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Resumen de las técnicas de distribuciones multivariantes y ejercicios para reforzar los aprendido.
Tipo: Ejercicios
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Existen muchas situaciones en las que deben estudiarse simultáneamente dos o más variables aleatorias. Ejemplos: al estudiar la contaminación del agua se mida la concentración de varios contaminantes presentes en ella, al estudiar la dureza y la resistencia a la tensión de una pieza manufacturada de acero, al estudiar la relación entre fumar y cáncer, el estudio del grado de ansiedad de un grupo de embarazadas y la sensación de dolor en el parto, etc, etc.
En una investigación realizada en 1982 (GABRIEL, 1982) se estudió el consumo de proteínas en los distintos países Europeos. Para esto se recogió en una tabla de datos (matriz) el consumo de proteínas per cápita en los 26 países Europeos y se midieron nueve fuentes de proteínas (variables) que fueron:
X 1 =Vacuno; X 2 =Pescados; X 3 =Cerdo-pollo; X 4 =Huevos; X 5 =Féculas
X 6 =Leche; X 7 =Cereales; X 8 =Frutos secos; X 9 =Frutas y verduras.
Sea S un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y sean X=X(s) e Y=Y(s) dos funciones que asignan un número Real a cada resultado s de S. Se llamará a (X, Y) variable aleatoria bidimensional.
Si X 1 = X 1 (s), X 2 = X 2 (s),…………, Xn = Xn (s), son n funciones cada una de las cuales asigna un número Real a cada resultado s𝜖S, se llamará a (X 1 , X 2 , …., Xn) variable aleatoria n-dimensional.
(X, Y) es una variable aleatoria bidimensional discreta si los valores posibles de (X, Y) se pueden representar como: (xi, yj), con i=1,2, ..,n; j=1,2, …,m.
Con cada resultado posible (xi, yj) se asocia un número p(xi, yj), que representa la P(X=xi, Y= yj), que satisface las siguientes condiciones:
1.- p(xi, yj)≥
2.-∑^ ∞𝑗=1∑^ ∞𝑖=1𝑝(𝑥𝑖, 𝑦𝑗) = 1
Ejemplo: En el lanzamiento de dos dados, podemos considerar las variables:
Y 1 = Número de puntos que muestra el dado uno. Y 2 = Número de puntos que muestra el dado dos.
P(Y 1 =yi, Y 2 = y 2 )= 1/
(X, Y) es una variable aleatoria bidimensional continua si (X, Y) puede tomar todos los valores en una región del plano. La función de densidad de probabilidad conjunta f es una función que satisface las siguientes condiciones:
1.-f(x,y)≥ 0
2.-∬−∞ ∞ f(x, y)dxdy= 1
Ejemplo: Verificar que la siguiente función en una densidad:
Definición: La Función de Distribución Acumulada F de la variable aleatoria bidimensional (X, Y) está definida por:
F(x, y) = P(X≤x, Y≤y);
Para el caso continuo:
𝐹(𝑥; 𝑦) = ∫ ∫ f(x, y)dydx
𝑦
−∞
𝑥 −∞
Ejemplo: Una partícula radiactiva se localiza aleatoriamente en un cuadrado con lados de longitud unitaria. Denote Y 1 e Y 2 las coordenadas de la ubicación de la partícula. La función de densidad conjunta de estas dos variables es:
𝑓(𝑦 1 , 𝑦 2 ) = {^1 𝑠𝑖^ 0 < 𝑦^1 < 1;^ 0 < 𝑦^2 < 1 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Calcular i) F(0.2, 0.4); ii) P( 0.1 < y 1 < 0.3 ; 0< y 2 < 0.5)
Ejemplo: Una variable aleatoria tiene la siguiente función de densidad:
Calcular: a)P(Y 1 > 0,5); b)P(Y 1 < 0,5; Y 2 < 0,5)
En el caso discreto, la distribución marginal de probabilidades de X es:
∞
𝑗=
Y la distribución marginal de probabilidades de Y es:
∞
𝑖=
En el caso continuo: sea f la función de densidad de probabilidad conjunta de la variable aleatoria bidimensional (X, Y). Se definen g y h l as funciones de densidad de probabilidades marginales de X e Y así:
g(x) = ∫ f(x, y)dy; h(y) = ∫ f(x, y)dx
∞
−∞
∞
−∞
Ejemplo: Sea
f(x, y) = {2𝑥^ si^ 0 en otro caso0 ≤ 𝑥 ≤ 1¸ 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
Hallar las densidades marginal para X y Para Y.
Caso discreto:
p(xi ⁄y^ j)=
p(xi, yj) q(yj)
si q(yj) > 0
𝑥 𝑦
Si X e Y son variables aleatoria continuas con función de densidad conjunta f(x,y) entonces:
𝑥,𝑦
Casos particulares:
𝑥,𝑦
𝑥,𝑦
Ejemplo: Si la densidad conjunta de X e Y esta dada por:
f(x, y) = {2𝑥^ si^ 0 en otro caso0 ≤ 𝑥 ≤ 1¸ 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
Calcular E(X), E(Y), E(XY).
Observación: De la definición se tiene que:
∞
−∞
∞
−∞ =∫−∞ ∞ 𝑥(∫−∞ ∞ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦) 𝑑𝑥 = ∫−∞ ∞ 𝑥𝑔(𝑥)𝑑𝑥
Entonces: 𝐸(𝑋) = ∫−∞ ∞ 𝑥𝑔(𝑥)𝑑𝑥
Donde g(x) es la respectiva densidad marginal.
