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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA.

APLICACIONES A LA INGENIERÍA

DEPOOL RIVERO, RAMÓN

MONASTERIO, DIÓSCORO

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA.

APLICACIONES A LA INGENIERÍA

Dr. DEPOOL RIVERO, RAMÓN

Profesor Titular de la Unexpo

Vicerrectorado Barquisimeto

Ing. MONASTERIO, DIÓSCORO

Profesor Titular de la Unexpo

Vicerrectorado Barquisimeto

Depósito Legal Número: lfi 05120133102363

Publicado de manera gratuita por la Unexpo en la

página http://www.bqto.unexpo.edu.ve/

ÍNDICE

PÁGINA

INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1. Nociones Básicas de Estadística. Definiciones Básicas. Escalas de Medición. Elaboración de Tablas. Representaciones Gráficas de Datos. Problemas propuestos.

CAPÍTULO 2. Medidas Descriptivas. Medidas de Tendencia Central. Medidas de Dispersión. Medidas de Posición. Problemas propuestos

CAPÍTULO 3. Probabilidades. Definiciones Básicas. Conteo de Puntos Muestrales. Probabilidad de un Evento. Problemas propuestos.

CAPÍTULO 4. Distribuciones de Probabilidad. Variable Aleatoria. Distribución Discreta de Probabilidad. Distribución Continua de Probabilidad. Distribución de Probabilidad Conjunta. Problemas propuestos.

CAPÍTULO 5. Esperanza Matemática. Medidas de Tendencia Central. Medidas de Dispersión. Propiedades de las Medidas de Tendencia Central y de Dispersión. Teorema de Chebychev. Problemas propuestos.

CAPÍTULO 6. Distribución de Probabilidad Discreta. Distribución Uniforme. Distribución de Bernoulli. Distribución Binomial y Multinomial. Distribución Hipergeométrica. Distribución Binomial Negativa. Distribución Geométrica. Distribución de Poisson. Teoría de Colas. Problemas propuestos.

CAPÍTULO 7. Distribución de Probabilidad Continua. Distribución Normal. Aproximación Normal a la Distribución Binomial. Aproximación Normal a la Distribución de Poisson. Distribución Uniforme. Distribución Log-Normal. Distribución ji Cuadrada. Distribución t de Student. Distribución F. Distribución Gamma. Distribución Exponencial. Distribución de Weibull. Distribución Beta. Problemas propuestos.

CAPÍTULO 8. Distribución de Muestreo, Estimación Puntual y por Intervalo. Distribución Muestral de la Media. Distribución Muestral de la Varianza. Distribución Muestral del cociente de Varianzas. Inferencia Estadística. Estimación Puntual. Estimación por Intervalo. Problemas propuestos.

CAPÍTULO 9. Pruebas de Hipótesis. Prueba de Hipótesis relacionada con Medias. Prueba de Hipótesis relacionada con Proporciones. Prueba de Hipótesis relacionada con Varianzas. Problemas propuestos.

ANEXO I. TABLA DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 271

ANEXO II. TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON 279

ANEXO III. TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR 286

ANEXO IV. TABLA DE DISTRIBUCIÓN JI CUADRADA 289

ANEXO V. TABLA DE DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT 291

INTRODUCCIÓN

El presente libro tiene como finalidad fundamental servir como soporte bibliográfico en un curso de Probabilidad y Estadística para estudiantes de Ingeniería, aunque puede ser utilizado por otros profesionales, debido a que la teoría se presenta de una manera sencilla y con muchas aplicaciones, que pueden adaptarse a otras disciplinas. La Probabilidad y la Estadística son dos campos distintos aunque relacionados entre sí. Utilizando la Probabilidad se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas tales como: Física, Matemática, Economía, Ingeniería y Filosofía, para obtener conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente sistemas complejos. La Estadística es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado. Sin embargo, la Estadística es más que eso, es decir, es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica. La Probabilidad y Estadística puede utilizarse para optimizar el uso del material y la fuerza de trabajo. Al investigar el desarrollo de nuevos productos, éstas permiten comprender los fenómenos sujetos a distintas variaciones y predecirlos, así como también controlarlos de manera eficiente. En este libro se presentan los temas, iniciando de lo más elemental, con un breve resumen de Estadística General; luego se introduce la teoría básica de Probabilidad, para entrar en el estudio, un tanto profundo, de las Distribuciones de Probabilidad para variables continuas y discretas, con lo cual se logra tener una visión amplia del alcance, utilidad e importancia de los conocimientos tantos de Estadísticos como de las Probabilidades. Al principio de cada capítulo se expone un pequeño comentario introductorio. Cada teoría es ilustrada con ejemplos prácticos; y se incluye una lista de problemas propuestos, al final de cada capítulo, con sus respectivas respuestas a los problemas impares.

