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4.3 Rectas, planos e hiperplanos.
A. Rectas en el espacio.
Estamos acostumbrados a escribir la ecuación de la recta como y^ =^ mx + b , donde m representa la pendiente o dirección de la recta y b su ordenada al origen. Sin embargo,
esta forma para la ecuación de la recta sólo es válida para rectas en el plano ℜ^2. En el
caso general en ℜ n la ecuación de la recta ya no puede expresarse en términos de una sola pendiente, sino que es necesario tomar en cuenta la orientación de la recta en relación con cada uno de los n diferentes ejes coordenados. Esta orientación puede
expresarse en términos de un vector de dirección, al que denotaremos por v
r .
La idea entonces es encontrar la ecuación de la recta L en el espacio, que pasa por un punto conocido P 0 y es paralela a un vector dado v
r
. En ese caso, L es el conjunto de
puntos P para los cuales se cumple que
P P v r 0 |^ |
→ . En otras palabras, ambos vectores son múltiplos, de modo que existe algún número t ∈ℜ, tal que
P P t v
r
→
Introduciendo un origen de coordenadas, O , se puede definir los vectores
→ x = OP
r y → x 0 = OP 0
r , de modo que P 0 (^) P x x 0
r r = −
→
. Así, la condición anterior se convierte en
x x t v r r r − 0 = ,
o, equivalentemente,
x x t v
r r r = 0 +.
Definición. La ecuación vectorial paramétrica de la recta que contiene al punto x 0
r y
es paralela al vector v
r es x x t v
r r r = 0 + ,
donde t ∈( −∞,∞).
Esta ecuación vectorial puede expresarse en términos de sus n componentes escalares.
Para simplificar la discusión, consideremos el caso particular de rectas en ℜ 3. En este
caso, denotemos por v = ai ˆ^ + bj ˆ+ ck ˆ r al vector de dirección, x (^) 0 = x 0 i ˆ^ + y 0 j ˆ+ z 0 k ˆ r al
punto conocido y por x = xi ˆ^ + yj ˆ+ zk ˆ
r al punto libre sobre la recta. Sustituyendo esto en la ecuación vectorial paramétrica, se obtiene
0 0 0
0 0 0 x ati y btj z ct k
xi yj zk xi y j zk tai bj ck = + + + + +
Igualando ahora ambos lados de la ecuación, término a término, se obtienen tres ecuaciones escalares, conocidas como las ecuaciones paramétricas de la recta.
Definición. Las ecuaciones paramétricas de la recta en ℜ 3 que contiene al punto
P 0 (^) ( x 0 , y 0 , z 0 )y es paralela al vector v = ai ˆ^ + b ˆ j + ck ˆ
r son
0 ,^.
0
0
z z ct t
y y bt
x x at
El número real t juega el papel de un parámetro, que al ir tomando valores genera los distintos puntos de la recta, como se verá en algunos de los ejemplos a continuación.
Ejemplos:
- Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta en ℜ^3 con la información dada:
a) Pasa por el punto P^ (^1 ,−^2 ,^7 )y es paralela al vector v^ =^5 i ˆ^ +^3 j ˆ−^1 k ˆ
r . En este caso, se tiene simplemente x = 1 + 5 t , y =− 2 + 3 t , z = 7 − t , t ∈ℜ. b) Pasa por el origen y es paralela al vector v = 4 i ˆ− 3 ˆ j
r . Como el origen es el punto O ( 0 , 0 , 0 ), por lo tanto las ecuaciones son x = 4 t , y =− 3 t , z = 0 , t ∈ℜ. c) Pasa por el punto Q (^^1 ,^2 ,^3 )y es paralela al eje y. Podemos tomar v^ = j ˆ
r (o cualquier múltiplo de éste), de modo que x = 1 , y = 2 + t , z = 3 , t ∈ℜ.
- a) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( − 2 , 1 , 4 )y B ( − 1 , 0 , 3 ).
