Resistencia de Materiales: Un enfoque práctico con ejercicios resueltos, Ejercicios de Elasticidad y Resistencia de materiales

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RESISTENCIA DE

MATERIALES

______________________________________________

Dr. Genner Villarreal Castro

PREMIO NACIONAL ANR 2006, 2007, 2008

Lima – Perú

PROLOGO

La Resistencia de Materiales, es una ciencia sobre los métodos de cálculo a la resistencia, la

rigidez y la estabilidad de los elementos estructurales. Se entiende por resistencia a la capacidad de

oponerse a la rotura, rigidez a la capacidad de oponerse a la deformación y estabilidad a la capacidad de

mantener su condición original de equilibrio.

Por lo general, los textos base de Resistencia de Materiales, son muy voluminosos y,

principalmente, se centran en la descripción teórica, lo cual dificulta el proceso de aprendizaje a través

de trabajos domiciliarios e investigación, conducentes a un mejor dominio de la materia.

El presente libro nació, después de comprobar las grandes dificultades mostradas por los alumnos

en la realización de sus trabajos domiciliarios.

Es por ello, que tomé el reto de escribir un libro, que haga más didáctico el proceso de estudio

individual, describiendo, para ello, la teoría en forma sucinta, seria y con el rigor científico, resolviendo en

forma detallada 155 problemas tipo, propiciando de manera más amena la convivencia con la

Resistencia de Materiales.

En el presente libro, se tratan temas que en la mayoría de programas de las universidades se

analizan y que son muy importantes en la formación profesional de los ingenieros civiles.

Como base se tomó la experiencia adquirida en el dictado de los cursos de Mecánica de

Materiales en la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas y Resistencia de Materiales en la

Universidad de San Martín de Porres y Universidad Privada Antenor Orrego.

En mi modesta opinión, el presente libro es único en su género, tanto en la forma de su

descripción teórica, como en la forma de resolución de problemas; así como en su contenido, que no es

una repetición de otros textos, editados anteriormente.

El presente libro consta de 10 capítulos y bibliografía.

En el primer capítulo se analizan estructuras determinadas e indeterminadas, sometidas a tracción

y compresión, efectos de temperatura y errores de fabricación o montaje estructural.

En el segundo capítulo se estudian los esfuerzos en los estados lineal, plano y espacial; así como

la aplicación de la Ley de Hooke generalizada y las teorías o criterios de resistencia como forma de

comprobación de destrucción de los materiales.

En el tercer capítulo se analiza el efecto de torsión para estructuras determinadas e

indeterminadas de sección circular y no circular; así como resortes helicoidales de paso pequeño.

En el cuarto capítulo se analiza la flexión de vigas determinadas, calculando los esfuerzos normal

y tangencial para vigas de uno y dos materiales, como es el caso de vigas de madera reforzadas con

planchas de acero y vigas de concreto armado.

En el quinto capítulo se calcula la pendiente y deflexión para vigas determinadas e indeterminadas

por el método de la doble integración, método de los parámetros iniciales, método del área de momentos

y método de la viga conjugada.

En el sexto capítulo se estudian los métodos energéticos del trabajo virtual y teoremas de

Castigliano, resolviendo armaduras, vigas, pórticos y arcos.

En el sétimo capítulo se resuelven estructuras indeterminadas por la ecuación de los tres

momentos para vigas continuas y método de las fuerzas para vigas continuas, pórticos y armaduras.

CAPITULO 1

TRACCION Y COMPRESION

1.1 DEFINICIONES Y DEPENDENCIAS PRINCIPALES

En la figura 1.1 se muestra un caso sencillo de tracción y en la figura 1.2 el caso de compresión. En

tracción y compresión, las fuerzas internas son elásticas y surgen en las secciones transversales de

las barras. Las fuerzas internas son conocidas como fuerzas axiales o normales y se los denota por

Nx o N.

Fig. 1.

Fig. 1.

