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El Cálculo y su Enseñanza, Enseñanza de las Ciencias y la Matemática © Volumen 9, Jul – Dic 2017,
Cinvestav-IPN, Ciudad de México, pp. 24- 41
Técnicas alternativas para el cálculo de fracciones parciales
José Luis Díaz Gómez
Universidad de Sonora
México
jdiaz@gauss.mat..uson.mx
Resumen: La descomposición de una fracción propia en una suma de fracciones parciales es una técnica
utilizada en diversos temas de las matemáticas y para determinar las constantes desconocidas que aparecen
en las fracciones parciales, generalmente se utiliza un proceso muy laborioso llamado “método de los
coeficientes indeterminados”. En este artículo se presentan técnicas alternativas al método de los
coeficientes indeterminados utilizadas en los libros de Cálculo, que son útiles en una variedad de casos para
la determinación de las constantes que aparecen en las fracciones parciales.
Palabras clave : Técnicas alternativas, Fracciones parciales, fracción propia.
Abstract: The decomposition of a proper fraction into a sum of partial fractions is a technique used on
different topics of mathematics and to determine the unknown constants appearing in partial fractions,
usually a very laborious process called "method of undetermined coefficients" is used. This article presents
alternative techniques to the method of indeterminate coefficients used in the calculus books, which are
useful in a variety of cases for the determination of the constants that appear in the partial fractions.
Keywords: Partial fractions, proper fraction
1. Introducción
En un primer curso de cálculo integral se estudian varias técnicas de integración, entre ellas la técnica de
integración por Fracciones Parciales (FP) para la integración de funciones racionales. Esta técnica consiste
en descomponer una función racional en una suma de fracciones más simples. La técnica es fundamental
para la integración de funciones racionales pero también se encuentra en el estudio de las ecuaciones
diferenciales, en la matemática discreta, en la teoría de control, y otras ramas de la matemática. El método
más común para realizar la descomposición en FP se llama “método de los coeficientes indeterminados”
(MCI). Este método es tedioso (Huang, 1991) y una fuente de complicadas identidades algebraicas (Chrystal,
- que confunden a los estudiantes de un primer curso de cálculo integral, sobre todo a aquellos con
problemas de conocimientos algebraicos.
El Cálculo es una red de conocimientos más que una serie de conocimientos encadenados, perder de vista
esto es perder la belleza y el poder del Cálculo. En este documento describiremos métodos alternativos al
MCI para determinar la descomposición en fracciones parciales de una función racional que hacen uso de
Técnicas alternativas para el cálculo de fracciones parciales
los conocimientos que adquirieron los estudiantes en el curso de cálculo diferencial con la intensión de poner
de manifiesto la relación entre el álgebra y el cálculo.
Una revisión del tema de Integración por fracciones parciales en los textos de cálculo utilizados en las
universidades como: el libro de Cálculo de Smith y Minton (Smith & Minton, 2003), el libro Cálculo de
James Steward (Steward, Calculus, 2012), el libro Cálculo Conceptos y Contextos de James Steward,
(Steward, 2010), el libro de Cálculo de Purcell, Varberg y Rigdon (Purcell, Varberg, & Rigdon, 2007), el
libro de Cálculo de Leithold (Leithold, 1998), el libro El Cálculo de una variable de Zill y Wright (Zill &
Wright, 2011), el libro Cálculo de una variable de Thomas (Thomas, 2010), entre otros, nos muestra que
todos ellos utilizan el MCI para descomponer una función racional en una suma de fracciones parciales.
En la literatura matemática encontramos al menos 30 artículos con métodos alternativos para la
descomposición de una función racional en una suma de fracciones parciales, algunos de los artículos son
(Huang, 1991), (Wiener, 1986), (Schultz, 1983), (Rose, 2007), (Martínez, 2006). Lo que parece sorprendente
es que los actuales libros de cálculo no han asimilado los métodos alternativos al MCI, una excepción son
los libros de Zill y Wright (Zill & Wright, 2011) y Thomas (Thomas, 2010) que si bien utilizan el MCI al
final de la sección del método de integración por fracciones parciales presentan brevemente un método
distinto para el caso más sencillo de una descomposición, el de factores lineales no repetidos.