Podemos tomar, por ejemplo, v = AB = i ˆ^ − j ˆ− k ˆ r → , y el punto conocido puede ser, o bien A , o bien B. Así, cualquiera de las siguientes respuestas es válida x = − 2 + t , y = 1 − t , z = 4 − t , t ∈ℜ. x = − 1 + t , y =− t , z = 3 − t , t ∈ℜ. b) Encuentra algunos otros puntos, distintos de A y B , por los que pase esta recta. Para cada valor del parámetro t se obtiene un punto diferente. Así, por ejemplo, si en la primer respuesta tomamos t = 2 obtenemos el punto P 1 ( 0 ,− 1 , 2 ), si tomamos t =− (^1) generamos el punto P 2 (^) (− 3 , 2 , 5 ), etc. Nota que el punto A se obtiene cuando t = 0 y el punto B cuando t = 1.
- Encuentra la ecuación de la recta en ℜ^2 que pasa por el punto P ( 1 , 1 )y es paralela al
vector v = i ˆ^ − j ˆ r
. Grafica la recta, dando valores diferentes al parámetro de la recta. La ecuación de la recta es x = 1 + t , y = 1 − t , t ∈ℜ.
t x y 2 3 - 1 2 0 0 1 1 -1 0 2 -2 -1 3
Estas dos ecuaciones equivalen a la relación y^ =^2 − x , que es la forma cartesiana de la ecuación de esta recta. Esta última se obtiene al eliminar el parámetro t entre ellas.
En el caso particular de rectas en ℜ 2 , la correspondiente forma simétrica,
b
y y a
x x 0 − 0
puede reescribirse como
( x x 0 ) y 0
a
b y = − +.
Esta última es la ecuación punto-pendiente de la recta ( m = b / a ), con la que ya estás
familiarizado. Pero no olvides que este resultado sólo es válido para rectas en ℜ 2. Así, por ejemplo, la recta
L = { ( x , y )∈ℜ^2 x = 1 + 3 t , y =− 2 − 5 t , t ∈ℜ}
puede escribirse en su forma simétrica como
x − y ,
o bien, en su forma cartesiana, como
y = − x −.
Segmento de recta.
Hemos visto ya que las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio contienen un parámetro libre, t ∈ℜ. Cada vez que t toma un valor diferente en los reales, se genera un nuevo punto a lo largo de la recta infinita. Sin embargo, si en lugar de tener la condición t ∈ℜ, el parámetro t se limitara a tomar valores dentro de un intervalo t 1 (^) ≤ t ≤ t 2 en los reales, entonces éste ya no generaría todos los puntos de la recta infinita, sino tan sólo un segmento de la recta.
Definición. Dada la recta L en
que contiene al punto P 0^ (^ x 0 , y 0 , z 0 )y es paralela
al vector v = ai ˆ^ + bj ˆ+ ck ˆ
r , las ecuaciones x = x 0 + at , y = y 0 + bt , z = z 0 + ct , t 1 ≤ t ≤ t 2 ,
con t 1 y t (^) 2 dados, determinan un segmento de la recta L.
Por ejemplo, encontremos la ecuación del segmento de recta que une los puntos P ( − 3 , 2 ,− 3 )y Q ( 1 ,− 1 , 4 ). Para ello, podemos tomar el vector de dirección v
r como
v = PQ = 4 i ˆ − 3 ˆ j + 7 k ˆ
r → , de modo el segmento de recta que une esos puntos queda perfectamente descrito por las ecuaciones
x = − 3 + 4 t , y = 2 − 3 t , z =− 3 + 7 t , 0 ≤ t ≤ 1.
En efecto, cuando t = 0 se obtiene el punto P , cuando t = 1 se obtiene el punto Q y
para 0 < t < 1 se generan todos los puntos intermedios entre P y Q.
Intersección de rectas.
Dada una recta L 1 , con parámetro t , y una segunda recta L 2 , con parámetro s , resulta de
interés determinar el punto donde ambas se intersecan. El procedimiento para encontrar este punto consiste simplemente en igualar término a término sus ecuaciones paramétricas, con el fin de determinar para qué valores específicos de los parámetros t y s ocurre dicha intersección. Una vez calculados estos valores, se sustituyen finalmente en las ecuaciones paramétricas, para obtener las coordenadas del punto de intersección.
