reologia conceptos y esquemas, Resúmenes de Mecánica de Fluidos

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INTRODUCCION A LA REOLOGIA

Contenido

1. VISCOSIDAD

1.1. Introducción........................................................................................... 01

1.2. Esfuerzo de corte................................................................................... 02

1.3. Velocidad de deformación...................................................................... 02

1.4. Ley de Newton de la viscosidad............................................................. 04

2. REOLOGIA

2.1. Definición.............................................................................................. 05

2.2. Fluidos newtonianos............................................................................. 05

2.3. Fluidos no newtonianos........................................................................ 06

2.3.1. Comportamiento plástico......................................................... 08

2.3.2. Comportamiento pseudoplástico................................................ 08

2.4. Fluidos Viscoelásticos.................................................................... 11

3. VISCOSIMETROS

3.1. Consideraciones generales............................................................... 12

3.2. Teoría de Viscosímetros capilares....................................................... 13

3.3. Teoría de Viscosímetros rotacionales................................................... 16

3.4. Caso de los fluidos no newtonianos.................................................... 18

4. BIBLIOGRAFIA 21

El asignar valores númericos a estos fenómenos, nos permite operar matemáticamente sobre estos y el asignar nombres a estas interacciones permite que sean objeto de discusión.

1.2. ESFUERZO DE CORTE

La fuerza F requerida para mover el plato superior se relaciona con el área en contacto con la sustancia y para llegar a una medida específica es necesario dividir la fuerza total necesaria para el movimiento por el área en contacto con la sustancia. A esta relación se le denomina Esfuerzo de Corte (el movimiento entre planos es siempre referido como "corte" o "cizalla", en inglés "shear"). Las unidades usuales para la fuerza son la dina (1000 dinas equivalen al peso de 1 gramo

aproximadamente), y para el área, el cm2. La fórmula sería:

τ

dinas cm 2

⎟ =^

F(dinas) A(cm 2 )

Las unidades análogas en el Sistema Internacional serían:

τ

N

m 2

F(N)

A(m 2 )

1.3. VELOCIDAD DE DEFORMACION O CIZALLAMIENTO:

El cizallamiento ejercido sobre el material es relacionado con la velocidad relativa de movimiento y la distancia entre platos (h en nuestro caso). A una velocidad, v, dada, mayor esfuerzo se requiere en una unidad de material cuando los platos están más cercanos. La medida específica de este trabajo por unidad de material es llamada velocidad o tasa de deformación o corte, y es definida como la velocidad relativa dividida por la distancia entre platos:

γ

• (s -^1 ) = D =

v(cm/s) h(cm)

1.4. LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

Hemos estudiado, en el ejemplo anterior, el efecto final de la fuerza aplicada sobre el plato, sin considerar el tiempo. Supongamos ahora que el sistema esta inicialmente en reposo, y al cabo del tiempo t = 0, la lámina inferior de la Fig. 2 se pone en movimiento en la dirección x, con una velocidad v. A medida que transcurre el tiempo el fluido gana cantidad de movimiento , y finalmente se establece el perfil de velocidad en régimen estacionario (fig. 2, a)-d). Una vez alcanzado dicho estado estacionario de movimiento, es preciso aplicar una fuerza constante F para conservar el movimiento de la lámina inferior.

τ < 0

τ = 0

τ pequeño

τ grande

γ

v

v

y x

Fluido inicialmente en reposo

Lámina inferior puesta en movimiento

Formación de la velociadad en flujo no estacionario

Distribución final de velocidad para flujo estacionario

V (^) z(y,τ)

V (^) z(y)

Figura 2. Desarrollo del perfil de velocidad

Para el flujo laminar se cumple:

F A =^ h^

v y ó^ τ^ =^ η^.