Los métodos usuales encontrados en los libros de cálculo requieren esencialmente la solución de un sistema
de ecuaciones lineales. Como tal, implican una gran cantidad de cálculos algebraicos y toman
aproximadamente n
3 pasos para determinar las constantes de la descomposición, donde n es el grado del
denominador de la función racional (Straight & Dowds, 1984) (Kung & Tong, 1977). Con los métodos
alternativos el número de pasos es menor.
2. Un poco de historia.
La historia de las fracciones parciales es muy similar a la de las fracciones en general. Para ambas es difícil
fijar su origen. Los antiguos egipcios, que expresaban fracciones como la suma de fracciones cuyos
numeradores eran la unidad, parecían haber tenido el germen de la idea. Se realizaron estudios sobre
fracciones y sobre fracciones parciales en los años 1550 A. C. pero no hubo buen método general para
Técnicas alternativas para el cálculo de fracciones parciales
en donde P(x), h(x) y t(x) son polinomios en x , y además el grado del numerador h(x) , es menor que el grado
del denominador t(x). Esto significa que (al menos teóricamente) toda fracción impropia puede expresarse
de un modo único en forma de una suma de un polinomio y de una fracción propia. Por esta razón, en lo que
sigue sólo consideremos fracciones propias.
Teóricamente, es posible escribir cualquier fracción racional propia f(x)/g(x) como una suma de expresiones
racionales cuyos denominadores son potencias de polinomios de grado no mayor que dos. Concretamente,
si f(x)/g(x) es una fracción propia, entonces se sigue de un teorema de álgebra que
1 2
k
f x F F F g x
= + + +^ (^1 )
donde cada Fi tiene una de las dos formas siguientes:
2
ó ( ) ( )
m n
A Bx C
ax b px qx r
donde m y n son enteros no negativos y en donde q
2
- 4pr < 0. La suma al lado derecho de ( 1 ) se llama la
descomposición en fracciones parciales de f(x)/g(x) y cada una de las Fi es una fracción parcial.
Para obtener la descomposición ( 1 ), primero expresamos el denominador g(x) como un producto de factores
de la forma ( ax + b ) o expresiones cuadráticas irreducibles de la forma ( px
_2
- qx + r_ ). Después agrupamos
los factores repetidos de manera que g(x) queda expresado como un producto de factores distintos de la
forma ( ax + b )
m ó ( px
2 +qx+r )
n , donde m y n son enteros no negativos y ( px
_2
- qx + r_ ) es irreducible. Después
aplicamos las siguientes reglas:
I. Por cada uno de los factores de la forma ( ax + b )
m m≥ 1 la descomposición ( 1 ) contiene una suma de m
fracciones parciales de la forma
( )
1 2 3 2 3 ( ) ( ) ( )
m m
A A^ A^ A
ax b ax b ax b ax b
donde cada Ai es un número real.
II. Por cada uno de los factores de la forma ( px
2 +qx + r )
n donde n≥1 y q
2
- 4pr < 0 , la descomposición ( 1 )
contiene una suma de fracciones parciales de la forma
1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) (p ) ( )
n n n
A x B A x B A B
px qx r x qx r px qr
x
r
José Luis Díaz Gómez
donde para cada i , Ai y Bi son números reales.
