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INDICE
- Introducción ………………………………………………………………………………
- Unidad 1: Introducción A Los Números Reales ……………………………………
- Complemento…………………………………………………………………..……….… 1.1.-Operaciones Con Conjuntos: Unión, Diferencia, Intersección, Diferencia Y
- 1.2.- Conjunto De Números: Naturales, Enteros, Racionales E Irracionales……....
- 1.3.- Operaciones Con Números Racionales………………………………………...
- 1.4.- Potenciación Y Radicación……………………………………………………….
- 1.5.-Teorema Del Binomio…………………………………………………………...…
- Unidad 2: Polinomios Y Ecuaciones ………………………………………………..
- 2.1.- Operaciones Básicas Con Polinomios…………………………………………..
- 2.2.- Productos Notables………………………………………………………………..
- 2.3.- Potencias Enteras Y Racionales…………………………………………………
- 2.4.- Factorización De Polinomios……………………………………………………..
- 2.5.- Ecuaciones Lineales Y Cuadráticas……………………………………………..
- Incógnitas………………………………………………………………………………… 2.6.- Métodos Para Resolver Sistemas De Dos Ecuaciones Lineales Con Dos
- Unidad 3: Trigonometría Plana Y El Plano Cartesiano ……………………….….
- 3.1.- Ángulos Y Sus Unidades……………………………………………………….…
- 3.2. Funciones Trigonométricas En Un Triangulo Rectángulo……………………..
- 3.3.- Teorema De Pitágoras…………………………………………………………….
- 3.4.- Grafica De Las Funciones Trigonométricas…………………………………….
- 3.5.- Identidades Trigonométricas……………………………………………………..
- 3.6.- Ley Del Seno Y Ley Del Coseno………………………………………………..
- 3.7.- El Plano Cartesiano………………………………………………………………..
- 3.8.- Recta En Su Forma Punto Pendiente…………………………………………...
- Conclusión ………………………………………………………………………………
- Bibliografía ………………………………………………………………………………
Si definimos la Matemática como la ciencia de los números sería dar una
definición inexacta, pues mantendríamos al margen todos los demás elementos que componen dicha ciencia y que tiene por objeto el cálculo, la cantidad, o sea,
los números, las figuras y los movimientos. Los conocimientos matemáticos permiten investigar los procesos y las leyes de la
naturaleza, la sociedad y la técnica, así como, resolver los problemas prácticos que se presentan en la vida diaria en dichos campos.
El cálculo matemático es cada vez más necesario para los profesionales del mundo financiero a todos los niveles. Muchas de las operaciones financieras no pueden ultimarse ni explicarse sin recurrir a conceptos matemáticos, por lo general relativamente sencillos, pero en los que intervienen por lo menos los cálculos de interés y a veces conceptos estadísticos. Las herramientas simbólicas de las que se vale la contabilidad son innatas del conocimiento lógico matemático; el hombre para su actividad económica y para sus negocios desde la antigüedad estuvo obligado a hacer numerosos cálculos donde el resultado de estas operaciones dependía totalmente del uso adecuado de los procedimientos que pudiera brindarle la matemática. Todos los miembros de la sociedad (entidades económicas, instituciones, personas físicas) se relacionan con el dinero, que circula de unos a otros, incrementándose o disminuyendo. Por consiguiente, es necesario tener clara visión sobre ciertos aspectos relacionados con ese intermediario general: de qué fuentes puede obtenerse y en qué cantidad; las condiciones en que se obtiene; cómo administrarlo del modo más eficiente posible; cuánto y cuándo se pagará o se cobrará. Todo esto es posible con el empleo de algoritmos matemáticos que brinden información para la adopción de medidas aceptadas.