γ

En esta ecuación la constante de proporcionalidad es la viscocidad (η) y del análisis dimensional resulta:

η (=) ML-^1 t -^1

En el sistema CGS: 1 dina.s/cm^2 = 1 poise

En el sistema SI : 1N.s/m^2 = 10 poise

En la práctica también se usa el centipoise: 1 poise = 100 centipoise (cP)

En algunos casos debe utilizarse la viscocidad cinemática:

Viscosidad cinemática (υ) = viscosidad (η) /masa volumétrica (ρ)

cuya unidad en el sistema CGS es el Stokes:

1 Stokes = 1 poise/(1g/cm 3 ) = dina.s.cm3^. g-^1. cm -^2 = cm 2. s-^1

en el sistema SI: (=) m 2. s-^1

Esta interpretación está en íntima relación con la naturaleza de los fenómenos de transporte y transferencia, en los cuales el flujo de una variable extensiva es originado por la acción de un gradiente de potencial. Así mismo, este flujo es favorecido o restringido por la existencia de una mayor o menor conductividad, la cual es una propiedad intrínseca del material. Por ejemplo si consideramos la ley de Ohm, de la conductividad, tenemos:

Flujo de carga Area = Conductividad x

Diferencial de potencial Longitud

Que relaciona la densidad de corriente (flujo de carga por unidad de área del conductor), con el gradiente de potencial (campo eléctrico). Igualmente para la Ley de Fourier para la conductividad térmica, ley de Fick de difusión molecular o la transferencia de masa en la que:

Flujo molar Area = Coef. transferencia x Gradiente de concentración

y para el caso que nos interesa, de la Ley de Newton, donde la fuerza (MLT -^2 ), es un flujo de

cantidad de movimiento o momento fuerza (MLT -^1 ) y la viscosidad es la conductividad, en forma perpendicular a la dirección del flujo, de la cantidad de movimiento. De acuerdo con la última expresión, se deduce que la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de la velocidad, es decir, que sigue la dirección de velocidad decreciente (de una región de alta velocidad a otra de baja velocidad). El gradiente de velocidad puede considerarse, por consiguiente, como una "fuerza impulsora" de cantidad de movimiento.

2. REOLOGIA

2.1. DEFINICION

Entendiendo como fluido aquella sustancia que no puede soportar un esfuerzo sin ponerse en movimiento, podemos decir que la reología es "la ciencia del flujo y la deformación", es decir, la rama de la física que estudia el comportamiento de los fluidos sometidos a diferentes tipos de esfuerzos. El campo de la reología se extiende desde la mecánica de los fluidos Newtonianos por una parte, hasta la elasticidad de Hooke por otra.

Para tales estudios se usan aparatos llamados reómetros, que permiten cuantificar los parámetros inherentes al proceso, para así obtener, mediante gráficas adecuadas, la relación entre el esfuerzo y el cizallamiento.

2.2 FLUIDOS NEWTONIANOS

Recordemos que cuando la viscosidad es constante, para cualquier valor de τ, el fluido

recibe el nombre de Newtoniano.

La representación gráfica de τ vs.

γ

• de un fluido Newtoniano es una recta que pasa por el origen. (Fig. 4).

Newtoniano

Figura 4 Fluido newtoniano

La pendiente es la viscosidad (η): η = tgα

y la fluidez se define como: 1/η = 1/tg α

Por tanto, basta un par de valores (τ,

γ

• ), para fijar sin lugar a dudas la posición de la recta y por tanto la viscosidad que depende sólo de la temperatura. La relación τ = τ (T) entra en el campo de la reología físico-química, y de momento no vamos a estudiarla. Lo único que nos interesa señalar es que las variaciones de viscosidad con la temperatura son considerables, por ejemplo, en el aceite doméstico y por lo tanto, debe siempre acompañarse al valor de la viscosidad el de la temperatura. Así diremos, la viscosidad del agua a 47 ºC es tal o la de un aceite monomotor a 81 ºC es cual, etc. Los fluidos (Newtonianos o no), también cambian su viscosidad con la presión. En aceites, por ejemplo, el incremento de viscosidad sigue aproximadamente una función exponencial respecto a la presión (factor a ser tomado en cuenta en el diseño de rodamientos, por ejemplo).