Los siguientes ejemplos ilustran los posibles casos que pudieran ocurrir al intersecar dos
rectas en ℜ n , a saber, que exista un único punto de intersección, que exista una infinidad de puntos de intersección (rectas coincidentes), o que no exista intersección alguna (rectas paralelas dentro de un mismo plano, o bien, rectas en diferentes planos).
Ejemplos:
- Determina el punto de intersección de las siguientes rectas:
L 1 = { ( x , y )∈ℜ^2 x = t , y = 2 − t , t ∈ℜ}
L 2 = { ( x , y )∈ℜ^2 x =− 1 + s , y =− 1 + s , s ∈ℜ}.
Las rectas se intersecan cuando coinciden sus coordenadas x y y , es decir, cuando t = − 1 + s y 2 − t =− 1 + s. Resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas en t y s se obtienen los valores t = (^1) y s = (^2). Finalmente, sustituyendo estos valores en las ecuaciones paramétricas, se obtiene que el punto de intersección es x = (^1) y y = (^1).
- Determina el punto de intersección de las siguientes rectas:
L 1 = { ( x , y )∈ℜ^2 x = t , y = t , t ∈ℜ}
L 2 = { ( x , y )∈ℜ^2 x = s , y = 1 + s , s ∈ℜ}.
Igualamos sus coordenadas x y y , obteniendo t = s y t = 1 + s. Resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas en t y s se obtiene una inconsistencia ( 1 = 0 ), de modo que las rectas no se intersecan.
B. Planos en el espacio.
Se trata de encontrar la ecuación del plano π^ en el espacio, que pasa por un punto
conocido P 0^ y es perpendicular a un vector normal n
r
. En ese caso, π^ es el conjunto de puntos P para los cuales se cumple que
P P n
r ⊥
→
En otras palabras,
⋅ 0 = 0
→ nP P r .
Introduciendo un origen de coordenadas, O , se puede definir los vectores
→ x = OP r y → x 0 = OP 0 r , de modo que P 0^ P x x 0
r r = −
→
. Así, la condición anterior se convierte en
n ⋅ ( x − x 0 ) = 0
r r r .
Definición. La ecuación del plano que contiene al punto x 0
r y es perpendicular al
vector n
r es
n ⋅ ( x − x 0 ) = 0
r r r .
Esta ecuación, conocida como ecuación cartesiana del plano, puede reescribirse en términos más simples llevando a cabo el producto escalar. En el caso particular de
planos en ℜ 3 la definición anterior se convierte en
Definición. La ecuación del plano en ℜ 3 que contiene al punto P 0 (^) ( x 0 , y 0 , z 0 )y es
perpendicular al vector v = ai ˆ^ + bj ˆ+ ck ˆ
r es a ( x − x 0 )+ b ( y − y 0 )+ c ( z − z 0 )= (^0).
Por ejemplo, la ecuación del plano que pasa por el punto P ( 1 , 0 ,− 3 )y es perpendicular
al vector v^ =^5 i ˆ^ + j ˆ−^2 k ˆ
r se obtiene de ( 5 )( x − 1 )+( 1 )( y − 0 )+(− 2 )( z −(− 3 ))= 0.
Llevando a cabo las operaciones algebraicas correspondientes, esta ecuación se reduce a
5 x + y − 2 z = 11.
En general, la ecuación del plano siempre puede escribirse como
ax + by + cz = d ,
donde a, b y c son las componentes del vector normal al plano, y d = ax 0 + by 0 + cz 0.
Ejemplos:
- Encuentra las coordenadas de tres puntos contenidos en el plano 3 x + 2 y + 4 z = 12. Los puntos se obtienen simplemente al encontrar valores x, y y z que satisfagan la ecuación 3 x + 2 y + 4 z = 12. Así, por ejemplo, están los puntos P 1 ( 2 , 3 , 0 ), P 2 ( 0 , 0 , 3 ) y P 3^ (^0 ,−^2 ,^4 ).
- Encuentra la ecuación del plano que contiene a los puntos A (^^1 ,^1 ,^1 ), B^ (^2 ,^1 ,^3 )y C ( 3 , 2 , 1 ). El vector normal n
r puede construirse como el producto cruz de cualesquiera dos vectores no paralelos en el plano. Por ejemplo, si se consideran los vectores
AB = i ˆ^ + 2 k ˆ
→ y AC^ =^2 i ˆ^ + j ˆ
→ , se tiene
n = AB × AC =− 2 i ˆ+ 4 j ˆ+ k ˆ r → → .
