P(A ∩ pi), llegamos a una expresión alternativa, que por lo general resulta más práctica y se usa en la mayoría de los casos:
P A =∑
i= 1
n
P A∩ p i =∑
i= 1
n P A/ p i . P pi
Problemas típicos
Siguiendo el mismo análisis del ejercicio anterior, el experimento consiste en tomar una lamparita, y ver quién la fabricó, y si es defectuosa. Tomamos los siguientes sucesos: A: que la lamparita haya sido fabricada por la planta A B: que la lamparita haya sido fabricada por la planta B D: que la lamparita sea defectuosa Observamos que A y B son una partición de E, porque A ∪ B = E (la lamparita
obligatoriamente fue fabricada por alguna de las 2 plantas) y A ∩ B = ∅ (la lamparita no puede haber sido fabricada por las 2 plantas). Nos piden P(D). Como en el ejercicio anterior vimos el desarrollo paso por paso, ahora aplicaremos directamente la fórmula de la probabilidad total:
P D =∑
i= 1
n
P D∩ p i =∑
i= 1
n P D/ p i . P p i
Donde n = 2, P 1 = A, P 2 = B. Usamos la segunda expresión y queda:
P D =∑
i= 1
n P D/ P i . P P i =P D/ A . P A P D/ B . P B
Observemos que si nos dicen que la probabilidad de que una lamparita fabricada por A sea defectuosa es 0.01, nos están diciendo P(D / A) = 0.01. Entonces:
Otros problemas
La probabilidad total es una herramienta muy utilizada en muchos temas de probabilidad y estadística, por lo que las aplicaciones más importantes aparecerán en los próximos capítulos.
