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Problemas de proporcionalidad
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA E INVERSA.
1 .- En 50 litros de agua de mar hay 1.300 g. de sal. ¿Cuántos litros hacen falta para 5.200 g. de sal? 2 .- Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 kms. ¿Cuántos kms. recorrerá con 28 litros? 3 .- 5 Obreros hacen una pared en 15 días. ¿Cuánto tardarán 3 obreros en hacer la misma pared? 4 .- Un granjero tiene pienso para alimentar a sus 12 vacas durante 45 días. Si compra 3 vacas más, ¿Cuánto le durará el pienso? 5 .-Una rueda da 4.590 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en 2 horas y media? 6 .- Un deportista recorre 4.500 m. en 10 minutos. ¿Cuántos km. recorrerá en media hora? 7 .- 4 albañiles tardan en arreglarme el tejado 18 días. Si quiero acabar el tejado en 12 días, ¿Cuántos albañiles tengo que contratar? 8 .- Un camión que carga 3.000 kg. da 15 viajes para transportar una carga. ¿Cuántos viajes dará otro camión que carga 4,5 toneladas en transportar la misma carga? 9.- Un obrero gana 350 € a la semana. ¿Cuánto gana en 45 días? 10 .- Por cada 24 kg. de aceitunas se obtienen 6 litros de aceite. a) ¿Cuántos litros se obtienen con 5 toneladas de aceitunas? b) ¿Cuántos kg. de aceitunas se necesitan para llenar un depósito de 8.000 litros de aceite? 11 .- Con un depósito de agua pueden beber 30 caballos durante 8 días. Si se venden 6 caballos, ¿cuántos días durará el agua? 12 .- 3 Amigos ponen 7,50 € cada uno para hacer un regalo. Si dos amigos más quieren participar en el regalo, ¿cuánto debe poner cada uno? 13 .- 5 CD´s de música cuestan 90 €. ¿Cuánto valen 3 cajas con 10 cd´s cada una? 14 .- Para abonar un terreno de 4.000 m^2 necesitamos 50 kg. de abono. Si compro 20 kg. más, ¿Cuántos m^2 puedo abonar? 15 .- Cada día leo durante 2 h y 10 minutos 25 páginas de un libro. Si el libro tiene 275 páginas, ¿Cuánto tiempo tardaré en leerlo? 16 .- Un coche tarda 45 minutos en recorrer 72 kms. ¿Qué distancia recorrerá en 3 horas si va a la misma velocidad? 17 .- 1 kg de jamón cuesta 7,25 €, ¿Cuántos gramos de jamón puedo comprar con 5 €? 18 .- Para alimentar a 30 perros se necesitan 45 kg. de comida. Si llegan 12 perros más, ¿Cuánta comida necesitamos? 19.- Una máquina fabrica 400 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tardará en fabricar 1.000 tornillos? 20.- Con 200 g. de harina se elaboran 6 barras de pan. ¿Cuántas barras se elaboran con 5 kg? 21 .- 6 máquinas excavadoras hacen una zanja en 18 días, si se averían 2 excavadoras, ¿Cuánto tardarán en abrir la zanja 22 .- Un coche que va a 72 Km/h, tarda 3h y 15 minutos en hacer un recorrido.¿Cuánto tardará otro coche en hacer el mismo recorrido si va a 90 km/h? 23 .- Si 3 libros de lectura cuestan 36 €, ¿Cuánto costarán 2 docenas de libros? 24 .- Si 5 fotocopias cuestan 40 céntimos, ¿cuántas fotocopias haré con 8 €? 25 .- Una piscina con 3 grifos tarda en llenarse 24 horas. Si abrimos un grifo más, ¿Cuánto tardará en llenarse? 26 .- Un depósito lleno de agua tarda 24 minutos en vaciarse abriendo 5 desagües. Si queremos que se vacíe en 15 minutos ¿Cuántos desagües hay que abrir?
Resolución de los problemas de proporcionalidad
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA E INVERSA.
Todos estos problemas se resuelven planteando una regla de tres simple (sigue estos pasos): 1º Escribimos las dos magnitudes con la unidad en que la vamos a medir. 2º Leemos el problema y colocamos las cantidades en la magnitud correspondiente. Recuerda que si no están en la misma unidad hay que pasarlas a la misma unidad. Llamamos “x” a la cantidad que tenemos que calcular. 3º Averiguamos si es directa o inversa: utilizamos los signos “+” y “ – ” Recuerda que: Directa (D) Inversa (I)
+ __________________ + + ____________________ -
- ___________________ - - ____________________ +
4º Escribimos la proporción teniendo en cuenta que: Si es Directa formamos la proporción con los números igual que aparecen en la regla de tres. Si es Inversa formamos la proporción escribiendo la fracción inversa de una de las dos magnitudes 5º Resolvemos la proporción y tenemos la solución del problema. 1 .- En 50 litros de agua de mar hay 1.300 g. de sal. ¿Cuántos litros hacen falta para 5.200 g. de sal?
Agua de mar ( litros) D sal (g) Es Directa (D), porque para obtener más (+) gramos
50 _______________ 1.300 de sal necesitamos (+) litros de agua de mar. x _______________ 5.
