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Probabilidad y Estadística - 2023-A

Sección 2: Probabilidad y variables aleatorias

Preparado por:

Cátedra de Probabilidad y Estadística - EPN

0. ÍNDICE GENERAL

1. PROBABILIDAD

INTRODUCCIÓN

En sus inicios el desarrollo de la probabilidad fue financiada por los grandes apostadores en el siglo XVII, para conocer las probabilidad de los diferentes juegos de azar de la época, este desarrollo fue aprovechado después por los científicos en diferentes fenómenos físicos y en este capítulo se presenta los principales elementos de la probabilidad.

Desde muy pequeños desarrollamos la idea de probabilidad al jugar juegos de mesa y al enfren- tarnos a situaciones aleatorias. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, es claro que existen seis posibles resultados y que en cada nuevo lanzamiento no siempre se obtiene el mismo resultado an- terior. Del mismo modo cuando lanzamos una moneda tenemos dos posibles opciones y en cada lanzamiento se puede obtener una u otra opción (cara o sello). De esta manera, el ser humano poco a poco adquiere una idea intuitiva de probabilidad aunque no sepa definirla ni calcularla.

El enfoque más intuitivo desde el cual se aborda la probabilidad es a través de la frecuencia relativa, es decir, a través de la repetición del experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda un gran número de veces de tal manera que registramos el número de lanzamientos y el número de caras y sellos; en concreto, digamos que lanzamos 100 veces, la proporción de caras es cercano a la mitad (obviamente si la moneda no ha sido modificada), es decir, 50 caras; la frecuencia relativa en este experimento es 12 , la frecuencia es aproximadamente la probabilidad de que se obtenga cara en un lanzamiento de moneda.

La probabilidad juega un papel muy importante en diferentes ramas de la ciencia y es un instru- mento básico y necesario para su abordaje, nos permitirá afrontar situaciones de la vida cotidiana, nos permitirá predecir, modelar, probar hipótesis, inclusive realizar control de calidad, entre muchas otras aplicaciones.

1.1. DEFINICIONES

Antes de abordar la probabilidad vamos a establecer ciertos conceptos fundamentales en el con- texto estadístico; primero vamos a distinguir el concepto de experimento aleatorio.

Existen dos tipos de fenómenos, los primeros son aquellos que bajo un conjunto específico de condiciones permiten obtener los mismos resultados. En particular, si se deja caer un objeto de cierta altura el tiempo que se demora en llegar al suelo es el mismo independientemente del número de

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CAPÍTULO 1. PROBABILIDAD Probabilidad y Estadística

veces que se repita el experimento. En cambio, hay ciertos fenómenos, a pesar de que se hagan bajo las mismas condiciones el resultado es diferente cada vez que se repite; por ejemplo, al sacar una bolita al azar en el bingo, el lanzamiento de un dado, sacar una carta al azar, etc. A este tipo de “fenómenos” los llamaremos experimentos aleatorios; así: Definición 1 – Experimento AleatorioDefinición 1 – Experimento Aleatorio Es un fenómeno con un resultado que no se puede predecir con certeza.

Tomemos el experimento aleatorio escoger de una bolsa de cuatro canicas de diferentes colores una al azar e identificar el color de la misma, digamos que los colores de las canicas son NEGRO, ROJO, BLANCO y VERDE, así al sacar una bola al azar, el color de ésta será uno de los cuatro anteriores. Lo único que podremos es adivinar cuál es el color de la bola, pero nunca sabremos con certeza el color de la misma sin verla. Definición 2 – Espacio MuestralDefinición 2 – Espacio Muestral Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se le denomina espacio muestral , notaremos al espacio muestral con Ω.

Del ejemplo anterior observemos que el espacio muestral es el conjunto de los cuatro colores que de cualquiera de las bolas, es decir,

Ω = {NEGRO, ROJO, BLANCO, VERDE}.

Definición 3 – Suceso o eventoDefinición 3 – Suceso o evento Cualquier subconjunto del espacio muestral se denomina suceso o evento.

En términos de conjuntos, es claro que el espacio muestral y el conjunto vacío son también even- tos, también lo son cualquier evento individual o combinado. Por ejemplo, el evento de que la bola al azar sea verde o roja se puede representar por el conjunto

A = {ROJO, VERDE}.

Como observamos para estudiar la teoría de probabilidades es de vital importancia conocer la teoría de conjuntos, la cual se ha abordado en cursos anteriores. De esta manera, abordaremos esta teoría de forma sencilla haciendo las respectivas traducciones del lenguaje conjuntista al lenguaje estadístico. Es claro que cualquier conjunto, subconjunto del espacio muestral, es un evento o suceso. La clase universal, en cada experimento, será el espacio muestral; la clase vacía es un evento imposible o falso; el complemento de un conjunto A (Ac) es el evento contrario de A, en términos de conjuntos lo podemos expresar por Ω r A.

De forma similar a como se hacen las operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia y complemento) se lo realiza con los eventos y de esta manera se puede obtener o caracterizar eventos particulares que juegan un papel fundamental en la estadística. El siguiente ejemplo permite aclarar estas definiciones.

1.1. DEFINICIONES 5

CAPÍTULO 1. PROBABILIDAD Probabilidad y Estadística

tetraedro. Así,

b) El hecho de que la suma de los números de los tetraedros sea al menos 6 significa que la suma puede ser 6, 7 u 8, luego, A = {(3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}.

c) El hecho de que la suma de los números de los tetraedros sea a lo mucho 3 significa que la suma puede ser 2 o 3, luego, B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}.

d) El hecho de que la suma de los números de los tetraedros sea más de 6 significa que la suma puede ser 7 u 8, luego, C = {(3, 4), (4, 3), (4, 4)}.

e) El hecho de que la suma de los números de los tetraedros sea menos de 3 significa que la suma puede ser 2, luego, D = {(1, 1)}.

Ahora, definamos lo que son eventos mutuamente excluyentes: Definición 4Definición 4 Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no es posible que ocurran al mismo tiempo. En términos de conjuntos, estos eventos son mutuamente excluyentes si son disjuntos, es decir, si A ∩ B = ∅.

Ejemplo 3. Retomemos el ejemplo 1.

Ahora consideremos como C al evento de que al lanzar el dado se obtenga el número impar. Y, D como el evento de que al lanzar el dado se obtenga el número 2.

Esta claro que los dos eventos no se pueden dar al mismo tiempo pues no es posible obtener un número impar y el 2 a la vez. Estos dos eventos son los que se consideran mutuamente excluyentes.

Como se dijo al inicio de este capítulo, la forma intuitiva de abordar la probabilidad es a través de la frecuencia relativa de un evento, para ello vamos a definir lo siguiente: Definición 5 – Frecuencia relativa de un eventoDefinición 5 – Frecuencia relativa de un evento Si un experimento aleatorio se realiza n veces y A es un evento que ocurre nA veces, entonces la frecuencia relativa del evento A, lo que representaremos por fA, es cociente de nA y n, es decir,

fA = n nA.

1.1. DEFINICIONES 7

Probabilidad y Estadística CAPÍTULO 1. PROBABILIDAD

Es claro que bajo esta definición se cumple que

1. A no ocurre en los n experimentos si y solo si fA = 0.
2. A ocurre siempre en los n experimentos si y solo si fA = 1.
3. 0 6 fA 6 1
4. Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces fA∪B = fA + fB
5. Si n aumenta fA se establece en un valor determinado, esto es lo que llamaremos en el sentido probabilístico “converger”.

Ejemplo 4. Se ha ubicado 10 bolas numeradas con los dígitos en una bolsa, cada vez que se saca una bola se escribe en una hoja el número de la bola sacada y se la vuelve a meter en la bolsa, así se obtiene lo siguiente:

Número de la bola 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Número de apariciones 5 3 3 2 5 7 2 5 4 6

Si se tiene los eventos

A: El número es par, B: El número es divisible por 3,

C: El número es mayor que 3 e impar, D: El número es primo.

Determinemos fA, fB, fC, fD, fA∪B, fA∪C, fB∩C y fDrC

Solución. En primera instancia determinemos el espacio muestral y los conjuntos A, B, C y D:

Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {0, 3, 6, 9} C = {5, 7, 9} D = {2, 3, 5, 7}

Luego, es claro que se han hecho 42 experimentos y de la definición de frecuencia relativa se tiene que

fA = 5 +^3 + 42 5 + 2 +^4 = 1942 , fB = 5 +^2 42 +^2 +^6 = 14 5 , fC = 7 +^425 + 6 = 37 , fD = 3 +^2 42 +^7 +^5 = 1742.

Vamos a determinar los conjuntos

A ∪ B = {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9}, A ∪ C = {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B ∩ C = { 9 }, D r C = {2, 3};

después,

fA∪B = 5 +^3 +^2 +^425 + 2 +^4 +^6 = 14 9 , fA∪C = 5 +^3 +^5 +^7 42 +^2 +^5 +^4 +^6 = 3742 ,

8 1.1. DEFINICIONES

Probabilidad y Estadística CAPÍTULO 1. PROBABILIDAD

Solución. Observemos que el espacio muestral para este experimento es

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

y, en consecuencia, |Ω| = 6 1. Vamos a definir el conjunto A = {2, 4, 6} que representa al evento que al lanzar un dado salga un número par. Luego, que suceda este evento es:

P(A) = (^) ||ΩA|| = 36 = 12.

Ahora, definamos el conjunto B = {4, 6} que representa al evento de que al lanzar un dado salga 4 o

P(B) = (^) ||ΩB|| = 26 = 13.

El evento de que al lanzar un dado se obtenga un número mayor a 6 es un evento imposible, es decir, lo podemos representar por C = ∅, en consecuencia,

P(C) = P(∅) = 0.

Finalmente, el evento de que al lanzar un dado se obtenga un número menor o igual a 6 es el evento contrario al evento C, es decir, D = Cc, luego,

P(D) = P(Cc) = P(Ω) = 1.

Ejemplo 6. Demostrar que P(Ac) = 1 − P(A).

Demostración. Recordemos de la teoría de conjunto se sabe que A ∩ Ac^ = ∅, de donde concluimos que A y Ac^ son eventos mutuamente excluyentes, luego,

P(A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac),

de donde, P(Ω) = P(A) + P(Ac);

ya que A ∪ Ac^ = Ω, y en consecuencia,

P(Ac) = 1 − P(A). Definición 7 – Principio de la sumaDefinición 7 – Principio de la suma Si |A| = m, |B| = n y A ∩ B = ∅, entonces

|A ∪ B| = m + n. (^1) El signo |Ω| representa la cardinalidad (número de elementos) del conjunto finito Ω. Y, para nuestros propósitos repre- sentará el número de formas en que ocurre el evento (Ω en particular).

10 1.1. DEFINICIONES

CAPÍTULO 1. PROBABILIDAD Probabilidad y Estadística

Esto quiere decir que: “Si un suceso A puede ocurrir de m maneras (|A| = m), y otro suceso B puede ocurrir de n maneras (|B| = n), y no pueden ocurrir ambos simultáneamente, entonces el suceso A ∪ B puede ocurrir de m + n maneras”.

Esta definición se puede generalizar, si A 1 ,... , An son disjuntos dos a dos, entonces

|A 1 ∪ A 2 ∪... ∪ An| = |A 1 | + |A 2 | +... + |An|.

Esto significa que si un evento A 1 puede ocurrir de m 1 maneras, un evento A 2 de m 2 maneras, etc., y un evento An ocurre de mn maneras, entonces la unión de estos eventos ocurre de m 1 + m 2 +... + mn maneras. Definición 8 – Principio del productoDefinición 8 – Principio del producto Si |A| = m y |B| = n, entonces

|A × B| = |A| · |B| = m · n.

Este principio puede visualizarse disponiendo todos los elementos del producto cartesiano A × B en una tabla. Suponiendo que A = {a 1 ,... , am} y B = {b 1 ,... , bn}, entonces los elementos de A × B son pares ordenados: (a 1 , b 1 ) (a 1 , b 2 )... (a 1 , bn) (a 2 , b 1 ) (a 2 , b 2 )... (a 2 , bn) ... ...... ... (am, b 1 ) (am, b 2 )... (am, bn)

Se ve claramente que el cuadro tiene m filas y n columnas, y por lo tanto, |A × B| = m · n = |A| · |B|.

Esta definición la usaremos para determinar la cardinalidad de eventos que se realizan de forma sucesiva, es decir, si un primer objeto puede escogerse entre m posibles, y después de realizada esta selección puede escogerse un segundo objeto entre n posibles, entonces pueden escogerse m · n pares diferentes.

Esta definición se puede generalizar, así

|A 1 × A 2 ×... × An| = |A 1 | · |A 2 | ·... · |An|,

es decir, si un evento A 1 ocurre de m 1 formas, y después de realizado este evento se realiza A 2 y este puede ocurrir m 2 formas, etc., hasta que el n-ésimo evento (An) se realice y este ocurre de mn formas; entonces los n eventos ocurren de forma sucesiva de m 1 · m 2 ·... · mn formas.

Ejemplo 7. ¿De cuántas maneras pueden colocarse una torre blanca y una torre negra en un tablero de ajedrez de modo que se ataquen?

Respuesta. El tablero de ajedrez esta formado de 8 filas y 8 columnas, entonces, el número de casillas en que se puede ubicar la torre blanca es 8 · 8 = 64.

Una vez ubicada la torre blanca, la torre negra debe colocarse en una casilla de la misma columna o fila ocupada por la torre blanca, si consideramos como el suceso A la ubicación de la torre negra

1.1. DEFINICIONES 11

CAPÍTULO 1. PROBABILIDAD Probabilidad y Estadística

Primer Dado

Segundo Dado espacio muestralPuntos del

Figura 1.1: Diagrama de árbol de los resultados del lanzamiento de dos dados.

Así, el primer evento tiene 6 resultados posibles y el segundo también; en resumen, el lanzamiento de los dados se realiza de 36 formas diferentes en el diagrama de árbol se puede observar estos 36 “puntos” muestrales.

Observemos que existe una fuerte relación entre el número de elementos del espacio muestral, las formas en que un evento ocurre y el cálculo de la probabilidad de que suceda dicho evento; por esta razón vamos a ver diversos métodos de enumeración.

1.2. MÉTODOS DE ENUMERACIÓN

Hemos visto que es necesario contar los elementos ya sean del espacio muestral o de los elementos de un evento. De aquí, que es necesario contar los grupos que se pueden formar a partir de un conjunto, al cual llamaremos conjunto base, y lo representaremos por Ψ, y que puede tener elementos

1.2. MÉTODOS DE ENUMERACIÓN 13

Probabilidad y Estadística CAPÍTULO 1. PROBABILIDAD

diferentes o repetidos. Por ejemplo, tenemos los siguientes conjuntos

Ψ = {a, a, b, b, b, c, d, e, e}, Ψ = {♥, ♦, ♠, ♣},

en donde, el primer conjunto tiene 9 elementos y algunos se repiten; en cambio, el segundo tiene 4 elementos todos distintos. Ahora, tomemos en cuenta el conjunto Ψ = {a, b, c, d} y con los elementos de este conjunto podemos formar, por ejemplo, los siguientes conjuntos:

{a}, {a, b}, {a, b, d}, {b, a, d}, {c, b, d}, {a, a, a, a}, {a, b, a, d}.

Observemos que para formar estos grupos se toman en cuenta los siguientes criterios:

1. número de elementos del grupo, este número puede variar entre 1 y el número de elementos del conjunto base;
2. repetición de elementos, es decir, si los grupos se los realiza con elementos repetidos y si son todos diferentes;
3. orden de los elementos, es decir, si el orden de los elementos en el grupo es relevante o no.

De esta manera surge la pregunta: ¿cuántos grupos de k elementos se puede formar a partir de un conjunto de n elementos?, aquí es importante resaltar los aspectos de orden y repetición , ya que son claves para las agrupaciones.

Cuando el orden no es un factor relevante en las agrupaciones, es decir, no importa el orden de los elementos en cada una de estas agrupaciones, se les denomina combinaciones ; en cambio, si el orden es relevante las agrupaciones reciben el nombre de permutaciones. Y existen tanto combinaciones con y sin repetición como permutaciones con y sin repetición.

1.2.1.- PERMUTACIONES

Definición 9 – PermutaciónDefinición 9 – Permutación Dado un conjunto con n elementos diferentes, a cada uno de los arreglos de k elementos, en un orden predeterminado, tal que 1 6 k 6 n se le denomina permutación de n elementos tomados k a la vez. Dos permutaciones son diferentes si al menos un elemento es diferente o si el orden de presentación es distinto. Además, una permutación es sin repetición si cada uno de los elementos aparece una sola vez.

Permutaciones sin repetición

Veamos como calcular el número de permutaciones sin repetición y como formar estas agrupa- ciones a partir de un conjunto base dado.

Ejemplo 9. Respondamos la pregunta: ¿de cuántas formas se pueden formar grupos de 2 elementos a partir del conjunto {♥, ♦, ♠, ♣}? En este caso, bajo el supuesto de que el orden sí importa, pero sin repetición de elementos.

14 1.2. MÉTODOS DE ENUMERACIÓN

Probabilidad y Estadística CAPÍTULO 1. PROBABILIDAD

Ejemplo 11. Respondamos la pregunta: ¿de cuántas formas se pueden formar grupos de 2 elementos a partir del conjunto {♥, ♦, ♠, ♣}? En este caso, bajo el supuesto de que el orden sí importa, y los elementos se pueden repetir.

Respuesta. Es claro que los grupos de 2 elementos que podemos formar a partir del conjunto base son: {♥, ♥} {♥, ♦} {♥, ♠} {♥, ♣} {♦, ♥} {♦, ♦} {♦, ♠} {♦, ♣} {♠, ♥} {♠, ♦} {♠, ♠} {♠, ♣} {♣, ♥} {♣, ♦} {♣, ♠} {♣, ♣}

Es decir, el número de permutaciones con repetición diferentes de 4 elementos tomados 2 a la vez es

Teorema 3 – Permutaciones con repeticiónTeorema 3 – Permutaciones con repetición El número de permutaciones con repetición diferentes de n elementos tomados k a la vez, repre- sentada por (^) n PR k, es nk, es decir, n PR k =^ nk.

Ejemplo 12. Determine la cantidad de números diferentes de 4 cifras se pueden formar con los si- guientes dígitos: 1, 3, 5, 7 y 9.

Solución. En este caso, es claro que los dígitos se pueden repetir, luego, se requiere se determinar el número de permutaciones con repetición de 5 elementos tomados 4 a la vez, es decir,

5 PR 4 =^54 =^ 625.

En consecuencia, la cantidad de números de 4 cifras que se puede formar con los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9 es 625.

1.2.2.- COMBINACIONES

Definición 10 – CombinaciónDefinición 10 – Combinación Dado un conjunto con n elementos diferentes, a cada uno de los arreglos de k elementos, sin un orden predeterminado, tal que 1 6 k 6 n se le denomina combinación de n elementos tomados k a la vez. Dos combinaciones son diferentes si al menos un elemento es diferente. Además, una combinación es sin repetición si cada uno de los elementos aparece una sola vez.

Combinaciones sin repetición

Veamos como calcular el número de combinaciones sin repetición y como formar estas agrupa- ciones a partir de un conjunto base dado.

16 1.2. MÉTODOS DE ENUMERACIÓN

CAPÍTULO 1. PROBABILIDAD Probabilidad y Estadística

Ejemplo 13. Respondamos la pregunta: ¿de cuántas formas se pueden formar grupos de 2 elementos a partir del conjunto {♥, ♦, ♠, ♣}? En este caso, bajo el supuesto de que el orden no importa y sin repetición de elementos.

Respuesta. Es claro que los grupos de 2 elementos que podemos formar a partir del conjunto base, sin repetir elementos, son: {♥, ♦} {♥, ♠} {♥, ♣} {♦, ♠} {♦, ♣} {♠, ♣}

Es decir, el número de combinaciones sin repetición diferentes de 4 elementos tomados 2 a la vez es

Teorema 4 – Combinaciones sin repeticiónTeorema 4 – Combinaciones sin repetición El número de combinaciones sin repetición diferentes de n elementos tomados k a la vez, repre- sentada por (^) n C k, es n! k!(n − k)! , es decir, n C k =^ n! k!(n − k)!.

Ejemplo 14. Una persona tiene que escoger 5 preguntas de un banco de preguntas que contiene 15 preguntas, ¿de cuántas formas diferentes pueden escogerse las preguntas si el orden en que conteste las preguntas es irrelevante y si escoge una pregunta esta ya no se repite?

Respuesta. En esta situación se tiene que el orden es irrelevante y que no hay repetición de preguntas, por lo que se determina el número de combinaciones de 15 elementos tomados 5 a la vez, es decir

15 C^5 =^

5!( 15 − 5 )! =^

5 · 4 · 3 · 2 · 10! =^ 3 003.

En consecuencia, el número de posibles formas en que esta persona puede escoger estas 5 preguntas es 3 003.

Combinaciones con repetición

Veamos como calcular el número de combinaciones con repetición y como formar estas agrupa- ciones a partir de un conjunto base dado.

Ejemplo 15. Respondamos la pregunta: ¿de cuántas formas se pueden formar grupos de 2 elementos a partir del conjunto {♥, ♦, ♠, ♣}? En este caso, bajo el supuesto de que el orden no importa y con repetición de elementos.

Respuesta. Es claro que los grupos de 2 elementos que podemos formar a partir del conjunto base,

1.2. MÉTODOS DE ENUMERACIÓN 17

CAPÍTULO 1. PROBABILIDAD Probabilidad y Estadística

y tomando en cuenta el orden es:

{),),),e,e} {),e,),),e} {),e,e,),)} {),),e,),e} {),),e,e,)} {e,),),),e} {e,e,),),)} {e,),),e,)} {e,),e,),)} {),e,),e,)}

En consecuencia, se pueden formar 10 grupos distintos a partir del conjunto base dado.

Teorema 6 – Permutaciones a partir de un conjunto con elementos repetidosTeorema 6 – Permutaciones a partir de un conjunto con elementos repetidos Dado un conjunto de n elementos tal que existen k elementos distintos (k < n) y cada elemento distinto se repite n 1 ,... , nk veces, el número de permutaciones con repetición de n elementos tomados n a la vez es: n! k ∏ j= 1

nj!

Ejemplo 18. A partir del conjunto base {–,–,„,„,§,Æ,Æ,Æ,Æ}, ¿cuántos grupos 9 elementos se pue- den formar a partir del conjunto base tomando en cuenta el orden?

Respuesta. Del teorema anterior tenemos que para calcular el número de permutaciones a par de un conjunto con elementos repetidos, así

9! 2! · 2! · 1! · 4! =^ 3 780.

Es decir, el número de grupos posibles es 3 780.

A continuación, se presenta ejercicios de aplicación de la sección de enumeración.

Ejemplo 19. Se tiene una baraja de 52 naipes.

a) Si se saca una carta al azar, describa el espacio muestral en un diagrama donde el eje x sea la denominación de la carta sacada y el eje y el palo (corazones, picas, diamantes o tréboles). b) Si se extraen dos cartas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de ambas sea 7?, ¿11?, ¿4?. c) ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar cuatro cartas, de modo que haya una de cada palo?. d) Si se extraen diez al azar. ¿Cuál es la probabilidad de no sacar ningún as?, ¿de sacar al menos un as? y ¿de sacar exactamente uno?.

Solución. a) El espacio muestral esta representado por:

1.2. MÉTODOS DE ENUMERACIÓN 19

Probabilidad y Estadística CAPÍTULO 1. PROBABILIDAD

rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs

rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs

rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs

rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

♥

♦

♣

♠

b) Sea A el evento de que la suma de dos cartas sea 7, tenemos que las únicas formas de que la suma sea 7 son sacar A y 6; 2 y 5 o 3 y 4. Luego, para sacar cualquiera de estas opciones es equivalente a sacar individualmente cada carta, sin importar el orden, es decir, ( 4 1

Luego, P(A) = 3

Sea B el evento de que la suma de dos cartas sea 11, tenemos que las únicas formas de que la suma sea 11 son sacar A y 10; 2 y 9; 3 y 8; 4 y 7 o 5 y 6. Luego, para sacar cualquiera de estas opciones es equivalente a sacar individualmente cada carta, sin importar el orden, es decir, 8

Luego, P(B) = 5

Sea C el evento de que la suma de dos cartas sea 4, tenemos que las únicas formas de que la suma sea 4 son sacar A y 3 o 2 y 2. Luego, para sacar la primera opción es equivalente a sacar individualmente cada carta, sin importar el orden, es decir, 8

Luego, para sacar 2 cartas iguales es igual a: ( 4 2

Finalmente, P(C) = 6638 + 2211 = 66311

20 1.2. MÉTODOS DE ENUMERACIÓN