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CHOTA
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Agroindustrial
Matemática V
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Ejercicios Resueltos
Libro Richard Burden 7°Edición
Docente:
MSc. Javier Rubén
Sabino Norabuena
CHOTA
MARZO - 2021
CICLO
V
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Resolución del Ejercicios del libro Richard L. burden-J.Douglas Faires, Exámenes de Matemáticas
Resolución de ejercicios del libro Richard L. burden-J.Douglas Faires
Tipo: Exámenes
2020/2021
1 / 282
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Métodos Numéricos
Ejercicios Resueltos
Libro Richard Burden 7°Edición
Docente:
MSc. Javier Rubén
Sabino Norabuena
CHOTA
MARZO - 2021
CICLO
V
Iteración 3:
3
2
3
2
3
3
3
3
3
3. Aplique el método de bisección para encontrar las soluciones exactas dentro de 10 - 2
para x
3
- 7x
2
+14x - 6 = 0.
a) [0,1]
x
3
- 7x
2
+14x - 6 = 0 con exactitud 10
- 2
Debemos encontrar el entero n que satisfaga la inecuación
𝑛
− 2
Del enunciado del problema, tenemos a=0 y b=1, luego
𝑛
−𝑛
− 2
Aplicamos logaritmo en base 10 a esta última desigualdad
log 2
−𝑛
< log 10
− 2
Despejando n, obtenemos
Por lo tanto, se necesitan como mínimo 7 iteraciones para lograr una aproximación exacta de
tolerancia 10
- 2
Intervalo [0,1], donde se define f, se tiene f (0) = - 6 < 0 y f (1) = 2 > 0
Iteración 1:
a 1
= a = 0 → f(a 1
) = f(a) = f(0) = - 6
b 1
= b = 1 → f(b 1
) = f(b) = f(1) = 2 ✓
x 1
𝑎
1 +𝑏
1
2
0 + 1
2
= 0.5 → f(x 1
) = f(0.5) = - 0.625 ✓
a 2
x 2
b 2
a 1
x 1
b 1
Iteración 2:
- ERROR = |x 2 - x 1
Iteración 3:
- ERROR = |x 3 - x 2
Iteración 4:
- ERROR = |x 4 - x 3
Iteración 5:
- ERROR = |x 5 - x 4
Iteración 6:
- ERROR = |x 6 - x 5
a 2
= x 1
= 0.5 → f(a 2
) = f(x 1
) = f(0.5) = - 0.625 ✓
b 2
= b 1
= 1 → f(b 2
) = f(b 1
) = f(1) = 2
x 2
𝑎 2 +𝑏
2
2
- 5 + 1
2
= 0.75→ f(x 2
) = f(0.75) = 0.98437 5 ✓
a 3
= a 2
= 0.5 → f(a 3
) = f(a 2
) = f(0.5) = - 0.625 ✓
b 3
= x 2
= 0.75 → f(b 3
) = f(x 2
) = f(0.75) = 0.
x 3
𝑎
3 +𝑏 3
2
- 5 + 0. 75
2
= 0.625→ f(x 3
) = f(0.625) = 0.2597656 ✓
a 2
x 2
b 2
a 3
x 3
b 3
a 4
= a 3
= 0.5 → f(a 4
) = f(a 3
) = f(0.5) = - 0. 625
b 4
= x 3
= 0.625 → f(b 4
) = f(x 3
) = f(0.625) = 0.
x 4
𝑎
4 +𝑏
3
2
- 5 + 0. 625
2
= 0.5625→ f(x 4
) = f(0.5625) = - 0.1618652 ✓
a 3
x 3
b 3
a 4
x 4
b 4
a 5
= x 4
= 0.5625 → f(a 5
) = f(x 4
) = f(0.5625) = - 0.1618652✓
b 5
= b 4
= 0.625 → f(b 5
) = f(b 4
) = f(0.625) = 0.
x 5
𝑎
5 +𝑏
5
2
- 5625 + 0. 625
2
= 0.59375→ f(x 5
) = f(0.59375) =
a 4
x 4
b 4
a 5
x 5
b 5
a 6
= a 5
= 0.5625 → f(a 6
) = f(a 5
) = f(0.5625) = - 0.
b 6
= x 5
= 0.59375 → f(b 6
) = f(x 6
) = f(0.625) = 0.0540466✓
x 6
𝑎
5 +𝑏
5
2
- 5625 + 0. 59375
2
=0.578125→ f(x 6
) =f(0.59375) =
a 5
x 5
b 5
a 6
x 6
b 6
Paso2 Aproximación
Paso3 f(Xi)f(Xa)*
3
2
3
2
Tabla de iteración
Se realizaron 10 iteraciones donde se halló la respuesta con una exactitud de
- 2
obteniendo el valor de “𝑋𝑎 = 3. 00 , siendo estas las solución exacta.
