Resumen de conjuntos ingreso matematica, Apuntes de Matemáticas

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ANEXO TEÓRICO

U.2.

CONJUNTOS

INTRODUCCIÓN

EL LENGUAJE CONJUNTISTA

En la unidad anterior hemos hecho incapié en la necesidad de familiarizarte con el lenguaje simbólico. Nos ahorra espacio y tiempo, y nos permite organizar y visualizar mejor los procedimientos y modelos. El lenguaje matemático toma sus símbolos de la lógica y de la teoría de conjuntos. No es nuestra intención convertir esta unidad en un tratado teórico que profundice conceptualmente el tema. Pretendemos brindarte las herramientas necesarias para decodificar el lenguaje usual en los futuros cursos de matemática, facilitar la comprensión de los distintos textos y de las clases de tus docentes, y también, iniciarte en el camino de la abstracción.

I. ¿QUÉ ES UN CONJUNTO?

En matemática, el conjunto es uno de esos elementos básicos que “se aceptan” sin definición. Sin embargo, aprovecharemos su proximidad al sentido coloquial del término para llegar intuitivamente al concepto. Un conjunto es, “coloquialmente”, una agrupación de elementos. Esos elementos pueden o no estar relacionados entre sí, cumplir o no con determinada condición, ser pocos, muchos o infinitos. En ocaciones pueden ordenarse bajo cierto criterio: por orden alfabético, de mayor a menor, etc. , lo cual no indica que otro orden altere su condición. Por ejemplo, el conjunto de vocales sigue siendo el mismo ya sea que se las nombre: a, e , i , o y u , o bien u, e, o, i, a. Las vocales siguen siendo las mismas, el conjunto también. En el caso de los conjuntos numéricos definidos en el apéndice de la unidad anterior, los naturales y los enteros se ordenaron para facilitar su interpretación y generar un ley de formación que nos “ahorra” tener que escribirlos todos (lo cual es además imposible), pero, seguirán siendo los naturales y los enteros respectivamente, aunque los escribamos “mezclados”.

II. NOTACIÓN

Así como las proposiciones pueden identificarse con letras minúsculas, los conjuntos se identifican con mayúsculas. A su vez, para indicar cuáles son sus elementos, estos se escriben entre llaves y separados por comas.

EJEMPLO : El conjunto de vocales podría anotarse como: A = { a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o} = ... Por supuesto, la mayúscula elegida es totalmente arbitraria, salvo el caso de conjuntos específicos, como hemos visto en los numéricos, cuya letra es universalmente reconocida como referente del conjunto.

La barra “ / ” y los puntos “ : ”, tienen la misma significación en el lenguaje conjuntista. En todos los casos se lee: “ B es el conjunto de elementos (x) tal que son números naturales entre 4 y 9”. Observá que la notación simbólica elimina la ambigüedad que puede presentar la coloquial, seguramente, al decirte entre , hubieras preguntado si se incluyen o no los extremos.

C = { x / x es argentino} , se lee “C es el conjunto de todas las personas que son argentinas” , en este caso queda claro que, aunque no determinemos el universal, hablamos del conjunto de seres humanos.

D = {x / x es argentino y habla inglés}, observá en este ejemplo que si queremos a los argentinos que saben inglés, debemos aclararlo, delimitando el universal.

EL CONJUNTO UNIVERSAL:

Ya hemos determinado en la U.1. la importancia de determinar este conjunto que simbolizaremos con U y al que también suele denominarse “referencial”.

EJEMPLO:

A = {x ∈ U / x es par}

a. U = Z : A = { ..., - 4, -2, 0, 2, ...} b. U = N : A = {2, 4, 6, ...} c. U = {x ∈ Z / 8 < x < 10 } : A = ∅ d. U = {x ∈ Z / 6 < x ≤ 12 } : A = {8, 10, 12}

En el ejemplo pretendemos mostrarte la importancia de la determinación precisa del conjunto referencial.