La fuerza axial Nxse determina por medio del método de las secciones, por la cual numéricamente

es igual a la suma algebraica de las proyecciones sobre el eje longitudinal (OX) de las fuerzas

externas, ubicadas a un lado del corte (figura 1.3). Se considera que las fuerzas axiales son positivas

en tracción y negativas en compresión.

Fig. 1.

En las secciones transversales de las barras cargadas en tracción o compresión, solo surgen

esfuerzos normales , los cuales se determinan por la fórmula 1.1.

A

Nx   (1.1)

Donde:

A - área de la sección transversal de la barra

Los signos para los esfuerzos normales son los mismos que para Nxy las unidades de medida son

2 kgf/ cm ,

2 lb/p lg o

2 N/ m.

Al alargamiento relativo en tracción (o acortamiento relativo en compresión) de la barra, se le conoce

como deformación longitudinal y se determina por la fórmula 1.2.

L

Donde:

(L 1 L) - alargamiento o acortamiento absoluto de la barra

L - longitud inicial de la barra

L 1 - longitud final de la barra

A la deformación relativa de las dimensiones transversales de la barra, se le conoce como

deformación transversal y se determina por la fórmula 1.3.

a

' a 1 a   (1.3)

Donde:

a - ancho inicial de la barra

a 1 - ancho final de la barra

En tracción se considera que > 0 , en consecuencia

' < 0 y en compresión sucede lo opuesto.

A las magnitudes y

'  también se les conoce como deformaciones lineales.

La condición de resistencia es:

    A

Nmáx máx^ (1.12)

Donde:

máx - esfuerzo normal máximo en la sección más peligrosa

Nmáx - fuerza axial máxima en la sección más peligrosa

A - área de la sección transversal más peligrosa

 ^ - esfuerzo normal permisible o admisible

Cuando se trata de barras escalonadas, se recomienda analizar cada tramo, ya que el esfuerzo

normal máximo puede surgir donde la fuerza axial no es máxima, pero el área la menor.

Para determinar la fuerza axial permisible  No el área mínima requerida Amin, se obtienen

despejando dichos valores de la fórmula 1.12.

1.2 ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS

PROBLEMA 1.1 Una varilla de acero de 100cm de longitud y 5mm de diámetro está sometida a

tracción y se mide que su alargamiento es 0,3mm y el incremento de volumen

3 V  2 , 28 mm.

Determinar el coeficiente de Poisson .

Solución:

Se sabe que para barras prismáticas se cumple:

EA

PL

EA

Nx L  

Donde:

P - carga de tracción a la que está sometida la varilla

Reemplazamos valores y obtenemos:

3

2 6

E.

P. 1 



De donde:

9 5 , 89. 10 E

P 

Luego, aplicamos la fórmula de variación de volumen:

E

V Vo  

Donde:

Vo - volumen inicial

Reemplazamos valores:

EA

P

2 , 28. 10 A.L.

9   



9 9   

 

De donde:

PROBLEMA 1.2 Se diseñará un tirante de acero para resistir una fuerza de tracción de 50 toneladas,

siendo la longitud del tirante 50 metros y la sección transversal rectangular con proporción de lados

en relación 2/3. Considerar que el esfuerzo de fluencia del acero es

2 y  4200 kgf/cm , el factor

de seguridad n  2 , el módulo de elasticidad

6 2 E  2 , 1. 10 kgf/cm y el coeficiente de Poisson

 0 , 25. Determinar las deformaciones longitudinal y transversal.

Solución:

Esquematizamos al tirante sometido a la fuerza de tracción y su sección transversal.

Fig. 1.

Se sabe que:

 

y (^2) 2100 kgf/cm 2

n

Como, por condición de resistencia se debe de cumplir que:

 

6 a

2

3



De donde.

a  1 , 99 cm

Asumimos:

a  2 cm

En consecuencia, la sección transversal será:

Fig. 1.

Solución:

Calculamos los pesos de cada parte de la estructura, conocido como metrado de cargas. En este

caso se trata de la carga muerta, es decir, el peso propio de la estructura.