Para dar soporte informático al estudio de la Probabilidad y Estadística, se hace necesario el manejo de algún software tanto Matemático como Estadístico, que permitan realizar los cálculos y elaborar representaciones gráficas adecuadas. Para tal finalidad se han escogido los software Matemático “Derive” y “GeoGebra”, el software Estadístico “Statgraphics Centurion XVI” (versión 16.1.15) y el programa Microsoft Office Excel.

La distribución de libro es de manera gratuita a través de la página virtual de la Universidad Politécnica Unexpo (http://www.bqto.unexpo.edu.ve/)

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Un dato por sí mismo no constituye información, es el procesamiento de los datos lo que nos proporciona información.

DEFINICIÓN 1.2****. Sujeto. Es el objeto de investigación; el cual puede ser animado o inanimado. Personas, objetos, medidas, etc., son ejemplos de sujetos.

DEFINICIÓN 1.3****. Población. Conjunto de sujetos que poseen una característica común observable. El investigador debe definir la población en estudio; la cual puede ser tan pequeña como se quiera.

Ejemplo 1.1. La población en una empresa puede estar definida por la producción de tornillos en un día determinado; por el personal de guardia en un turno de trabajo; por las órdenes de pedido de un artículo producido; por los productos defectuosos en una producción, etc.

DEFINICIÓN 1.4****. Muestra. Es un conjunto de sujetos tomados de una población. Ya que la muestra es parte de una población, se debe tener cuidado que sea representativo de la población, es decir que las características esenciales de la población estén reflejadas en la muestra.

Ejemplo 1.2. En relación con ejemplo 1.1, una muestra puede ser, los tornillos con un tipo de rosca, el personal que estaba de guardia en la entrada, los artículos de una cierta utilidad, los que tienen un tipo definido de defecto.

DEFINICIÓN 1.5****. Variable.

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Característica de los sujetos que puede tomar valores diferentes. Las variables a estudiar son las variables discretas y las continuas. Las discretas tienen como caracteriza la existencia de saltos o discontinuidades entre un valor y otro; además puede tomar sólo valores enteros finitos o contables. Las continuas pueden tomar todos los valores posibles dentro de un intervalo dado.

Ejemplo 1.3. El número de empleados en una fábrica, la producción de una determinada pieza para automóvil, son ejemplos de variables discretas. La longitud de una barra de metal, el tiempo, la velocidad, la temperatura, son ejemplos de variables continuas.

DEFINICIÓN 1.6****. Parámetro. Son valores constantes que definen una población. Los parámetros suelen notarse con letras griegas ( μ,σ ).

Ejemplo 1.4. Supóngase que se está estudiando la población, constituida por la producción semanal de una determinada pieza; un parámetro puede ser el promedio poblacional de producción semanal.

DEFINICIÓN 1.7****. Estadístico. Valores calculados de los datos de una muestra y estiman a los parámetros de una población.

Ejemplo 1.5. El promedio muestral de producción de una pieza determinada.

DEFINICIÓN 1.8. Exactitud y Precisión. La exactitud expresa cuán cerca están las mediciones respecto al valor verdadero o real de la magnitud que se mide. La precisión se refiere al grado con el que las mediciones concuerdan entre sí. DEFINICIÓN 1.9****. Estadística y Probabilidad.

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su comportamiento futuro. De hecho, uno de los usos más habituales de las series de datos temporales es su análisis para predicción y pronóstico. Por ejemplo, los datos climáticos, las acciones de bolsa, o las series pluviométricas. Resulta difícil imaginar una rama de las ciencias en la que no aparezcan datos que puedan ser considerados como series temporales. Son estudiadas en estadística, procesamiento de señales, econometría y muchas otras áreas.