La utilización de los números reales para medir precios, cantidades, ingresos, tipos impositivos, tipos de interés y costos medios, entre otras cosas es el ejemplo más claro de la aplicación de la matemática a la contabilidad. Según estudios realizados, la contabilidad no ha logrado expresar con la terminología matemática todos los procedimientos y leyes que dominan su práctica concreta, sería ideal que todo fenómeno contable sea identificado con un modelo matemático. En muchos trabajos de Contabilidad vemos elementos de matemática, por ejemplo la Teoría de Redes y el Álgebra de Matrices para la representación y el tratamiento de flujos contables en la Contabilidad de Costos, en la Financiera y en el Planeamiento Financiero. El libro "Costos. Contabilidad, Análisis y Control", que es considerado de gran valor aborda casi todos los temas de Contabilidad de Costos con una óptica innovadora utilizando las técnicas analíticas cuantitativas más elaboradas, por ejemplo, se revisan Técnicas de Presupuestacion y Contabilidad por Áreas de Responsabilidad utilizando la Teoría de las Cadenas de Markov, en el prorrateo de Costos Indirectos utiliza el cálculo matricial y se hace un estudio sobre Costos Estándar con la ayuda del Cálculo Infinitesimal. Además de estos elementos también emplean el Análisis Combinatorio, las Líneas de Espera, la Programación Lineal, el Muestreo Estadístico, la Programación Dinámica y el Análisis Insumo-Producto. El Modelo Matemático Contable surge como muestra de la relación entre ambas ciencias, es decir, la representación de un problema contable a través de un modelo matemático; aquí la utilización de las matrices en su concepción
Las matemáticas que se necesita en contabilidad La carrera universitaria de contabilidad no implica cuestiones complejas de matemáticas. Aquí está una tabla que resume la clase de matemáticas que se debe llevar a través de un año de contabilidad introductoria y un año de contabilidad intermedia, además de otros cursos de contabilidad avanzada.
Operaciones Lo que debes saber Operaciones de números enteros
Sumar, restar, multiplicar y dividir números
Operaciones decimales y redondeo
Expresando cantidades como decimales, además de sumar, restar, multiplicar y dividir números. El redondeo asciende a una cantidad decimal designada. Conversión y porcentaje de operaciones
Expresando cantidades como porcentajes, además de sumar, restar, multiplicar y dividir números como 20%, 7%, 0.7%, etc.
Operaciones con fracciones
Expresando cantidades como fracciones, sumar, restar, multiplicar y dividir números como 1/3, 15/100, 12/8, 1/10, etc. Convertir números expresados en una forma diferente
Convertir cualquier fracción, decimal o porcentaje en otro formato, como convertir el 30% en decimal o fracción, conversión de 6/8 en un sistema decimal o porcentaje.
Números positivos y negativos
Sumar, restar, multiplicar y dividir números positivos y negativos.
Los promedios y proporciones
Ser capaz de expresar las relaciones numéricas como promedios y proporciones. Álgebra básica Ser capaz de crear o resolver una expresión algebraica básica como 3x = y + z/8. Orden de operaciones
Una expresión que contiene varias operaciones, saber el orden para calcular la respuesta, como por ejemplo: [8/2 + 3/5] ². Exponentes Entender los cálculos esenciales con exponentes.
UNIDAD 1.- INTRODUCCON A LOS NUMEROS REALES
En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y
tienen infinitas cifras decimales no periódicas Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor
necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros. Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real. En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind
Tipos de números reales Numero racional: En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q. Numero irracional: En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción m/n donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Operaciones con números reales Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:
- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).
- La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1). Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.
1.1.-OPERACIONES CON CONJUNTOS: UNION, DIFERENCIA,
INTERSECCION, DIFERENCIA Y COMPLEMENTO.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
2 0 1 2 Diferencia de conjuntos. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de
los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
2 0 1 2 Complemento de un conjunto. Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del
conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que está incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto
complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En
esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo:
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={3,4,5,6,7,8}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={1,2,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
1.2.- CONJUNTO DE NUMEROS: NATURALES, ENTEROS, RACIONALES E
IRRACIONALES.