50 = 1.300 1.300 · x = 50 · 5. x 5.200 1.300 · x = 260. x = 260.
Solución: Hacen falta 200 litros de agua. 2 .- Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 kms. ¿Cuántos kms. recorrerá con 28 litros?
Gasolina( litros) D Distancia (km) Es Directa (D), porque con más (+) litros de gasolina
5 _______________ 100 recorreremos más (+) distancia. 28 _______________ x
5 = 100 5 · x = 28 · 100 28 x 5 · x = 2. x = 2. 5 Solución: El coche recorrerá 560 km.
x = 200 litros
x = 560 km
6 .- Un deportista recorre 4.500 m. en 10 minutos. ¿Cuántos km. recorrerá en media hora? Pasamos media hora a minutos para trabajar en la misma unidad: 0,5 h x 60 = 30 minutos Recorrido (m) D Tiempo (min) Es Directa (D), porque en más (+) minutos 4.500 _______________ 10 recorrerá más (+) metros. x _______________ 30
4.500 = 10 10 · x = 30 · 4. x 30 10 · x = 135. x = 135. 10 13.500 m = 13.500 : 1.000 = 13,5 km Solución: El deportista recorrerá 13,5 km en media hora. 7 .- 4 albañiles tardan en arreglarme el tejado 18 días. Si quiero acabar el tejado en 12 días, ¿Cuántos albañiles tengo que contratar? Nº de Obreros I Tiempo (días) Es Inversa (I), porque para acabar en menos (-) días 4 _______________ 18 se necesitarán (+) obreros. x _______________ 12
4 = 12 12 · x = 4 · 18 x 18 12 · x = 72 inversa x = 72 12 Solución: Tengo que contratar 6 albañiles. 8 .- Un camión que carga 3.000 kg. da 15 viajes para transportar una carga. ¿Cuántos viajes dará otro camión que carga 4,5 toneladas en transportar la misma carga? Pasamos 3.000 kg a toneladas para trabajar en la misma unidad: 3.000 kg = 3.000 : 1.000 = 3 toneladas Peso (toneladas) I Nº de viajes Es Inversa (I), porque al cargar más (+) toneladas 3 _______________ 15 necesitará dar menos (-) viajes. 4,5 _______________ x
4,5 = 15 4,5 · x = 15 · 3 3 x 4,5 · x = 45 inversa x = 45 4, Solución: Necesitará dar 10 viajes.
x = 13.500 m
x = 6 albañiles
x = 10 viajes
9.- Un obrero gana 350 € a la semana. ¿Cuánto gana en 45 días? Pasamos 1 semana a días: 1 semana = 7 días Sueldo (€) D Tiempo (días) Es Directa (D), porque si trabaja más (+) días 350 _______________ 7 ganará más (+) dinero. x _______________ 45
350 = 7 7 · x = 350 · 45 x 45 7 · x = 15. x = 15. 7 Solución: El obrero ganará 2.250 €. 10.- Por cada 24 kg. de aceitunas se obtienen 6 litros de aceite. a) ¿Cuántos litros se obtienen con 5 toneladas de aceitunas? Pasamos 5 toneladas a kg para trabajar en la misma unidad: 5 t = 5 x 1.000 = 5.000 kg Peso aceitunas (kg) D Aceite (litros) Es Directa (D), porque con más (+) aceitunas 24 _______________ 6 se obtendrán más (+) litros de aceite. 5.000 _______________ x
24 = 6 24 · x = 6 · 5. 5.000 x 24 · x = 30. x = 30. 24 Solución: Se obtendrán 1.250 litros de aceite. b) ¿Cuántos kg. de aceitunas se necesitan para llenar un depósito de 8.000 litros de aceite? Peso aceitunas (kg) D Aceite (litros) Es Directa (D), porque para obtener más (+) litros 24 _______________ 6 de aceite hacen falta más (+) kg de aceitunas. x _______________ 8.
24 = 6 6 · x = 24 · 8. x 8.000 6 · x = 192.. x = 192. 6 Solución: Se necesitarán 32.000 kg de aceitunas.