Tomando como punto conocido al punto A ( 1 , 1 , 1 ), la ecuación del plano es
( − 2 ) ( x − 1 )+( 4 )( y − 1 )+( 1 )( z − 1 )= 0 ,
o bien, − 2 x + 4 y + z = 3. Este resultado es independiente de la selección del punto o del vector normal n
r .
- Encuentra la ecuación del plano que contiene a las siguientes dos rectas: L 1 : x = 1 + t , y = 1 − t , z = t , t ∈ ℜ L (^) 2 : x = 2 − s , y = 3 , z = 1 − s , s ∈ ℜ. Como las rectas L 1^ y L^ 2 determinan un plano, y no son paralelas entre sí, el producto cruz v 1 (^) v 2
r r × de sus vectores de dirección v 1
r y v 2
r es un vector perpendicular a ese plano.
Como en este caso los vectores de dirección de las rectas son v (^) 1 = i ˆ− j ˆ+ k ˆ r y v (^) 2 =− i ˆ− k ˆ
r , por lo tanto un vector normal n
r al plano es n = v 1 × v 2 = i ˆ− k ˆ
r r r
. Por otra parte, cualquier punto de las rectas es un punto del plano. Tomando al punto P ( 1 , 1 , 0 ) de L 1 como el punto conocido, la ecuación del plano es
( 1 )( x − 1 )+ ( 0 ) ( y − 1 )+(− 1 )( z − 0 )= 0 ,
es decir, x − z = 1.
Una gráfica como la anterior presupone que los coeficientes a, b, c y d en la ecuación ax + by + cz = d son todos diferentes de cero. A continuación se muestra la gráfica de algunos casos especiales, en donde uno o varios de los coeficientes a, b o c pueda ser igual a cero.
c = 0 ⇒ ax + by = d ( z libre)
b = 0 ⇒ ax + cz = d ( y libre)
a = 0 ⇒ by + cz = d ( x libre)
a = b = 0 ⇒ cz = d ( x, y libres)
a = c = 0 ⇒ by = d ( x, z libres)
b = c = 0 ⇒ ax = d ( y, z libres)
Ejemplos:
- Dibuja los siguientes planos:
a) 2 x + 3 y = 6 b) x + z = 1
c) z = 4 d) y = 3
- Encuentra las ecuaciones de los planos coordenados en ℜ 3.
En cada caso, podemos tomar como punto conocido el origen 0 ( 0 , 0 , 0 ), y como vector normal alguno de los vectores base. Las ecuaciones correspondientes son:
vector normal ecuación del plano: plano XY (^) n^ r^ = k ˆ z = 0 plano YZ (^) n^ r^ = i ˆ x = 0 plano XZ (^) n^ r^ =ˆ j y = 0
Intersección de rectas con planos.
La intersección de una recta L y un plano π^ puede ocurrir en un único punto, en todos los puntos de la recta, o puede no existir intersección del todo.
Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento para obtener el (los) punto (s) de intersección de una recta con un plano.
- Encuentra el punto de intersección de la recta L y el plano π^ , si
L = { ( x , y , z )∈ℜ^3 x = 1 − 3 t , y = 5 t , z = 2 + t , t ∈ℜ}
π = { ( x , y , z )∈ℜ^3 x + 2 y − 3 z = 3 }.
Sustituimos x^ =^1 −^3 t , y^ =^5 t y z^ =^2 + t en la ecuación del plano, es decir
( 1 − 3 t ) + 2 ( 5 t ) − 3 ( 2 + t ) = 3 ,
de donde se obtiene t^ =^2. Es decir, la intersección ocurre cuando el parámetro t es igual a 2, y esto ocurre en el punto
z
y
x
En otras palabras, la recta y el plano se intersecan en el punto P ( − 5 , 10 , 4 ).
- Encuentra el punto de intersección de la recta L y el plano π , si
L = { ( x , y , z )∈ℜ^3 x = 3 , y = 4 , z = 2 + t , t ∈ℜ}
π = { ( x , y , z )∈ℜ^3 2 x + 5 y = 10 }.