Tomando en cuenta la factorización del denominador de f (x)/g(x) y las reglas I y II los libros de cálculo
estudian los siguientes cuatro casos (Zill & Wright, 2011), (Purcell, Varberg, & Rigdon, 2007), (Steward,
- Factores lineales distintos:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
1 1 2 2 3 3
n
n n
A A^ A^ A
a x b a x b a x b a x b
- Factores lineales repetidos:
( )
1 2 3 2 3 ( ) ( ) ( )
n n
A A A A
ax b ax b ax b ax b
- Factores cuadráticos distintos:
1 1 2 2 2 2 2 ( 1 1 1 ) ( 2 2 2 ) ( )
n n
n n n
A x B A x B A B
p x q x r p x q x r p x q x r
- Factores cuadráticos repetidos:
1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )
n n n
A x B A x B A B
px qx r p
x
x qx r px qx r
A continuación veremos algunas técnicas alternativas para algunos de los casos.
3. Técnicas alternativas.
Vemos la técnica del método de cubrimiento de Heaviside (Oliver Heaviside, ingeniero eléctrico Inglés
(1850, 1925)), para el caso de una raíz real simple x = a. Para conocer una versión más completa de técnica
ver los artículos (Wienner & Watkins, 1993), (Man Y. K., 2008).
3.1 Técnica para factores lineales distintos.
Supongamos que el denominador es ( ) ( ) ( )
r g x = x − a h x , donde r es un entero positivo y h(x) es un
polinomio tal que h(a) ≠ 0. Entonces de acuerdo con la regla 1, tenemos
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1 2 2 ( ) ( ) ( )
r r r
f x f x (^) A A A p x
g x x a h x x a x a x a h x
donde p(x) es un polinomio y las Ai ( i=1,2,…,r ) son constantes.
Ahora multiplicando ( 5 ) por ( x-a )
r se tiene
José Luis Díaz Gómez
( ) ( ) ( )
x x 0 3
f x x
Veamos el caso de factores lineales repetidos.
3.2. Técnica para factores lineales repetidos y no repetidos.
Supongamos que se tiene la función racional propia con factores lineales repetidos de la forma
( ) (^1 )
n m
p x f x
x b x a x a x a
Donde b es una raíz real de multiplicidad n > 1 , donde las a son distintas y p(x) es un polinomio.
Por la regla I y los casos 1 y 2 se tiene que
0 1 2 1 1 1 2 1
n n m n n n m
B B B B A A
f x x b x b x b x b x a x a
− − − −
Los coeficientes (^) A 1 (^) , A 2 , Am corresponden a los coeficientes de las fracciones con factores lineales no
repetidos por consiguiente se calculan utilizando la Técnica 3.1 como en el Ejemplo 1. Para calcular los
coeficientes B B 0, 1 (^) , , Bn (^) − 1 multiplicamos ambos lados de la Ecuación (7) por ( )
n (^) x − b y obtenemos lo
siguiente:
2 2 1 0 1 2 2 1
1
1
n n n n n
n n m
m
x b f x B B x b B x b B x b B x b
A x b A x b
x a x a
− − − = + − + − + + (^) − − + (^) − − +
Si ahora hacemos x = b en ambos lados de la ecuación (8) se obtiene que
( ) ( ) B 0
n
x b
x b f x
=
Esto significa que cubriendo el factor( )
n x − b en la ecuación (6) y haciendo x = b se obtiene el valor de B 0.
Observe que esta operación es equivalente a la técnica de cubrimiento de Heaviside 3.2.
Para calcular el siguiente coeficiente derivamos la expresión (8) con respecto a x.
3 2 1 2 2 1
1 1 1 1 1 1
1 1
( ) ( ) B 2 B ( ) ( 2) B ( ) ( 1) ( )
n n n n n
n n n n m m
d x b f x x b n x b n B x b dx
nA x b x a A x b nA x b A x b x a
x a x a
− − − −
− −
Técnicas alternativas para el cálculo de fracciones parciales
Observe que la parte derecha de la ecuación (10) está compuesta de términos que contienen el factor ( x – b ),
así que si hacemos x = b, se eliminan todos los términos excepto B 1. Así tenemos que:
1
( ) ( ) B
n
x b
d x b f x dx =
Esto es, para calcular el coeficiente B 1 , cubrimos el factor( )
n
x − b en la expresión de f(x) , calculamos la
derivada de la expresión que resulta y después hacemos x = b.
Si calculamos la derivada de la expresión (10) tendremos la segunda derivada de la expresión (8) y lo
siguiente:
2 3 2 (^ )^ ( )^2 2 (2)(3) B (^3 )^ (^ 2)(n^ 1) B^1 (^ )
suma de términos con el factor ( )
n n n
d x b f x B x b n x b dx
x b
− − = + − + + − − (^) − − +
Si en la expresión (12) hacemos x = b se obtiene el factor B 2 , de donde
2
2 2 (^ )^ ( )
n
x b
x b
d B f x
x d =
Si continuamos derivando la expresión ( 8 ) i veces encontraremos que
n
x b
i
Bi (^) i x b i x
f d
x
d
=
=^ (^13 )
Es decir para calcular el coeficiente Bi , cubrimos el factor( )
n
x − b en f(x), calculamos la i-ésima derivada
de la expresión que resulta y después hacemos x = b y dividimos por i! para una discusión más completa ver
(Martínez, 2006) (https://www.utdallas.edu, s.f.) (Man & Leung, 2012)
3. 3. Técnica sólo para factores lineales repetidos.
Supongamos que la función racional sólo contiene factores lineales repetidos de la forma
( )
n
p x f x
x b
Entonces por la regla I y el caso 2 se tiene
1 2 1 2 1
n n n n
B B B B
f x x b x b x b x b
− −
Utilizando el anterior procedimiento llegamos a que los coeficientes están dados por, ver (Martínez, 2006)
Técnicas alternativas para el cálculo de fracciones parciales
2
3
x x
F x
x
Solución : Por el caso 2 se tiene
2 1 2 3 3 2 3
x x B B B
F x
x x x x
Por la técnica 3. 3 tenemos que cubriendo ( x + 3)
3 se tiene que
2 2 3 3
x
B x x =−
2 (^2 ) 3
x x
d B x x x dx
=− =−
2 2 (^1 )
3 3
(^2 2) x 2 x
d B x x x dx (^) =− =−
Por lo tanto la descomposición en fracciones parciales es:
2
3 3
x x
F x
x x x
3.4. Técnica para factores lineales y cuadráticos
Consideremos la función racional siguiente
2
F x
f x
x bx c x a
Donde
2 x + bx + c es una cuadrática irreducible. Entonces por la regla I y II y los casos 1 y 3 se tiene la
siguiente descomposición en fracciones parciales
2 2 ( ) ( )
Ax B C
x bx c x a
f x
x bx c x a
Por la técnica 3.1 se puede encontrar el coeficiente C
2
( )
( ) x a
f x C x bx c =
=
José Luis Díaz Gómez
Una vez conocido C, lo restamos en la parte izquierda de la igualdad (18)
2 2 ( ) ( )
C Ax B
x a x bx c
f x
x bx c x a
Simplificamos la diferencia de la parte izquierda de la ecuación ( 19 )
2
2 2
( ) C( )
( )( ) ( )
f x x bx c Ax B
x bx c x a x bx c
− + + +
Ahora se da el caso de que ( x – a ) es un factor del numerador y del denominador de la parte izquierda de la
igualdad (20), por tanto, podemos suponer que h ( x ) es la función que resulta de dividir
2 f x ( ) − C( x + bx + c ) por ( x – a ). De donde se obtiene la siguiente ecuación
2 2
( )
( )( ) ( )
h x Ax B
x bx c x a x bx c
=
A partir de la igualdad (20) podemos deducir que h x ( ) = Ax + B de esta manera A y B pueden ser
determinados por inspección para una discusión más completa consultar a Man (Man Y. K., 2011)
Ejemplo 4. Descomponer en fracciones parciales la siguiente fracción
2
2
x x F x x x x
De acuerdo con los casos 1 y 3 se tiene la siguiente suma de fracciones parciales
2
2 2
x x A Bx C
x x x x x x
Con la técnica 3.1 obtenemos el valor del coeficiente A
2
2 2
X
x x A x x =−
Por lo tanto se tiene
2
2 2
x x Bx C
x x x x x x
restamos la fracción con ( x + 2) hacia la izquierda
José Luis Díaz Gómez
Por la regla 1 y 2 se tiene que la suma de fracciones parciales es
Por la técnica 3. 1 y cubriendo (x – 3) calculamos A
( )
2
2
2
2
3
4 x 1
x x 1
x
A
x
=
+^ +
Por tanto
( )
2
3 2 2
x x 40 Bx C
x x x x x x
Multiplicando por x la última ecuación, tenemos
( )
3 2 2
3 2 2
x x x x Bx Cx
x x x x x x
Y tomando lim x →+
a la igualdad anterior obtenemos
( )
3 2 2
3 2 2
lim lim x (^) 2 2 3 x 13 3 1
x x x x Bx Cx
→ (^) x x x → x x x
+ + ^ ^ +
=^ ^ +
− − − ^ − + +
De donde
= + B y de obtenemos
B =
Así, remplazando B en (22) tenemos
( )
2
3 2 2
x x x C
x x x x x x
( )
3 2
3 2 2
x x x x C
x x x x x x
Ahora, haciendo x=0 en la ecuación, método clásico (23), se obtiene
− = + C
de donde
C =
Finalmente remplazando C y simplificando tenemos el resultado
2
3 2 2
x x x
x x x x x x
3.6. Técnica de cubrimiento de Heaviside mejorada para factores cuadráticos.
Esta técnica se debe a Yiu-Kwong Man (Man Y. K., 2011) (Man Y. K., 2008) mejora la técnica de encubrimiento
de Heaviside para manejar la descomposición de fracciones parciales a través de divisiones y sustituciones
polinomiales solamente, sin necesidad de resolver las complejas raíces del polinomio cuadrático irreductible
Técnicas alternativas para el cálculo de fracciones parciales
involucrado, o usar la diferenciación o resolver un sistema de ecuaciones lineales. El procedimiento se
realiza de la siguiente manera:
- Primero se encuentran los coeficientes
,
i
ni i
x a
i ni
f x x a g x
a
=
Observe que esta es la técnica de Heaviside
- Después se encuentran los siguientes coeficientes
1 , , 0
( ) ( ) i
j i ni k ni j i ni j (^) ni k i x a k (^) i
f x^ a a x a g x x a
= − − − (^) − = =
Esta técnica de encubrimiento primero se aplica para calcular las ai n.. Luego, las fracciones parciales
conocidas se restan de F (x) y se simplifican para convertirse en una nueva función. A continuación, se aplica
la misma técnica para manejar las nuevas funciones obtenidas una y otra vez, hasta que se encuentren todos
los coeficientes ai ni , − j desconocidos. Pero veamos la aplicación con dos ejemplos.
Ejemplo 6. Encontrar la descomposición en suma de fracciones parciales de
3 2
2 2
x x x F x x x
Por la regla I y el caso 3 se tiene que la descomposición es
3 2
2 2 2 2
x x x ax b cx d F x x x x x
Calculemos ( ax + b ) utilizando la técnica 3.6., cubriendo
2
( x +1)y haciendo x
2 = - 1
2 2
3 2 2
1 2 1
x ( 2) x
x x x x ax b x F x =− x =−
− + 1 x 2 1 1 1 2 1
Calculemos ahora ( cx + d ), cubriendo
2
( x +2) y haciendo x
2 = - 2
2 2
3 2 2
2 2 2
x ( 1) 2 1 1 x
x x x x x x cx d x F x x =− x =−
Por lo tanto
3 2
2 2 2 2
x x x x F x x x x x
Ejemplo 7. Descomponer
3
2 2
x x F x x
Técnicas alternativas para el cálculo de fracciones parciales
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