2.3. FLUIDOS NO NEWTONIANOS

Son los que no cumplen con la Ley de Newton. Pueden clasificarse en tres grandes grupos:

a) La ecuación que relaciona τ vs γ no es lineal: τ = τ (

γ

• )

b) τ es una función más o menos compleja de γ y eventualmente del tiempo: τ = τ (

γ

• ,t)

c) El comportamiento reológico es el resultante de un sistema fluido (newtoniano o no), y un sistema elástico: fluidos viscoelásticos.

El fluido no newtoniano tiene en A, una viscosidad aparente:

ηap = tg α

La viscosidad aparente es un concepto que se presta a muchos errores como puede deducirse de la figura. No conviene, pues, usar ciertos aparatos para la medición de viscosidades en fluidos no-newtonianos. Otro concepto utilizado es el de viscosidad diferencial que viene dado por el ángulo que forma la tangente a la curva, en un punto dado, con el eje de abcisas.

ηdif = tg α'

2.3.1 COMPORTAMIENTO PLASTICO

Los fluidos plásticos son aquellos que requieren de un esfuerzo inicial τo para iniciar la

deformación (Fig.6)

τ

γ

A

το

Figura 6 Reograma para un fluido plástico

El reograma mostrado en la figura se refiere a un comportamiento plástico ideal. En este caso

si la tensión de cortadura aplicada es inferior a τo, el producto se comporta como un sólido. Sí es

superior a τo se comporta como un fluido newtoniano.

El caso anterior es el llamado fluido plástico ideal o de Bingham , donde la ecuación de Newton se transforma en la de Bingham:

τ = τo + η. D

Esta ecuación corresponde a muchas suspensiones concentradas de sólidos.

2.3.2. COMPORTAMIENTO PSEUDOPLASTICO

Corresponde a sistemas fluidos en los que no existe tensión de cortadura umbral. Gráficamente serán curvas que pasan por el origen (Fig.7). Se han propuesto, varios modelos matemáticos para estos sistemas, sin embargo, no hay ninguno que incluya a todos.

Figura 7 Reograma para un fluido pseudoplástico

2.3.2.1. Ecuación de Ostwald de Waele o ley de la potencia

τ = k (

γ

• ) m^ ó log τ = log K + m log

γ

donde k es el índice de consistencia (o viscosidad aparente a 1 s -^1 ) y m es el índice de fluidez.

Sí m = 1 el fluido es newtoniano Sí m < 1 es pseudoplástico Sí m > 1 es dilatante

La viscosidad aparente ηap se define por: τ = ηap

γ

ó ηap = k

γ

• (^) m-

La ecuación de Ostwald es sencilla y sirve para interpolar. Tiene el incoveniente que en el origen

de coordenadas

γ

→ 0 y τ → 0 y por tanto ηap. está indetermiando

Normalmente se trabaja con escalas logτ vs. log

γ

• , en los cuales se obtienen reogramas lineales (Fig. 8).

log γ

log k

m

Figura 8 Reograma para un fluído pseudoplástico en escala log-log

—Ecuación de Eyring: τ = A. Arcsenh [(1/B)

γ

• ]

Este modelo de dos parámetros deriva de la teoría cinética de los líquidos. El modelo de Eyring predice el comportamiento pseudoplástico para valores finitos de τ, y tiende asintóticamente a la ley de viscosidad de Newton cuando τ tiende hacia cero, siendo en este caso η = A/B. A continuación se presenta un sumario de algunos comportamientos de flujo (Fig. 10).

Fig. 10 Modelos reométricos

2.4. FLUIDOS VISCOELASTICOS:

Son los formados por la suma de un componente elástico que absorbe la energía aplicada, transformándola durante la deformación en energía potencial, de forma que cuando esta cesa, la deformación vuelve a su estado inicial, y un componente viscoso, que absorbe la energía aplicada transformándola en calor y fluyendo. Las emulsiones o slurries con alto contenido de fase interna presentan una cierta rigidez y pueden por lo tanto exhibir un comportamiento, en algo, semejante a la elasticidad de los sólidos. Los fluidos viscoelásticos presentan a la vez un comportamiento viscoso (newtoniano o no) y un comportamiento elástico (hookeano o no). En régimen transitorio, como por ejemplo en las operaciones de bombeo, tales fenómenos pueden volverse determinantes.