20.a. Demuestre que si A es un numero positivo, entonces la sucesión definida por medio
de
1
1
−
−
n
n n
x
A
x x , para n 1.
c. [ ,2- 4]
- Iteración 1
1
(𝑎 1
)
1
(𝑏 1
)
1
3 , 2 + 4
3 , 2
(𝑥
1
)
n X
a
X
b
X
m
f(a) f(b) f(m) error
0 1 3.2 2.1 2 -0.112 1.791 1.
1 2.1 3.2 2.65 1.791 -0.112 0.552125 0.
2 2.65 3.2 2.925 0.552125 -0.112 0.0858281 0.
3 2.925 3.2 3.0625 0.0858281 -0.112 -0.054443 0.
4 2.925 3.0625 2.99375 0.0858281 -0.054443 0.0063279 0.
5 2.99375 3.0625 3.028125 0.0063279 -0.054443 -0.026521 0.
6 2.99375 3.028125 3.0109375 0.0063279 -0.026521 -0.010697 2.69E-
7 2.99375 3.0109375 3.0023438 0.0063279 -0.010697 -0.002333 6.71E-
8 2.99375 3.0023438 2.9980469 0.0063279 -0.002333 0.0019607 1.68E-
9 2.9980469 3.0023438 3.0001953 0.0019607 -0.002333 -1.95E-04 4.20E-
10 2.9980469 3.0001953 3.00E+00 0.0019607 -1.95E-04 8.80E-04 1.05E-
- Iteración 2
2
1
(𝑎 2
)
2
(𝑏
2
)
2
(𝑥
2
)
- Iteración 3
3
2
(𝑎
3
)
3
2
(𝑏
3
)
3
(𝑥 3
)
- Iteración 4
4
3
(𝑎
4
)
4
3
(𝑏
4
)
4
(𝑥 3
)
- Iteración 5
5
4
(𝑎
5
)
5
4
( 5 )
5
(𝑥 5
)
- Iteración 6
6
5
(𝑎 6
)
6
5
(𝑏 6
)
Iteración 2
𝟐 =
− 1. 5 +(− 1 )
2
= - 1. 25
𝟐
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐
Iteración 3
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
− 1. 5 +
(
- 25
)
2
𝟒
𝟑
𝟐
Iteración 4
− 1. 5 +(− 1. 375 )
2
𝟒
𝟑
𝟐
Iteración 5
𝟓
𝟒
𝟓
𝟒
𝟓
𝟓
𝟓
− 1. 4375 +(− 1. 375 )
2
Iteración 6
− 1. 4375 +( − 1. 40625 )
2
𝟔
Iteración 7
𝟕
𝟔
𝟕
𝟔
𝟕
− 1. 421875 +( − 1. 40625
2
𝟕
b. [ 𝟎 ; 𝟐 ]
Iteración 1
4
3
2
x
1
0 + 2
2
1
4
3
2
1
Iteración 2
2
1
2
2
3
1 + 2
2
Iteración 3
3
2
3
2
3
3
3
1 + 1. 5
2
c.- [ 𝟐 ; 𝟑 ]
❖ Número de iteraciones
b − a
𝑛
𝑛
− 2
1
2
𝑛
− 2
−𝑛
2
log( 2
−n
) < log( 10
2
- Iteración 1
1
(𝑎
1
)
1
(𝑏
1
)
1
2 + 3
2
(𝑥 1
)
- Iteración 2
2
1
(𝑎
2
)
2
(𝑏 2
)
2
(𝑥
2
)
- Iteración 3
3
2
(𝑎
3
)
3
2
(𝑏
3
)
3
(𝑥
3
)
- Iteración 4
4
3
(𝑎
4
)
4
3
(𝑏
4
)
4
(𝑥
3
)
- Iteración 5
5
4
(𝑎
5
)
5
4
( 5 )
5
(𝑥 5
)
- Iteración 6
6
5
(𝑎 6
)
6
5
(𝑏 6
)
6
(𝑥
5
)
- Iteración 7
7
6
(𝑎 7
)
7
6
(𝑏
7
)
7
(𝑥
7
)
7
6
− 2
Iteración 4.