Pcimiento c.Acimiento.hcimiento 2300. 0 , 5. 4. 0 , 8  3680 kgf

Psobrecimie (^) nto  2300. 0 , 5. 4. 0 , 25  1150 kgf

P 1800. 0 , 25 .( 4. 2 .r ) 450 .( 8 .r )kgf

2 2 muro    

Pviga  2400. 0 , 25. 0 , 35. 4  840 kgf

Sumamos todos los pesos y obtenemos:

3680 1150 450 .( 8 .r ) 840 9142

2     

r  0 , 3 m

Ahora, calculamos la capacidad portante del terreno, que viene a ser la resistencia mínima del suelo:

2 2

contacto

a 4571 kgf/m^0 ,^457 kgf/cm

4. 0 , 5

A

P

q     (SUELO FLEXIBLE)

PROBLEMA 1.4 Graficar los diagramas de fuerza axial o normal, esfuerzo normal y determinar el

acortamiento de la barra mostrada, siE 2. 10 MPa

5  y

2 A  2 cm.

Fig. 1.

Solución:

Fig. 1.

Previamente graficamos el diagrama de fuerza axial o normal y determinamos los esfuerzos para

cada tramo de la barra.

100 MPa

2. 10

A

N

4

3

AB

AB  (^) AB    

50 MPa

2. 10

A

N

4

3

BC

BC  (^) BC    

50 MPa

2. 10

A

N

4

3

CD

CD  (^) CD    

Luego, calculamos el acortamiento de la barra como una sumatoria, ya que las fuerzas axiales varían

a lo largo de la misma.







   

i 3

i 1

4 11 4

3

11 4

3

5 6 4

3 i i 1 , 5. 10 m 0 , 15 mm

2. 10. 2. 10

EA

NL

El signo (-) corrobora que se trata de un acortamiento total de la barra.

PROBLEMA 1.5 Graficar los diagramas de fuerza axial o normal, esfuerzo normal y determinar el

alargamiento total. ConsiderarE 0 , 7. 10 MPa

5 (^) al  ,E 10 MPa

5 (^) c  ,E 2. 10 MPa

5 (^) a .

Fig. 1.

Solución:

Graficamos el diagrama de fuerza axial o normal y determinamos los esfuerzos en cada parte de la

barra escalonada, por ser de áreas diferentes.

100 MPa 10

4

3

 (^) al   

100 MPa

3. 10

4

3

 (^) c   

Ahora calculamos el alargamiento, para ello, utilizamos la ley de senos para determinar la longitud

del cable AB.

0 0

AB

sen 70

sen 65

L

  LAB  1 , 929 m

Luego:

0 , 148 cm

2. 10. 5

6

3

AB  

Fig. 1.

Posteriormente, graficamos el diagrama de fuerza axial o normal en la viga CD.

N 1 .cos 65 0 , 422 T

0 DB

N 1 .cos 65 7 , 69 .cos 45 5 , 86 T

0 0 BE   

N 1 .cos 65 7 , 69 .cos 45 6 .cos 65 8 , 396 T

0 0 0 EC    

Fig. 1.

PROBLEMA 1.7 La figura muestra un cartel publicitario rectangular de espesor constante, cuyo peso

específico es ""y volumen "V". Dicho cartel está sostenido por tres cables (1), (2) y (3) que

tienen la misma área de sección transversal "A" y son del mismo material con módulo de

elasticidad "E".

De las siguientes afirmaciones, diga cuales son verdaderas y justifique su respuesta:

a) El módulo de tracción en el cable (1) es 3

V

b) El módulo de tracción en el cable (3) es 3 (cos sen cos sen )

2 V cos

c) La deformación longitudinal en el cable (1) es

6 EA

V Ltg

Fig. 1.