III-3. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Un conjunto es “finito”, cuando puede ser definido por extensión, o sea, pueden nombrarse todos sus elementos, aunque a veces elijamos la definición por comprensión por una cuestión de economía de espacio y tiempo. Así, el conjunto de habitantes de la Argentina es un conjunto finito, aunque convenga su definición por comprensión.

Caso contrario, el conjunto se denomina “infinito” y debe definirse por comprensión. Por ejemplo, el conjunto de números reales entre 2 y 3, es un conjunto infinito. Aunque su representación en la recta es un pequeño segmento, hay infinitos reales entre otros dos, puede definirse: {x ∈ R / 2 < x < 3}

Al considerar notaciones como N = {1, 2, 3, ...}, hemos destacado que el uso de puntos suspensivos supone conocer la ley de formación que permite obtener los sucesivos elementos de este conjunto. Esta notación no es una notación por extensión sino por

comprensión, ya que la ley de formación define la característica de los elementos pertenecientes al conjunto.

IV. RELACIONES FUNDAMENTALES

IV-1. PERTENENCIA:

Es la única relación posible entre un elemento y un conjunto. Un elemento del universal “pertenece” o no a un conjunto dado. Ya hemos usado esta relación en el Apéndice del capítulo anterior.

EJEMPLOS:

Sea: A = {x / x es alumno de alguna materia de primer año del ITBA} Martín Pérez (^) ∈∈∈∈ A ( “Martín Pérez pertenece a A”o bien, “Martín Pérez es un elemento de A ), si y sólo si está cursando alguna materia de primer año en el ITBA. En cualquier otro caso : Martín Pérez ∉∉∉∉ A.

B = {x ∈ Z / x es par ∧ x es múltiplo de 3} = {x ∈ Z / x = 2.k ∧ x = 3.q , k ∈ Z , q ∈ Z } Dado que el conjunto B se define mediante una conjunción, para que x sea elemento de B, x debe cumplir ambas condiciones. Así:

12 ∈ B , pues 12 es par ( 12 = 2. 6 , 6 ∈ Z ) y 12 es múltiplo de 3 (12 = 3. 4, 4 ∈ Z ) 15 ∉ B , pues no es múltiplo de 2. 8 ∉B, pues no es múltiplo de 3.

C = {x ∈ Z / x es par o x es múltiplo de 3} La disyunción que define al conjunto C, admite que se verifique al menos una de las condiciones. Así: 12 ∈ C 15 ∈ C 8 ∈ C 25 ∉ C , pues no es par ni múltiplo de 3.

D = {x ∈ R / x∈ Z → x = 5. k , k∈ Z} Analicemos los elementos de D. El conjunto se define mediante una implicación, “D es el conjunto cuyos elementos son números reales tales que, si son enteros, entonces son múltiplos de 5” 4 ∉ D, pues es un número entero (4 ∈ Z), y no es múltiplo de 5. 2/3 ∈ D, pues es un real racional (a cualquier número que no sea entero, no se le piden otros requisitos que ser número real) π ∈ D, bajo el mismo razonamiento. 15 ∈ D, pues siendo entero, es también múltiplo de 5.

1. Sean : A = Z , B = {x ∈ N / x es par} , C = { 2, 4, 6, 8} , D = { 2, 4, 9, 6}

B ⊂ A, pues todos los elementos de N son también enteros (sean o no pares). C ⊂ A, pues los 4 elementos de C son números enteros. C ⊂ B, pues todos sus elementos son naturales y pares. D ⊄ B, pues existe un elemento de D, el 9, que no es par, o sea que no pertenece a B. En símbolos: D ⊄ B pues ∃ 9 : 9∈ D ∧ 9 ∉ B.

2. Sea I = {x / x es alumno del ITBA} Cada alumno del ITBA pertenece al conjunto I, cada alumno es elemento del conjunto I. Cada comisión, es subconjunto de I, está incluida en I, pues todos los elementos de cada comisión son alumnos del ITBA y por lo tanto, elementos de I.