Observación: 𝐸(𝑌) = ∫−∞ ∞ 𝑦ℎ(𝑦)𝑑𝑦
Donde h(y) es la respectiva densidad marginal.
Ejemplo: Si la densidad conjunta de X e Y esta dada por:
f(x, y) = {2𝑥^ si^ 0 en otro caso0 ≤ 𝑥 ≤ 1¸ 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
Calcular Var(X).
Teorema:
1.-Si c es una constante, E ( c ) =c.
2.-Si g(X, Y) es una función de las variables aleatorias X e Y, entonces y c es una constante, entonces:
E(c g(X, Y)) = c E(g(X, Y))
3.-Si X e Y son variables aleatorias y g 1 (X,Y); g 2 (X,Y);……………..; gk (X,Y); son funciones de X e Y; entonces:
E(g 1 (X,Y)+ g 2 (X,Y)+……………..+gk (X,Y)) = E(g 1 (X,Y))+E(g 2 (X,Y))+…..+E(gk (X,Y))
(propiedad de linealidad).
f(x, y) = {2𝑥^ si^ 0 en otro caso0 ≤ 𝑥 ≤ 1¸ 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
Calcular Cov(X, Y). Interpretar.
Ejemplo: En un estudio sobre MYTILÍCOLA INTESTINALIS (copépodo parásito del mejillón) se determinó que la función de densidad de probabilidad conjunta de las variables X=Longitud del cuerpo; e Y=Anchura del cuerpo es:
f(x, y) = {2(1 − 𝑥)^ si0 en otro caso^ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1¸ 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
Hallar el coeficiente de correlación para X e Y. Interpretar.
1.-Supongase que la variable aleatoria bidimensional (X, Y) tiene una densidad conjunta:
f(x, y) = {kx(x − y)^ 0 en otro caso0 < 𝑥 < 2¸ − 𝑥 < 𝑦 < 𝑥
a)Hallar k, b)Encontrar las densidades marginales de X y de Y.
2.-Supongase que la variable aleatoria bidimensional (X, Y) tiene una densidad conjunta:
f(x, y) = {x^2 +
xy 3 0 < 𝑥 < 1¸ 0 < 𝑦 < 2 0 en otro caso
Calcular; a)P(X> ½); b) Cov(X, Y).
3.- Para qué valores de k es f(x,y)= ke-x+y^ una densidad de probabilidad conjunta de (X, Y) en la región 0<x<1, 0<y<1.
4.-Si la densidad de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias está dada por:
f(x, y) = {6e−2x−3y0 en otro caso^ x > 0¸ 𝑦 > 0
Calcular la probabilidad de que; a)la primera variable tome un valor entre 1 y 2 y que la segunda variable tome un valor entre dos y tres. B) la primera un valor menor que 2 y la segunda un valor mayor que 2.
5.-Encontrar la función de distribución conjunta de las variables del ejercicio anterior y utilizarla para calcular la probabilidad de que ambas variables aleatorias tomen valores menores que 1.
6.-Con respecto al problema 4, estudiar si las dos variables son independientes.
7.- Si la densidad de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias está dada por:
f(x, y) = {
2 3 (x + 2y) o < 𝑥 < 1¸ 0 < 𝑦 < 1 0 en otro caso
Calcular la covarianza de X, Y.
8.- En una fiesta, el 20% de las asistentes son venezolanas, el 30% francesas, el 40% italianas y el 10% españolas. En un pequeño grupo se han reunido 4 invitados: ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean venezolanas y 2 italianas?
9.-Sean X e Y las desviaciones vertical y horizontal (sobre un plano), respectivamente, de un vehículo espacial tripulado con respecto al punto de alunizaje de este en el mar de la Tranquilidad. Supóngase que X e Y son dos variables aleatorias, independientes, con una distribución normal bivariada y medias 𝜇𝑋 = 𝜇𝑌 = 0 y varianzas iguales. ¿Cuál es la máxima desviación estándar permisible de X e Y, que cumplirá con el requisito de la NASA de tener una probabilidad de 0.99, de que el vehículo alunice a no más de 500 pies del punto elegido, tanto en dirección vertical como horizontal?
10.- Si la densidad de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias está dada por:
f(x, y) = {4xy 0 ≤ 𝑥 ≤ 1¸ 0 ≤ 𝑦 ≤ 10 en otro caso
Demostrar que X e Y son independientes.
11.- Si la densidad de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias está dada por:
f(x, y) = {^2 0 < 𝑦 < 𝑥¸0 en otro caso^ 0 < 𝑥 < 1
Demostrar que X e Y son dependientes.
12.-Un equipo consta de dos componentes X e Y colocados en serie. La duración de dichos componentes (tiempo hasta que fallan) son variables aleatorias independientes y siguen una distribución exponencial con media de 100 meses para X y de 80 meses para Y. ¡cuál es la probabilidad de que el tiempo de vida del equipo sea inferior a 100 meses?
13.- Si la densidad conjunta de X e Y está dada por:
f(x, y) = {3𝑥^ si0 en otro caso^ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 1
Calcular Cov(X, Y), y el coeficiente de correlación. Interpretar.