3. VISCOSIMETROS

3.1. CONSIDERACIONES GENERALES

Según la geometría del sistema y de la parte móvil, los aparatos de medida se clasifican en:

a) Viscosímetros capilares: Aparatos basados en el movimiento laminar del fluido en el interior de un capilar.

b) Viscosímetro de placas deslizantes: Aparatos basados en el cizallamiento de un fluido entre placas paralelas.

c) Viscosímetros de caída de bola: Ya sea libre, forzada o en tubo inclinado.

d) Viscosímetros coaxiales con movimiento axial

e) Viscosímetros de cinta.

f) Viscosímetro rotatorio Couette: Aparato basado en el movimiento rotatorio del líquido entre dos cilindros coaxiales: mientras uno gira se mide el par de torsión en el otro.

g) Viscosímetro rotatorio Stormer : En el que se mide la velocidad a la que gira un cilindro interno sometido a una tensión dada.

h) Viscosímetro rotatorio normal: En el que la medida se efectúa por reacción entre un cilindro interno rotatorio y un externo fijo.

i) Viscosímetro Brookfield: Medida por la reacción de un cilindro que gira dentro del líquido sin ninguna superficie coaxial próxima.

j) Reogoniómetros: Medida simultánea del par de reacción de un cono que gira sobre una placa y de la presión que el fluido ejerce normalmente a la misma.

k) Viscosímetros ultrasónicos: Se basan en la alteración de un haz de ondas ultrasónicas en el interior del fluido.

Para la elección del tipo de aparato más adecuado conviene tener en cuenta que no existe ningún aparato universal que sirva para todo tipo de fluidos. (Téngase en cuenta que los fluidos

newtonianos pueden tener viscosidades comprendidas entre 10-5^ y 1014^ Poises). Por ello debe considerarse:

1.- Objeto de la medida: —Control de materias primas —Control de productos intermedios —Control de productos acabados —Investigación, etc.

Cuaderno FIRP S520B 14 Introducción a la Reología

Sea P la presión sobre el líquido en dinas/cm^2 , R el radio en cm y L la longitud en cm.

El esfuerzo total sobre el líquido es = (π R 2 ) P La superficie lateral del tubo es = 2 π RL

Por lo tanto, sí hacemos un balance de fuerza tenemos

π R 2 P 1 - π R 2 P 2 - τR (2 π RL) = 0 ó τR = ∆P R/2L

Con τR el esfuerzo de corte en la pared del capilar (r = R) y en general:

τrz = r ∆P/2L (para cualquier radio r)

Es decir: τ rz = τR (r/R)

Sí en un punto a una distancia r del centro, tenemos una velocidad v en la dirección z, y en otro punto a una distancia r+dr tenemos una velocidad v-dv, entonces:

τ = f(

γ

• ), con

γ

• = - dv/dr

El caudal será:

Q = 0 vrdr dθ

R

2 π

∫ =^2 π^0 v rdr^ =

R

∫ π^ v d r^

2

0 (^ )

R

usando la derivada del producto de la velocidad v por r^2 → d(vr 2 ) = v d(r 2 ) + r^2 dv entonces

Q = π d vr ( 2 ) − π 0 r 2 dv

R

R

Al integrar entre r=0 y r=R con las condiciones de borde vr^2 = 0 en ambos casos entonces

Q = −π 0 r 2 dv

R

∫ =^ πr^2 dr

dv (^0) dr

R

Sí el fluido es newtoniano: η = τ/

γ

• = (r ∆P/2L)/(-dv/dr)

Al integrar esta última ecuación nos queda que para la velocidad en dirección z:

v = (∆ P/4 ηL) (R 2 - r 2 ) (Distribución parabólica de velocidad)

Y por otro lado, sustituyendo en la expresión del caudal e integrando obtenemos:

Q =

πΔP R 4 8 ηL

ó

η =

πΔP R 4 8QL

ecuación de Poiseuille

que también se puede escribir como: η =

πΔP R 4 8VL

t

donde V es el volumen y t el tiempo

Sí hacemos V = constante (para un aparato dado):

η = k t con k una constante

En la Fig. 12 se puede observar como es la distribución de velocidades y esfuerzos de corte para el caso estudiado.

z rz

v v D

r

z

Flujo de Poiseuille

Figura 12 Distribución de velocidades y esfuerzo de corte en tuberia

En los fluidos poco viscosos existe una notable discrepancia entre los valores reales y los valores determinados por las fórmulas anteriores. Ello es debido a dos causas:

a) No toda la energía aplicada a través de P se emplea en vencer la resistencia viscosa, sino que una parte queda en forma de energía cinética.

b) Debido a la variación rápida de v en la entrada y salida del capilar la longitud eficaz L del mismo es mayor que la real:

Leficaz = L+nR , L >> R y normalmente entre 5 y 10

Por lo que teniendo en cuenta lo anterior, la fórmula de la viscosidad queda:

η =

πR 4 Pt 8V(L + nR)

mρV) 8(L + nR)t

siendo m, un factor de corrección entre 1 y 1,5 y ρ la densidad.

En el caso más general y más práctico de flujo por tuberías podemos aplicar estas mismas ecuaciones, en las que si Q se relaciona con la velocidad promedio:

El cilindro interior es móvil, mientras el cilindro exterior permanece siempre fijo. Se impone entonces una velocidad de rotación constante Ω al cilindro interior y se mide el torque G impuesto al eje de rotación.

La repartición de velocidades al interior del líquido verifica:

vθ (R 1 ) = Ω R 1 vθ (R 2 ) = 0

Y se define por la ecuación (del movimiento)

[

d dr

r

d dr

(rvθ (r))

⎦⎥^

] = 0

Se obtiene finalmente: v (r) = Ω R 1 [

R 2 /r - r/R (^2) R 2 /R 1 - R 1 /R 2 ]

La velocidad de corte se define por:

γ

• = r

d dr

vθ (r) r

en este caso v(r) = - 2 Ω

R 12 R 22

R 22 - R 12

r 2

Si se hace r = R 1 , se obtiene el valor de la velocidad de corte en el cilindro interior móvil.

γ

• R = 2^ Ω^

R 22

R

2 2 - R^

2 1

γR sólo depende de la velocidad de rotación angular.

En el caso de cilindros muy cercanos: R 2 -R 1 <<R 2 , se puede escribir:

R 1 ≅ R 2 ≅ R ∆R = R 2 -R 1 y γR ≅ - ΩR/ΔR

lo cual es equivalente a suponer una repartición de velocidades lineal:

vθ (r) ≅ ΩR 2 (

r-R (^1) R 2 -R 1 )

Véase Fig. 14

Ω R

R

r

1

2

Cilindro fijo

Cilindro móvil

O

Figura 14

Si se llama Γ el torque ejercido sobre el eje de rotación,

Γ = τrθ(R 1 ) 2 π R 1 h R 1 (siendo h la altura común de los dos cilindros)

en forma más general para un valor cualquiera de r : R 1 ≤ r ≤ R 2

Γ = τrθ (r) 2π r h r o sea τrθ (r) =

2 πhr 2

la repartición del esfuerzo cortante es pues de la forma τrθ = a/r 2

En la pared del cilindro móvil:

τR =

2 πh

R 12

la viscosidad del fluído es por tanto:

η = -

τp γR =

2 πh

R 12

R

2 2 - R^

2 1 2 Ω R

2 2

; η =

4 πh

R 12

R 22

la viscosidad es de la forma: η = k r /Ω

Con k una constante función de las características del aparato.

3.4. CASO DE LOS FLUIDOS NO NEWTONIANOS:

En los dos casos anteriores, se han considerado fluídos que siguen la Ley de Newton, es decir

fluidos cuya viscosidad permanece constante cuando τ y

γ

• varían. En el caso de flujo capilar, para fluidos no-newtonianos, la velocidad de corte ya no es 8.vprom /D y no se puede establecer