Te sugerimos comparar este ejemplo con el 5. del apartado II-1, leé muy bien la definición de cada conjunto.

3. Analizaremos la validez de algunas proposiciones relacionadas con las relaciones fundamentales: a. ∀A: A ⊂ U , considerando A un conjunto cuyos elementos se relacionan con el referencial elegido, la proposición es verdadera.

b. ∀ A : ∅ ⊂ A : debemos analizar si todos los elementos de vacío son elementos de A. Por definición: ∅ ⊂ A ⇔ ∀x: x∈ ∅ → x ∈ A (releé la definición de inclusión). Como no existen x pertenecientes a ∅ , la implicación que define la inclusión tiene antecedente falso, pues x∈ ∅ es una proposición falsa para cualquier x (pues ∀x : x∉ ∅). Y una implicación de antecedente falso es...(consultá tu ficha): V.

Como caso particular : ∅ ⊂ ∅

c. ∅ = {∅} (Como te habíamos prometido...). ¿Cuántos elementos tiene el conjunto ∅? Ninguno. ¿Y el conjunto {∅}? Visiblemente, este conjunto es el conjunto que tiene por elemento al conjunto ∅, por lo tanto, este conjunto no es ∅, pues tiene un elemento: el ∅. Luego, la proposición dada es falsa.

A MODO DE AYUDA : Cada conjunto, puede pensarse como una bolsa a llenar. Los elementos se acomodan dentro como en una compra de supermercado... ∅ simboliza la bolsa sin nada dentro: { } {∅}, simboliza una bolsa con... otra bolsa vacía adentro. ¿notás la diferencia?

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN:

1. PROPIEDAD TRANSITIVA : A ⊂⊂⊂⊂ B ∧∧∧∧ B ⊂⊂⊂⊂ C  A ⊂⊂⊂⊂ C

“ Si un conjunto está incluido en otro, y éste en un tercero, el primero está incluido en el tercer”

2. IGUALDAD DE CONJUNTOS : A = B ⇔⇔⇔⇔ A ⊂⊂⊂⊂ B ∧∧∧∧ B ⊂⊂⊂⊂ A Observemos que si A es igual a B, tienen los mismos elementos, por lo que todos los elementos de A son elementos de B (A ⊂ B) y todos los elementos de B, pertenecen a A (B ⊂ A)

INCLUSIÓN AMPLIA:

En muchos textos, se simboliza “ A ⊆⊆⊆⊆ B ” , para indicar “A está incluido o es igual a B”.

Nosotros prescindiremos de esta notación, ya que nuestra definición de inclusión no excluye la posibilidad de que ambos conjuntos sean iguales, tal como lo aclaramos en el apartado IV-2.

V. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:

Dados A y B, conjuntos definidos en el referencial U. Definimos 2 :

V-1. COMPLEMENTO DE A:

Ac = Ā = {x ∈ U / x ∉ A}

“ El conjunto complemento de A o complementario de A, es el conjunto cuyos elementos son todos los del referencial que no pertenecen a A”. El complemento se define mediante la negación lógica: x ∈ Ā ⇔ ∼ (x ∈ A) . EJEMPLO:

U = R A = {x ∈ R / x es positivo}

Ac = Ā = {x ∈ R / x ≤ 0} 0 ∈ Ā , pues 0 no es positivo.

V-2. UNIÓN

A ∪∪∪∪ B = {x ∈ U / x ∈ A ∨ x ∈ B}

“La unión de dos conjuntos es otro conjunto, cuyos elementos son elementos de A o de B”

(^2) Si bien definiremos las operaciones entre dos conjuntos, las propiedades posteriores y los ejemplos, te

permitirán generalizarlas.