Solución:

Efectuamos un corte y analizamos su equilibrio:

Fig. 1.

a)  MD 0  0 4

L

V

3 L

P 1 

V

P 1

 (VERDADERO)

Solución:

A una distancia xdel extremo libre, se tendrá:

Fig. 1.

x 2 200

x bx 2 2 m (^22)   

Siendo:

x

m   200

x m 

Luego, su área de sección transversal será:

  0 , 8 0 , 004 x 250

x

. 0 , 4 0 , 8 100

x A (^) x bxt (^2)      

De esta manera, el alargamiento se obtendrá como una integración:

 

L

0

200

0

6

3

x

x 0 , 0866 cm 0 , 866 mm 8

ln 2

2. 10 ( 0 , 8 0 , 004 x)

10 dx

EA

Ndx

PROBLEMA 1.9 Determinar el desplazamiento del nudo D, si los módulos de elasticidad del acero y

cobre son

6 2 E (^) a  2. 10 kgf/cm ,

6 2 E (^) c  10 kgf/cm.

Fig. 1.

Solución:

Por ser la estructura simétrica, las reacciones en B y C son iguales a 1T.

Analizamos el equilibrio del nudo B de la estructura:

Fig. 1.

 FY^0  P^ sen^651

0 1 

De donde:

P 1  1 , 103 T (COMPRESION)

Ahora, analizamos el diagrama de desplazamientos, sin considerar la barra AD.

Fig. 1.

0 , 0413 cm

10. 4

E A

PL

6

3

c 1

1 1 1 

   (ACORTAMIENTO)

De la relación de triángulos, se tendrá:

1

0 A cos 25 

 (^) A 0 , 0455 cm

Luego:

      0 , 1255 cm 0 , 126 cm

2. 10. 2

6

3 2

D A 2

PROBLEMA 1.10 Una barra uniforme AB de longitud “L” se suspende en una posición horizontal,

mediante dos cables verticales fijos a sus extremos. Ambos cables están hechos del mismo material

y tienen la misma área de sección transversal, pero las longitudes son L 1 y L 2. Obtenga una fórmula

para la distancia “x” (desde el extremo A) al punto sobre la barra donde debe de aplicarse una carga

“P”, para que la barra permanezca horizontal.

PROBLEMA 1.11 Determinar los desplazamientos horizontal y vertical del nudo B del sistema

estructural mostrado en la figura, debido a la fuerza P  400 lb, si el miembro AB es una cable de

acero (E 30. 10 psi)

6 (^) a  de 0,125plg de diámetro y el miembro BC es un puntal de madera

(E 1 , 5. 10 psi)

6 m ^ de sección transversal cuadrada de 1plg de lado.

Fig. 1.

Solución:

Analizamos el equilibrio del nudo B.

Fig. 1.

 Fy^0  P^ sen^53400

o bc 

Pbc  500 lb (COMPRESION)

 Fx^0 

o Pab  500 cos 53

Pab  300 lb (TRACCION)

En consecuencia:

0 , 0293 plg

. 0 , 125 4

E A

P L

ab ab^62

ab ab ab  

   (ALARGAMIENTO)

0 , 02 plg 1 , 5. 10. 1

E A

P L

6 2 bc bc

bc bc bc    (ACORTAMIENTO)

Por lo tanto, el diagrama de desplazamiento del nudo B será:

Fig. 1.

 ab 0 , 0293 plg

B H

   0 , 0470 plg 4 / 3

ctg 37

cos 53 sen 53 o

ab

o o bc bc

B V

PROBLEMA 1.12 Dos barras AC y BC del mismo material se unen para formar un sistema

estructural, como se muestra en la figura. La barra AC tiene una longitud L 1 y área de sección

transversal A 1 ; la barra BC tiene una longitud L 2 y área de sección transversal A 2. Las cargas P 1 y P 2

actúan en el nudo C en las direcciones de los miembros AC y BC, respectivamente. ¿Cuál debe ser

la relación P 1 /P 2 de las cargas para que el nudo C no presente deflexión vertical?

Fig. 1.

Solución:

Si analizamos el equilibrio del nudo C obtenemos:

Pac P 1 (TRACCION)