Sustituimos x^ =^3 , y^ =^4 en 2 x^^ +^5 y , obteniendo 2 (^3 )+^5 (^4 )^ =^26 ≠^10 , de modo
que no hay intersección entre la recta y el plano.
- Encuentra los puntos de intersección de los planos
π 1 = { ( x , y , z )∈ℜ^35 x − 7 y + 4 z = 18 }
π 2 = { ( x , y , z )∈ℜ^310 x − 14 y + 8 z = 24 }.
Si multiplicamos la primera ecuación por 2 al resultado le restamos la segunda ecuación, obtenemos que 0 = 12 , lo cual es inconsistente. En otras palabras, los planos π (^) 1 y π (^) 2 no se intersecan.
- Encuentra los puntos de intersección de los planos
π 1 = { ( x , y , z )∈ℜ^35 x − 7 y + 4 z = 18 }
π 2 = { ( x , y , z )∈ℜ^310 x − 14 y + 8 z = 36 }.
Si multiplicamos la primera ecuación por 2 y al resultado le restamos la segunda ecuación, obtenemos que 0 = 0 , lo cual significa que los planos se intersecan en todos sus puntos, es decir, se trata de planos coincidentes.
Ángulo entre planos.
El ángulo que forman entre sí dos planos es simplemente el ángulo entre sus vectores
normales, como lo muestra la figura. Así, si π 1 es un plano, con vector normal n 1
r , y π (^) 2 es un segundo plano, con vector normal n 2
r , entonces el ángulo θ^ entre los dos planos está dado por
1 2
cos 1 1 2 n n
n n r r
r r θ.
Ejemplo: Encuentra el ángulo entre los planos 3 x − 6 y − 2 z = 15 y 2 x + y − 2 z = 5.
En este caso, los vectores normales son n 1 (^) = 3 i ˆ− 6 j ˆ− 2 k ˆ
r y n (^) 2 = 2 i ˆ+ j ˆ− 2 k ˆ
r
. Como n 1 (^) ⋅ n 2 = 6 − 6 + 4 = 4
r r , n 1 =^9 +^36 +^4 =^7
r y n 2 =^4 +^1 +^4 =^3
r , por lo tanto
- 38 ( 79 ) 21
cos ( 3 )( 7 )
cos (^1 1) = = o
θ = −^ − rad.
Ecuación paramétrica del plano.
Además de la representación cartesiana que ya vimos, la ecuación del plano también admite una representación paramétrica, que presentaremos muy brevemente.
Definición. La ecuación vectorial paramétrica del plano que contiene al punto x 0
r y a
dos vectores no paralelos u
r y v
r es x x tu s v r r r r = 0 + + ,
donde s , t ∈(−∞,∞).
Para pasar de la ecuación cartesiana del plano a su ecuación paramétrica, se parametrizan dos de las tres variables, x, y o z , como se muestra a continuación.
Ejemplo: Encuentra la ecuación paramétrica del plano x^ +^2 y − z =^3 en
ℜ^3
Simplemente podemos proponer la parametrización y = t y z^ =^ s , de modo que
z s t s
y t
x t s
Estas ecuaciones pueden expresarse en forma vectorial como
t s t s z
y
x
que es de la forma x x tu sv
r r r r = 0 + + , con x (^) 0 = 3 i ˆ
r , u =− 2 i ˆ+ j ˆ
r y v = i ˆ^ + k ˆ
r .
En relación con el ejemplo anterior cabe señalar que u^ ×^ v = i ˆ^ +^2 j ˆ− k ˆ
r r , que es precisamente el vector normal n
r al plano x + 2 y − z = 3.
C. Hiperplanos.
Los conceptos anteriores para la ecuación del plano en ℜ 3 pueden extenderse
trivialmente para el caso de ℜ n , en donde el lugar geométrico correspondiente se conoce como hiperplano, en lugar de plano. Baste presentar aquí su definición, así como unos cuantos ejemplos ilustrativos.
Definición. La ecuación del hiperplano en ℜ n que contiene al punto
P 0 (^) ( x 10 , x^02 ,K , xn^0 )y es perpendicular al vector v ( a 1 , a 2 ,K, an )
r = es
a 1 (^) ( x 1 − x 10 )+ a 2 ( x 2 − x^02 )+L + an ( xn − x^0 n )= (^0).