B – A = {o, 1}

NOTA : Esta definición permite una definición alternativa del complemento de un conjunto. Ac = U – A

V-5. DIFERENCIA SIMÉTRICA

A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A) = (A ∪ B) – (A ∩ B)

“La diferencia simétrica es el conjunto formado por los elementos de A o B pero que no pertenecen a la intersección”

EJEMPLO:

Recurriendo a los viejos A y B: A ∆ B = {b, c, o, 1}

EJEMPLO DE INTEGRACIÓN

Siendo A = {x ∈ N / x es múltiplo de 2} = {2, 4, 6, ...} B = {x ∈ N / x es múltiplo de 5} = { 5, 10, 15, ...}

A ∪ B = {x ∈ N / x es múltiplo de 2 o x es múltiplo de 5} ={2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, ...}

A ∩ B = {x ∈ N / x es múltiplo de 2 y de 5}= {10, 20, 30,...}

A – B = { x ∈ N / x es múltiplo de 2 y no es múltiplo de 5}= {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22,...}

B – A = {x ∈ N / x es múltiplo de 5 y no es múltiplo de 2}= {5, 15, 25,...}

A ∆ B = {x ∈ N / x ∈ A – B ∨ x ∈ B – A } = {2, 4, 5, 6, 8, 12, ...}

Ac = {x∈ N / x no es múltiplo de 2} = {1, 3, 5, 7, ...}= { x ∈ N / x = 2k + 1, k ∈ N 0 } Pues si no es múltiplo de 2 es impar. Bc = {x ∈ N / x no es múltiplo de 5} = {1, 2, 3, 4, 6, 7, ...} Busquemos otra notación por comprensión para este conjunto: Bc = {x ∈ N / x = 2.k +1 o x = 2.k +2 o x = 2.k + 3 o x = 2.k + 4 , k ∈ N } Si no es múltiplo de 5, los posibles restos en la división por 5 son 1, 2, 3 o 4, que es los que indicamos como propiedad en esta definición (repasá Divisibilidad en Z del Apéndice 1)

VI. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE

CONJUNTOS

VI-1. PROPIEDAD CONMUTATIVA

DE LA UNIÓN : A ∪ B = B ∪ A

DE LA INTERSECCIÓN: A ∩ B = B ∩ A

VI-2. PROPIEDAD ASOCIATIVA

DE LA UNIÓN : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C

DE LA INTERSECCIÓN: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C

VI-3. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

DE LA UNIÓN RESPECTO DE LA INTERSECCIÓN :

(A ∩ B) ∪∪∪∪ C = (A ∪∪∪∪ C) ∩ (B ∪∪∪∪ C)

DE LA INTERSECCIÓN RESPECTO DE LA UNIÓN :

(A ∪ B) ∩∩∩∩ C = (A ∩∩∩∩ C) ∪ (B ∩∩∩∩ C)

VII. DIAGRAMAS DE VENN

Para esquematizar situaciones entre conjuntos, se proponen diagramas que permiten visualizar sus elementos en relación a los de otros conjuntos. Cada conjunto se representa mediante una curva cerrada (circunferencias, rectángulos, etc.) en cuyo interior se ubicarán los elementos. En caso de conjuntos infinitos o de un gran número de elementos, simplemente anotamos el “nombre” dado al conjunto, dentro o fuera de la curva. Cuando es importante determinar claramente el referencial, se lo representa dando “marco” al conjunto o los conjuntos dados.

EJEMPLOS:

1. A = {a, e, i, o, u}

A

2. B = {x ∈ Z / x es par}

En este caso, es imposible ubicar los elementos en el interior del diagrama, y es importante la determinación del universal elegido.

a e

i o u

Z

B

EJEMPLO:

A = { x ∈ N / 1 < x < 7} B = {x ∈ N / 4 ≤ x < 11}

El diagrama nos permite determinar las posiciones relativas de los elementos de los conjuntos dados. En este caso, existen infinitos elementos del universal que no están en A ni en B, aunque no los mostremos, están ubicados dentro del rectángulo “referencial”, fuera de A y de B.