Los matemáticos reconocen varios conjuntos de números que comparten ciertas características. Estas categorías son útiles cuando ciertos tipos de números son
válidos para valores y variables. Nuestro entendimiento y clasificación de los diferentes conjuntos de números se ha desarrollado durante miles de años
Números naturales Los números naturales son los que desde el principio de los tiempos se han utilizado para contar. En la mayoría de países han adoptado los números arábigos, llamados así porque fueron los árabes quienes los introdujeron en Europa, pero fue en la India donde se inventaron. El conjunto de los números naturales se denota como y se representan así: N = {1, 2, 3, 4, …}, Los números naturales se caracterizan por dos propiedades: El número 1 es el primer número natural y cada número natural se forma sumándole 1 al anterior. Cuando restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no es necesariamente un número natural, y por eso decimos que los números naturales no son cerrados respecto estas dos operaciones. En cambio, sí son cerrados respecto a la suma y la multiplicación, es decir, la suma o multiplicación de dos números naturales da siempre como resultado otro número natural.
Números enteros
Los números enteros son una extensión de los números naturales (0, 1, 2...)
incluyendo los números enteros negativos (-1, -2, -3...). El conjunto de los números
Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un
número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números
irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas. A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos
puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra
después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…
Números irracionales
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es 3,1415926535897932384626433832795 (y más...) Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3,1428571428571... Se acercan pero no son correctos. Dentro de la recta real numérica existen varios conjuntos de números, pero dentro
de los números irracionales hay más tipos para clasificar, estos son: Número algebraico .- se les llama así a los números irracionales que surgen de
resolver alguna ecuación algebraica y se escribe con un número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces no exactas de cualquier orden se
encuentran dentro de este conjunto, es decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc. Número trascendente.- este es un número irracional que no puede ser representado a través de un número finito de radicales libres o anidados, estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos, exponenciales, etcétera. Aunque también pueden surgir de la simple acción de escribir números decimales al azar sin periodicidad y sin un patrón determinado, podemos decir que son decimales infinitos. Este último tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificación porque no tienen una representación con un número radical Pi , o como se lo conoce mejor con su símbolo π, este es el más conocido de los números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. e es otro número irracional famoso, utilizado en cálculo más que nada, es llamado también número de Euler , y de él también se han calculado infinidad de
decimales sin llegar a encontrar una repetición periódica. Sus primeros decimales son 2,718281828459…
El número áureo o razón de oro , representado con la letra griega φ o phi también es muy utilizado por muchos artistas, en especial se lo conoce por las
proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximación es 1,618033988749…
1.3.- OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES
Suma y resta de números racionales Para sumar y restar números racionales existen dos casos diferentes con los cuales podemos tratar, el primero es cuando poseen un denominador distinto entre los sumandos, y el otro es cuando tienen un denominador de igual valor y es por
este por el que vamos a empezar. Cuando resolvemos la adición de números racionales y la sustracción de números
racionales con igual denominador, simplemente se mantiene el mismo denominador (que es el valor ubicado en la parte inferior de la fracción) y
sumamos o restamos los numeradores (en la parte superior de la fracción) según sea el caso: 65+35=6+35= Cuando tenemos denominadores de distinto valor, lo que tenemos que hacer es buscar una fracción equivalente, y encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores a través de multiplicaciones o divisiones que los igualen y formen fracciones equivalente, tomando en cuenta que cualquier operación realizada debe también realizarse al numerador para no alterar el resultado, por ejemplo si multiplicamos el denominador por 4 para encontrar el mínimo común múltiplo también debemos multiplicar por 4 al numerador, veamos: 14+65=520+2420=5+2420= Notamos que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20, por lo tanto multiplicamos al primer sumando por 5 y al segundo por 4 para obtener un mismo denominador con fracciones equivalentes y luego los sumamos como fue mostrado en la operación anterior.