• Control de calidad son todos los mecanismos, acciones, herramientas que se realizan para detectar la presencia de errores. La función del control de calidad existe primordialmente como una organización de servicio, para conocer las especificaciones establecidas por la ingeniería del producto y proporcionar asistencia al departamento de fabricación, para que la producción alcance estas especificaciones. Como tal, la función consiste en la recolección y análisis de grandes cantidades de datos que después se presentan a diferentes departamentos para iniciar una acción correctiva adecuada. Todo producto que no cumpla las características mínimas para decir que es correcto, será eliminado, sin poderse corregir los posibles defectos de fabricación que podrían evitar esos costos añadidos y desperdicios de material. Para controlar la calidad de un producto se realizan inspecciones o pruebas de muestreo para verificar que las características del mismo sean óptimas. El único inconveniente de estas pruebas es el gasto que conlleva el control de cada producto fabricado, ya que se eliminan los defectuosos, sin posibilidad de ser reutilizable. La función principal es asegurar que los productos o servicios cumplan con los requisitos mínimos de calidad.
• El término fiabilidad es descrito en el diccionario de la Real Academia Española (RAE) como "probabilidad de buen funcionamiento de algo". Por tanto, extendiendo el significado a sistemas, se dice que la fiabilidad de un sistema es la probabilidad de que ese sistema funcione o desarrolle una cierta función, bajo condiciones fijadas y durante un período determinado. Por ejemplo, condiciones de presión, temperatura, fricción, velocidad, tensión o forma de una onda eléctrica, nivel de vibraciones. Consideramos dos aspectos: la fiabilidad de

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sistemas y la fiabilidad humana. Un sistema es una colección de componentes/subsistemas dispuestos de acuerdo a un diseño dado con el propósito de lograr el cumplimiento de unas determinadas funciones con una adecuación y fiabilidad aceptables. El tipo de componentes, su cantidad y el modo en que están dispuestas tiene un efecto directo en la fiabilidad del sistema. Se considera que el componente humano es de una complejidad mucho mayor que cualquier otro componente y, por tanto, las técnicas aplicables al estudio de la fiabilidad humana o, complementariamente, del error humano son específicos e integran aspectos psicológicos y organizacionales a las habituales técnicas matemáticas.

ESCALAS DE MEDICIÓN.

Las escalas de medición son utilizadas para diferenciar elementos en un proceso. Se clasifican en nominal, ordinal, intervalo y de razón. En diversos estudios, la escala a utilizar, depende de la naturaleza del elemento o del interés del investigador. La Escala Nominal, se utiliza cuando un objeto o evento se diferencia de otro solamente por la nominación con que se conoce. Se pueden utilizar numerales, letras o cualquier otra nominación sin que ello represente orden o continuidad; solo se pretende clasificar. El personal de una empresa puede ser clasificado, utilizando una escala de letras como A-B-C. La Escala Ordinal, se utiliza de manera nominal pero para jerarquizar datos. La producción se puede clasificar con la escala alta, mediana y baja. La Escala de Intervalo, esta escala posee todas las características de una escala ordinal. Además se conoce la distancia entre dos números cualesquiera, y el valor cero no representa ausencia de una característica. La escala utilizada en los termómetros, es de tipo por intervalo ordinal y el valor cero representa punto de congelación, pero por debajo de cero existen otros valores.

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Ejemplo 1.8. De acuerdo al ejemplo 1.7, éste sería ᡦ = 40.

DEFINICIÓN 1.1 5. Frecuencia Relativa ( fr) y Frecuencia Relativa Porcentual ( fr%). La frecuencia relativa representa el cociente entre cada frecuencia y total de datos. En tanto que la porcentual, se obtiene convirtiendo la frecuencia relativa en porcentaje.

ᡘᡰ% = ᡘᡰᡦ × 100

Ejemplo.1.9. De acuerdo a los ejemplos 1.6 y 1.7, se tiene que las frecuencias relativas son: 0,2; 0,27; 0,13; 0,17; 0,23. Las frecuencias relativas porcentuales son: 20%; 27%; 13%; 17%; 23%.

DEFINICIÓN 1.16****. Frecuencia Acumulada. ( fai ) y Frecuencia Acumulada Porcentual ( fai %). La frecuencia acumulada representa el número de datos que se acumulan al pasar de una clase a otra. En tanto que la porcentual, se obtiene convirtiendo la frecuencia acumulada en porcentaje.

ᡘᡓ〶% = ᡘᡓ ᡦ 〶× 100

Ejemplo 1.10. De acuerdo al ejemplo 1.7, las frecuencias acumuladas son: 8, 19, 24, 31,

40. Las frecuencias relativas porcentuales son 20%; 47,5%; 60%; 77,5%; 100%. La información anterior se puede representar por la siguiente tabla.

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HORAS TRABAJADAS POR UN GRUPO DE EMPLEADOS DE UNA EMPRESA MANUFACTURERA Trabajador N º de Horas Porcentaje de horas trabajadas

N º de horas acumuladas

Porcentaje de horas acumuladas 1 8 20 8 20 2 11 27 19 48 3 5 13 24 60 4 7 17 31 78 5 9 23 40 100 Fig. 1.1 Tabla de frecuencia

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS EN

INTERVALOS DE CLASE.

Cuando se tienen datos muy numerosos es conveniente utilizar intervalos en los cuales se agrupen clases, de tal manera de establecer una tabla más reducida. A estos intervalos se le denominan intervalos de clase. Por razones de cálculo, generalmente es deseable que todos los intervalos de clase, en una distribución de frecuencia, sean de igual amplitud. Para datos distribuidos de manera irregular, como los datos anuales de salario para diversas ocupaciones, pueden ser convenientes los intervalos desiguales de clase; en este caso, se utilizan intervalos de clase de mayor amplitud para los rangos de valores en que hay relativamente pocas observaciones. Por lo general se recomienda que el número de intervalos esté entre 5 y 15. Aunque existe una fórmula para el cálculo del número de intervalos, hay que hacer notar que en algunos casos puede dar valores errados, esto sucede cuando el número de datos n es muy grande; esta fórmula es: ᡀ ú ᡥᡗᡰᡧ ᡖᡗ ᡡᡦᡲᡗᡴᡓᡤᡧᡱ = 1 + 3,3 ᡤᡧᡙᡦ (ᡘ ó ᡰᡥᡳᡤᡓ ᡖᡗ ᡅᡲᡳᡰᡙᡗᡱ). El procedimiento para conformar los intervalos es el siguiente:

• Calcular la amplitud de los intervalos de frecuencia para datos no agrupados ( DNA ), utilizando la fórmula:

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Sea n = 6 el número de intervalos. De la tabla se tiene que el valor mayor es 100, y el valor menor es 23. Utilizando la fórmula para el cálculo de la amplitud, se tiene que:

ᠧᡥᡨᡤᡡᡲᡳᡖ = 100 − 23 6 = 12,83 ≈ 13 (Se recomienda tomar un valor de amplitud impar).

El extremo derecho del primer intervalo es 23 + (13 − 1) = 35. El primer intervalo va de 23 hasta 35. El extremo izquierdo del segundo intervalo es 35 + 1 = 36. El extremo derecho es 36 + (13 − 1) = 48. El segundo intervalo va de 36 hasta 48. El resto de los intervalos son: de 49 hasta 61, de 62 hasta 74, de 75 hasta 87, y de 88 hasta 100.

DEFINICIÓN 1.17****. Límite Inferior (ᠸᡡ) y superior (ᠸᡱ) de un Intervalo. El límite inferior en un intervalo de clases de frecuencias lo representa el extremo izquierdo de cada intervalo. En tanto que el superior lo representa el extremo derecho de cada uno.

Ejemplo 1.12. En el ejemplo 1.11, en el intervalo que va desde 23 hasta 35; ᠸᡡ = 23; ᠸᡱ =35.

DEFINICIÓN 1.18****. Marca de Clase. (xi). Es el punto medio de cada intervalo. Hay que hacer notar que si se toma la amplitud como un número impar, las marcas de clase darán números similares a los usados en los límites de los intervalos.

Ejemplo 1.13. En el intervalo del ejemplo 1.12, la marca de clase xi = 29.

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DEFINICIÓN 1.19****. Límite Real Inferior (ᠸᡰᡡ). Límite Real Superior (ᠸᡰᡱ). El límite real inferior, en cada intervalo, se obtiene restando cinco décimas al límite inferior de éste ᠸᡰᡡ = ᠸᡡ − 0,5. En tanto que el superior se obtiene, sumando cinco décimas al límite superior del intervalo ᠸᡰᡱ = ᠸᡱ + 0,5.

Ejemplo 1.14. En el intervalo del ejemplo 1.12; ᠸᡰᡡ = 23 − 0,5 = 22,5; ᠸᡰᡱ = 41 + 0,5 = 41,5.

DEFINICIÓN 1.20****. Total de datos (n). Es la sumatoria de las frecuencias. ᡦ = 㔳 ᡘ〶

〸 〶⢀⡩ Ejemplo 1.15. En el ejemplo 1.11, el total de datos es:

ᡦ = 㔳 ᡘ〶 = 34

⡴ 〶⢀⡩ DEFINICIÓN 1.2 1 Frecuencia Acumulada (ᡘᡓ〶)^ y Frecuencia Acumulada Porcentual (ᡘᡓ〶 %). La frecuencia acumulada, representa la suma de la frecuencia en cada intervalo, con las anteriores. En tanto que la porcentual, se obtiene convirtiendo la frecuencia acumulada en porcentaje.

ᡘᡓ〶% = ᡘᡓ ᡦ 〶× 100

Ejemplo 1.16. De acuerdo al ejemplo 1.11, las frecuencias acumuladas son: 3, 9, 19, 24, 29, 34; respectivamente en cada intervalo. Las frecuencias acumuladas porcentuales son: 8,8%; 26,5%; 55,9%; 71%; 85%; 100%.