El caso particular de un conjunto A incluido en B, suele graficarse:

B

CASO DE TRES CONJUNTOS:

A

2

3

7 8 9 10

N

A

B

A B U

C

I

II III

IV

V

VI

VII

VIII

Las posiciones relativas de tres conjuntos, ponen en evidencia ocho sectores posibles de ubicación de elementos.

En el próximo apartado las definiremos formalmente, en éste, veremos un ejemplo de su utilización..

Sean : A = { x ∈ Z / - 3 ≤ x < 8} B = { -2 , 0, 1, 3, 9 } C = { x ∈ Z / -1 < x ≤ 5}

Observá atentamente la ubicación de los elementos en el diagrama: Todos los elementos de C, pertenecen también a otro de los conjuntos dados. Por eso el sector “V” no tiene elementos. Los elementos que pertenecen a C y a B, también pertenecen a A, por eso no tiene elementos el sector “IV”. Con un análisis análogo, el número 9 es el único elemento que pertenece sólo a B, y no a los otros dos. Dejamos a tu cargo lo que resta interpretar...

VII-2. DIAGRAMAS DE VENN Y OPERACIONES ENTRE

CONJUNTOS.

CASO DE DOS CONJUNTOS

Sean A y B dos conjuntos definidos en el referencial U.

El siguiente diagrama es la representación general que admite todas las posiciones relativas de sus elementos:

A Z

B

C

-3 -

6

7

9 3 0 4 1 5 2

U A

REPRESENTACIÓN DE LA DIFERENCIA SIMÉTRICA: A ∆ B

REPRESENTACIÓN DEL COMPLEMENTO:

AC = Ā

BC

U A

B

A U

B

CASO DE TRES CONJUNTOS:

Definiremos mediante operaciones los ocho sectores indicados en el apartado VII-1.

I = A – (B ∪ C) II = (A ∩ B) – C III = B – ( A ∪ C)

IV = (C ∩ B) – A V = C – (A ∪ B) VI = (A ∩ C) – B

VII = A ∩ B ∩ C VIII = (A ∪ B ∪C)c

Observá que cada conjunto dado es unión de distintos sectores, por ejemplo: A = I ∪ II ∪ VI ∪ VII

IMPORTANTE : del mismo modo en que una proposición puede expresarse de distintas formas y un conjunto puede definirse de modos distintos, cada región podría haberse definido de más de una manera, pretendimos mostrarte la usual, podrías buscar otras...

U

A B

A U

B

C

I II III

IV

V

VI

VII

VIII

#(II ∪ III) = 15, los que se inscribieron para ajedrez. #(II) = 9, los que se inscribieron sólo para ajedrez.

De modo que podemos ir “completando” el diagrama:

Ahora bien, como en los sectores II y III hay en total 15 elementos, en el III debe haber 6:

Analizando F: como en I y III hay en total 18, en I debe haber 12, o sea que 12 se inscribieron sólo en fútbol. Los inscriptos en alguna disciplina son en total: 27. No se han inscripto en nada 40 – 27 = 13 alumnos.

El diagrama que representa la situación es el siguiente.

PROPIEDAD ÚTIL PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE

CONTEO:

CASO DE 2 CONJUNTOS:

#(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B)

F U

A

9

F

A

6 9

U

F

A

U

12 6 9

Esta propiedad permite, según los datos, despejar aquéllos que son desconocidos. ¿Por qué debemos efectuar una resta? Al considerar la cantidad de elementos de A, estamos también considerando los que están en A y B, o sea en la intersección, que vuelven a ser considerados en el cardinal de B, de modo que estamos considerándolos 2 veces, por lo cual los restamos una vez.

CASO DE 3 CONJUNTOS:

#(A ∪ B ∪ C) = #(A) + #(B) + #(C) - #(A ∩ B) - #(A ∩ C) - #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C) Tratá de analizar esta propiedad según el criterio analizado en el caso anterior.