Por ejemplo, la ecuación del hiperplano en ℜ 4 que contiene al punto P ( 1 ,− 2 , 0 , 3 )y es
normal al vector v =( 5 , 2 , 3 ,− 1 )
r está dada por 5 ( x 1 (^) − 1 )+ 2 ( x 2 −(− 2 ))+ 3 ( x 3 − 0 )−( x 4 − 3 )= 0 , es decir,
5 x 1 (^) + 2 x 2 + 3 x 3 − x 4 =− 2.
Otro ejemplo lo constituye la ecuación presupuestal, p^ 1 x 1 +^ p 2 x 2 +L+ pn xn = m , conocida también como hiperplano presupuestal, cuyo vector normal es el vector de
precios, p^ (^ p 1 , p 2 ,K, pn )
r = (^).
Definición. Una curva paramétrica r ( t ) r es una función vectorial, r :ℜ→ℜ n r , que a
cada valor t^ ∈ℜasigna un único vector r^ r (^ t )∈ℜ n .
En el caso particular del plano ℜ^2 una curva puede representarse tanto en forma cartesiana, mediante una función escalar de las variables x y y , F ( x , y )= 0 ,
como en forma paramétrica, mediante una función vectorial
r ( t )= f ( t ) i ˆ+ g ( t )ˆ j r ,
donde las componentes del vector son ambas funciones de un parámetro t ∈ℜ.
Por ejemplo, la recta y = x + 1 puede representarse en forma paramétrica como
r ( t )= x ( t ) i ˆ+ y ( t ) j ˆ r , donde
yt t t
xt t
Asimismo, la circunferencia x^2 + y^2 = r^2 puede representarse en forma paramétrica como
r ( θ )= x ( θ ) i ˆ+ y ( θ ) j ˆ r ,
donde
() cos θ θ θ π
θ θ = ≤ <
y rsen
x r
Para el caso de una curva en
no es posible representar su ecuación en forma cartesiana, sino solamente como una ecuación paramétrica, de la forma
r ( t )= f ( t ) i ˆ+ g ( t )ˆ j + h ( t ) k ˆ
r ,
con t^ ∈ℜ. Un ejemplo de este tipo de curvas lo constituye la hélice mostrada en la figura, cuya ecuación paramétrica es
r ( t )= (cos t ) i ˆ+( sent ) ˆ j + tk ˆ
r .
En vista de que una curva paramétrica r ( t ) r es una función del parámetro f , tiene sentido
preguntarse sobre su razón de cambio o derivada, dr ( t )/ dt r , con respecto al parámetro t. Para ello, primero sería necesario definir los conceptos de límite y continuidad, pero aquí omitiremos su definición formal por falta de tiempo.
Definición. Sea r ( t ) r una función vectorial, con r :ℜ→ℜ n r
. La derivada de r ( t ) r
con respecto a t es la función vectorial d r ( t )/ dt r dada por
t
rt t rt dt
drt t ∆
∆→
lim
0
r r r ,
cuando este límite existe.
De acuerdo con la definición anterior, se sigue el siguiente resultado:
El vector dr^ ( t )/ dt
r es el vector tangente a la curva descrita por r ( t )
r en cada punto determinado por t.
El cálculo de la derivada dr ( t )/ dt r es muy sencillo en general. Por ejemplo, es posible
demostrar que en el caso particular de una función vectorial
r ( t )= f ( t ) i ˆ+ g ( t ) j ˆ+ h ( t ) k ˆ
r
en ℜ 3 , la derivada de r ( t ) r está dada por
k dt
dht j dt
dgt i dt
dft dt
dr ( t ) ()ˆ () ˆ () ˆ = + +
r ,
siempre y cuando f, g y h sean todas funciones diferenciables de t.
Ejemplo:
Encuentra el vector tangente a la hélice r ( t )=(cos t ) i ˆ+( sent ) ˆ j + tk ˆ
r en el punto determinado por t = 0.