x = 2.250 €
x = 1.250 litros
x = 32.000 kg
14 .- Para abonar un terreno de 4.000 m^2 necesitamos 50 kg. de abono. Si compro 20 kg. más, ¿Cuántos m^2 puedo abonar? Compramos 20 kg más, ahora tenemos 50 kg + 20 kg = 70 kg. Superficie (m^2 ) D Abono (kg) Es Directa (D), porque al comprar más (+) abono 4.000 _______________ 50 podremos abonar más (+) superficie. x _______________ 70
4.000 = 50 50 · x = 70 · 4. x 70 50 · x = 280. x = 280. 50 Solución: Puedo abonar 5.600 m^2 15 .- Cada día leo durante 2 h y 10 minutos 25 páginas de un libro. Si el libro tiene 275 páginas, ¿Cuánto tiempo tardaré en leerlo? Pasamos 2 h y 10 minutos a minutos para trabajar en la misma unidad: 2 h = 2 x 60 = 120 minutos 120 min + 10 min = 130 minutos Nº de páginas D Tiempo (min) Es Directa (D), porque para leer más (+) páginas 25 _______________ 130 tardaré más (+) tiempo. 275 ________________ x
25 = 130 25 · x = 130 · 275 275 x 25 · x = 35. x = 35. 25 1.430 min l 60 230 23 h Solución: Tardaré en leerlo 23 h y 50 min. 50 min 16 .- Un coche tarda 45 minutos en recorrer 72 kms. ¿Qué distancia recorrerá en 3 horas si va a la misma velocidad? Pasamos 3 horas a minutos para trabajar en la misma unidad: 3 x 60 = 180 min Recorrido (km) D Tiempo (min) Es Directa (D), porque en más (+) minutos 72 _______________ 45 recorrerá más (+) kilómetros. x _______________ 180
72 = 45 45 · x = 72 · 180 x 180 45 · x = 12. x = 12. 45 Solución: El coche recorrerá 288 km en 3 horas.
x = 5.600 m^2
x = 1.430 min
x = 288 km
17 .- 1 kg de jamón cuesta 7,25 €, ¿Cuántos gramos de jamón puedo comprar con 5 €? Pasamos 1 kg a gramos para trabajar en la misma unidad: 1 kg = 1.000 g Peso (g) D Precio (€) Es Directa (D), porque con menos (-) dinero 1.000 _______________ 7,25 podré comprar menos (-) gramos de jamón. x _______________ 5
1.000 = 7,25 7,25 · x = 1.000 · 5 x 5 7,25 · x = 5. x = 5. 7, Solución: El coche recorrerá 288 km en 3 horas. 18 .- Para alimentar a 30 perros se necesitan 45 kg. de comida. Si llegan 12 perros más, ¿Cuánta comida necesitamos? Si llegan 12 perros más, ahora habrá: 30 + 12 = 42 perros Nº de perros D Comida (kg) Es Directa (D), porque para alimentar más (+) perr 30 _______________ 45 necesitaremos más (+) kg de comida. 42 ________________ x
30 = 45 30 · x = 45 · 42 42 x 30 · x = 1. x = 1. 30 Solución: Necesitaremos 63 kg de comida. 19.- Una máquina fabrica 400 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tardará en fabricar 1.000 tornillos? Nº de tornillos D Tiempo (h) Es Directa (D), porque para fabricar más (+) tornill 400 _______________ 5 tardaremos más (+) tiempo. 1.000 _______________ x
400 = 5 400 · x = 1.000 · 5 1.000 x 400 · x = 5. x = 5. 400 Solución: Tardará en fabricarlos 12 horas y media.
x = 689,65 g
x = 63 kg
x = 12,5 h
23 .- Si 3 libros de lectura cuestan 36 €, ¿Cuánto costarán 2 docenas de libros? Averiguamos cuántos libros son dos docenas: 2 x 12 = 24 libros Nº de libros D Precio (€) Es Directa (D), porque para comprar más (+) libros 3 _______________ 36 hace falta más (+) dinero. 24 ________________ x
3 = 36 3 · x = 36 · 24 24 x 3 · x = 864 x = 864 3 Solución: 2 Docenas de libros costarán 288 €. 24 .- Si 5 fotocopias cuestan 40 céntimos, ¿cuántas fotocopias haré con 8 €? Pasamos 40 céntimos a € para trabajar en la misma unidad: 40 céntimos = 0,40 € Fotocopias D Precio (€) Es Directa (D), porque con más (+) dinero 5 _______________ 0,40 podré hacer más (+) fotocopias. x ________________ 8
5 = 0,40 0,40 · x = 5 · 8 x 8 0,40 · x = 40 x = 40 0, Solución: Podré hacer 100 fotocopias. 25.- Una piscina con 3 grifos tarda en llenarse 24 horas. Si abrimos un grifo más, ¿Cuánto tardará en llenarse? Si abrimos 1 grifo más, ahora tendremos: 3 + 1 = 4 grifos Nª de Grifos I Tiempo (horas) Es Inversa (I), porque si hay más (+) grifos abietos 3 _______________ 24 tardará menos (-) tiempo en llenarse. 4 _______________ x
4 = 24 4 · x = 3 · 24 3 x 4 · x = 72 inversa x = 72 4 Solución: La piscina tardará en llenarse 18 horas.
x = 288 €
x = 100 fotocopias
x = 18 horas
26 .- Un depósito lleno de agua tarda 24 minutos en vaciarse abriendo 5 desagües. Si queremos que se vacíe en 15 minutos ¿Cuántos desagües hay que abrir? Nª de Desagües I Tiempo (min) Es Inversa (I), porque si queremos que se vacíe 5 _______________ 24 en menos (-) tiempo, hay que abrir más (+) desagües x _______________ 15
5 = 15 15 · x = 5 · 24 x 24 15 · x = 120 inversa x = 120 15 Solución: Para que se vacíe el depósito en 15 min hay que abrir 8 desagües. Espero que los hayas entendido y sepas hacerlos. Si sigues teniendo dudas me las preguntas en clase.
x = 8 desagües