4
3
4
4
3
4
4
1
1
4
Iteración 5.
5
4
5
5
4
5
5
5
Iteración 6.
6
5
6
6
5
6
6
6
Iteración 7.
7
6
7
7
6
7
7
7
Iteración 8.
8
7
8
8
7
8
8
8
Iteración 9.
9
8
9
9
8
9
9
9
Iteración 10.
10
9
10
10
9
10
10
10
7. Aplique el método de bisección para encontrar soluciones exactas dentro de 10-5 para
el siguiente problema.
b. 𝒆
𝒙
𝟐
Consideramos el intervalo
[
]
[
]
donde se encuentra la raíz , empleamos el método
de bisección dado que f(a) =-1, f(b)= 2.71828, por ende, f(a)*f(b) 0
1
1
- 5
Interacción 1
1
1
0
2
1
𝑎 1
+𝑏 1
2
0 + 1
2
1
1
1
2
1 )
- 5
2
Interacción 2
2
1 =
2
2
𝑎
2
+𝑏
2
2
2
1
2
2
𝒂
𝟏
𝒃
𝟏
𝒙
𝟏
𝒂
𝟐
𝒂
𝟏 𝒃
𝟏
𝒙
𝟏
𝒙
𝟐
𝒃
𝟐
Interacción 9
9
8
= 0. 253907 ⇒ f(𝑎
9
9
𝑎
9
+𝑏
9
2
9
8
= 0. 257813 ⇒ f
9
9
Interacción 10
10
9
= 0. 255892 ⇒ f
10
10
𝑎
10
+𝑏
10
2
10
9
= 0. 257813 ⇒ f(𝑏
10
10
Interacción 11
11
10
11
10
𝑎
10
+𝑏
10
2
11
10
= 0. 257813 ⇒ f
11
11
Interacción 12
12
11
= 0. 257333 ⇒ f(𝑎
12
12
𝑎
12
+𝑏
12
2
12
11
= 0. 257813 ⇒ f(𝑏
12
12
Interacción 13
13
12
= 0. 257333 ⇒ f(𝑎
13
13
𝑎
13
+𝑏
13
2
13
12
= 0. 2575735 ⇒ f
13
13
Interacción 14
14
13
= 0. 257333 ⇒ f
14
14
𝑎
14
+𝑏
14
2
14
13
= 0. 2575736 ⇒ f(𝑏
14
14
Interacción 15
15
14
= 0. 257513 ⇒ f
15
15
𝑎
15
+𝑏
15
2
15
14
= 0. 2575736 ⇒ f(𝑏
15
15
Interacción 16
16
15
= 0. 257513 ⇒ f(𝑎
16
16
𝑎
16
+𝑏
16
2
16
15
= 0. 2575436 ⇒ f
16
16
Interacción 17
17
16
= 0. 257528 ⇒ f(𝑎
17
17
𝑎
17
+𝑏
17
2
17
16
= 0. 257543 ⇒ f
17
17
𝟏𝟕
𝟏𝟔
𝟏𝟕
−𝟓
- 5
= 0.00001 error en ( 𝒙
𝟏𝟔
) = 0.00002; error en ( 𝒙
𝟏𝟕
d. x cosx-2x
2
+3x-1=0 Para 0,2 ≤ x ≤ 0,3 Para 1,2 ≤ x ≤ x 1,
Debemos encontrar el entero (n) que satisfaga la inecuación.
b – a
Del enunciado del problema, tenemos
Por lo tanto, se necesitan como mínimo 13 interacciones para lograr una aproximación exacta
de la tolerancia.
n
- 5
a = 0,2 y b =
n
- 5
n
- 5
Log 0,
n
Log < 10
- 5
n = 13, 287712