Por una parte, el punto determinado por t = 0 es
r ( 0 )= i ˆ
r . Por otra parte, la derivada dr ( t )/ dt r es la función vectorial
senti t j k dt
dr t ˆ ˆ ˆ cos
r ,
que en t = 0 se convierte en el vector
j k dt
drt t
0
=
r .
Por lo tanto, el vector tangente a la curva r ( t ) r en el punto r ( 0 )= i ˆ r es j ˆ^ + k ˆ.
4.5 Puntos interiores, exteriores y frontera.
Aquí presentaremos algunas nociones de topología, requeridas para comprender el significado de varios de los teoremas y conceptos que se verán más adelante en el curso.
Definición. Dado un punto x ∈ℜ n 0
r y un número real δ > 0 la vecindad V^ (^ x 0 )
r δ
con centro en x 0
r y radio δ es el conjunto de todos los puntos x ∈ℜ n
r cuya distancia a x 0
r es menor que δ , es decir,
Vδ ( x 0 )= { x ∈ℜ n^ || x − x 0 ||< δ }
r r r r .
Ejemplos:
1. Una vecindad en ℜ es el conjunto Vδ ( x 0 )= { x ∈ℜ x − x 0 < δ }, que representa
un intervalo abierto en los reales: x − x 0 < δ ∴ − δ < x − x 0 < δ ∴ x 0 − δ < x < x 0 + δ
2. Una vecindad en ℜ 2 es el conjunto Vδ ( x 0 )= { x ∈ℜ^2 || x − x 0 ||< δ }
r r r r , que representa los puntos dentro de un círculo de radio δ y centro en x 0
r :
|| x − x 0 ||< δ
r r
∴ ( x − x 0 )^2 +( y − y 0 )^2 < δ 2 2 0
2 ∴ ( x − x 0 ) +( y − y ) < δ
3. Una vecindad en ℜ^3 es el conjunto Vδ^ (^ x 0 )=^ {^ x ∈ℜ^3 || x − x 0 ||< δ }
r r r r , que representa los puntos dentro de una esfera de radio δ^ y centro en x 0
r :
|| x − x 0 ||< δ
r r
∴ ( x − x 0 )^2 +( y − y 0 )^2 +( z − z 0 )^2 < δ 2 2 0
2 0
2 ∴ ( x − x 0 ) +( y − y ) +( z − z ) < δ
Con base en los ejemplos anteriores, es claro por qué una vecindad también se denomina como bola abierta.
Definición. Sea A ⊂ ℜ n un conjunto y sea x ∈ℜ n
r un punto. Decimos que:
a) x
r es un punto interior de A si existe un número δ^ >^0 tal que la vecindad V^ (^ x 0 )
r δ totalmente contenida en A.
b) x
r es un punto exterior de A si existe un número δ^ >^0 tal que la vecindad V^ (^ x 0 )
r δ no contiene puntos de A.
c) x
r es un punto frontera de A si para todo número δ^ >^0 la vecindad V^ (^ x 0 )
r δ contiene tanto puntos de A , como puntos fuera de A. Los puntos frontera pueden, o no pertenecer a A.
Así, si A = {( x , y )∈ℜ^2 x^2 + y^2 ≤ 1 }entonces el conjunto de puntos interiores (PI),
puntos exteriores (PE) y puntos frontera (PF) de A son los conjuntos:
PI = {( x , y )∈ℜ^2 x^2 + y^2 < 1 }
PE = {( x , y )∈ℜ^2 x^2 + y^2 > 1 }
PF = {( x , y )∈ℜ^2 x^2 + y^2 = 1 }
Veamos otros ejemplos:
1. A = ℜ^2 +^ ={( x 1 , x 2 )∈ℜ^2 x 1 ≥ 0 yx 2 ≥ 0 }. 2. A = {( x 1 , x 2 )∈ℜ^2 x 1 x 2 = 0 }.
3. A = {( x 1 , x 2 )∈ℜ^21 ≤ x 1 < 5 y 1 ≤ x 2 < 3 }. 4. A = {( x , y )∈ℜ^2 x^2 + y^2 > 1 }.
5. A = {( x , y )∈ℜ^2 a < x ≤ b , y = 0 }. 6. A = {( x , y )∈ℜ^2 a < x ≤ b }