Multiplicación de números racionales La multiplicación entre fracciones es sencilla si se sabe cómo hacer. En primer lugar, se multiplican los numeradores de todos los factores y a continuación el producto resultante se lo utiliza como numerador, luego se multiplican los denominadores y al resultado se lo ubica como denominador sin importar si el valor es igual o distinto, de esta manera: 43 × 56 × 12 = 4 × 5 × 13 × 6 × 2 = 2036 = 1018 = 59 En este caso el resultado pudo ser simplificado, dividiendo el numerador y el denominador para el mismo número hasta obtener el mínimo número entero en los dos cocientes. En la multiplicación también existe un elemento inverso que da como resultado una unidad, tomando en cuenta que los números enteros también son números racionales si se los expresa como fracción, para explicarlo mejor, se ofrece algunos ejemplos: 13 × 3 = 13 × 31 = 33 = 1 Aunque entre fraccionarios no enteros, también sucede el mismo fenómeno: 57 × 75 = 3535 = 1
División de números racionales Para dividir los números racionales, tomamos el numerador de la primera fracción
y se lo multiplica por el denominador de la segunda fracción y este resultado será
Un binomio es un polinomio que tiene dos términos. El Teorema del binomio
explica como elevar un binomio a cierta potencia no negativa.
Potencias de un binomio. Teorema del binomio
El Teorema del binomio de permite desarrollar la potencia de una suma o
diferencia de dos monomios.
Formulación del teorema
Ejemplo
Como ejemplo, para n =2, n =3, n =4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
UNIDAD 2: POLINOMIOS Y ECUACIONES.
2.1 OPERACIONES BASICAS CON POLINOMIOS.
Las expresiones algebraicas que se forman a partir de la unión de dos o más
variables y constantes, vinculadas a través de operaciones de multiplicación, resta
o suma, reciben el nombre de polinomios. El adjetivo polinómico, por su parte, se
aplica a la cantidad o las operaciones que se pueden expresar como polinomios.
2.2. PRODUCTOS NOTABLES.-
Se llama producto notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la
expresión algebraica que lo representa:
Producto notable Expresión algebraica Nombre (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Binomio al cuadrado (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Binomio al cubo a 2 F 02 Db 2 =^ (a + b) (a F 02 Db) Diferencia de cuadrados a 3 F 02 Db 3 =^ (a F 02 Db) (a 2 + b 2 + ab) Diferencia de cubos a 3 + b 3 = (^) (a + b) (a 2 + b 2 F 02 Dab) Suma de cubos
a 4 F 02 Db 4 =^ (a + b) (a F 02 Db) (a 2 + b 2 ) Diferencia cuarta (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado
2.3.- POTERNCIAS ENTERAS Y RACIONALES.
Definición de potencia.
El producto a · a · a tiene sus 3 factores iguales por lo cual se puede puede representar de manera abreviada como a3 significa la multiplicación sucesiva de la base, según su exponente.
an^ donde “a” es la base y “n” el exponente.
“a”: indica el numero que se multiplicara por si mismo. “n”: indica la cantidad de veces que el numero se multiplicara por si mismo.
Ejemplo:
En números pequeños como el de los ejemplos, no es complicado resolver una potencia, ¿Que sucede en operaciones mayores? Ejemplo: 2^3 2 2C 5 26 2 2C 5 23 2 2C 5 3 -7^ 2 2C 5 3 0 2 2C 5 3 7 2 2C 5 2 2 Esto se puede resolver potencia por potencia y llegar a un resultado, pero sin calculadora es un proceso demasiado largo, por eso aplicamos las propiedades de las potencias y simplificamos el problema.
Propiedades de las Potencias 1-. Propiedades de las potencias con exponente 0: Cuando una potencia tiene como exponente “0” el resultado siempre será 1.
2-. Propiedades de las potencias con exponente 1: Toda potencia con exponente 1 el resultado será su base.
3-. Multiplicación con misma base: El producto de dos potencias con misma base, es una potencia de misma base y el exponente es la suma de los exponentes.
4-. División de potencias con misma base: El cociente de dos potencias con misma base, es otra potencia de misma base y el exponente es la diferencia de los exponentes.
2.4. FACTORIZACION DE POLINOMIOS.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. así multiplicando a por a + b tenemos: a (a + b) = a^2 + ab
no todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que, en aritmética, hay números primos que solo son
divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que solo son divisibles por ellas mismas y por 1, y que por tanto, no son el producto el producto
de otras expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque solo es divisible por a + b y por 1.
factorizar un polinomio consiste en transformarlo en el producto de dos o mas factores de menor grado.
2.5.- ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS
